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高等代数（Linear Algebra彭国华）习题讲义（下）.pdf
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数学学院 2016 级 201098050-01
习题课-1
Part I. 教材上第四章的习题
1. (线性空间的定义.)
解:
(1) Mn(F ) 是线性空间. 理由: Mn(F ) 上的加法和数乘满足:
①由于矩阵的加法满足交换律, 所以, 对任意 A; B 2 Mn(F ) 有 A + B = B + A;
②由于矩阵的加法满足结合律, 所以, 对任意 A; B; C 2 Mn(F ) 有 (A + B) + C =
A + (B + C);
③零矩阵 0 2 Mn(F ) 满足: 0 + A = A 对任意 A 2 Mn(F ) 对成立;
④对任意 A = (aij) 2 Mn(F ), 取 B = (aij) 2 Mn(F ), 则 A + B = 0 成立;
⑤对任意 A 2 Mn(F ) 有 1A = A 成立;
⑥对任意 k; l 2 F 和 A = (aij) 2 Mn(F ), 由于
((kl)A)(i; j) = klaij = (k(lA))(i; j) = (l(kA))(i; j),
所以, (kl)A = k(lA) = l(kA) 成立;
⑦由于矩阵的加法运算和数乘运算满足分配律, 所以 k(A + B) = kA + kB 对任意
k 2 F 和 A; B 2 Mn(F ) 成立;
⑧由于矩阵的加法运算和数乘运算满足分配律, 所以 (k + l)A = kA + lA 对任意
k; l 2 F 和 A 2 Mn(F ) 成立.
综上, Mn(F ) 关于矩阵的加法和数乘是 F 上的线性空间.
(2) C[a; b] 关于函数的加法和数乘是线性空间. 由于 [a; b] 上的连续函数的和, 数乘仍然是
[a; b] 上的连续函数, 所以, 函数的和、 数乘是 C[a; b] 上的运算. ①-⑧的验证方法同 (1).
2
注: 仿此, 可以构造各种各样的由函数组成的线性空间.
(3) 设所给的线性方程组为 AX = , 其解集为 S.
(i) 设 = 0. 则 S 关于向量的加法和数乘是一个线性空间;
注: 此时, AX = 0 只有零解当且仅当 S 是零空间.
(ii) 设 ̸= 0. 如果 AX = 无解, 则 S 是空集, 从而不是线性空间; 如果 AX = 有
解, 则 S 是非空集合, 但是, 向量的加法和数乘都不是 S 上的运算 (S 对向量的加法
和数乘不封闭), 所以 S 关于向量的加法和数乘不是线性空间.
1
综上, S 是线性空间当且仅当 = 0, 即, 所给的线性方程组是齐次线性方程组.
2
(4) 首先, 由于, a > 0; b > 0 时有 a b = ab > 0, k 2 R, a 2 R+ 时有 k ◦ a = ak > 0, 所以,
和 ◦ 确实是 R+ 上的运算. 其次,
① 对任意 a; b 2 R+ 有: a b = ab = ba = b a, 所以, 满足交换律;
② 对任意 a; b; c 2 R+, 由于
(a b) c = (ab) c = (ab)c = a(bc) = a (bc) = a (b c),
, 则 a b = a b = a 1
a
1
a
= 1.
所以, 满足结合律;
③ 对任意 a 2 R+ 有 1 a = 1 a = a;
④ 对任意 a 2 R+, 取 b =
(此即表明, 运算 有零元素 1.)
⑤ 对任意 a 2 R+ 有 1 ◦ a = a1 = a;
⑥ 对任意 k; l 2 R 和 a 2 R+ 有:
⑦ 对任意 a; b 2 R+ 和 k 2 R 有
⑧ 对任意 k; l 2 R 和 a 2 R+ 有
(kl) ◦ a = akl = (ak)l = l ◦ (k ◦ a) = (al)k = k ◦ (l ◦ a);
k ◦ (a b) = k ◦ (ab) = (ab)k = ak bk = k ◦ a k ◦ b;
(k + l) ◦ a = ak+l = ak al = ak al = k ◦ a l ◦ a.
综上, R+ 关于 和 ◦ 是 R 上的线性空间.
2
注: R+ 关于通常意义下的数的加法和数乘不是 R 上的线性空间, 更不是 R 的子空间！
这个例子说明: 给定非空集合 V 和数域 F, V 能否成为 F 上的线性空间, 取决于 V 上是
否有满足①-⑧的两个运算.
(5) F2 关于所给的运算不是实数域 R 上的线性空间, 因为 1 1 = 0 ̸= 1 2 F2.
2
注: 事实上, F2 按照所给的运算不可能是任意数域上的线性空间 (数域上的非零线性空间
必然是无限集). 但是 F2 可以成为别的域 (不是数域) 上的线性空间.
(6) 结论: S = f + k : k 2 Fg 关于 L 的加法和数乘是 F 上的线性空间当且仅当存在 t 2 F
使得 = t.
必要性: 设 S 是线性空间, 则 S 对于 L 的加法运算是封闭的, 特别,
( + ) + ( + ) = 2 + 2 2 S,
从而存在 x 2 F 使得 2 + 2 = + x, 即, = (x 2), 取 t = x 2 2 F 即可.
充分性: 假设存在 t 2 F 使得 = t. 则由 + k = (t + k) 可知, S = fy : y 2 Fg.
此时, L 的加法和数乘运算也是 S 上的满足①-⑧的运算, 从而, S 是线性空间.
综上, 结论成立.
2
注: 本题中的集合 S 具有明显的几何意义: 可以看成线性空间 L 中的一条“直线”.
2
注: 结论中的条件“存在 t 2 F 使得 = t”不能换为 ; 线性相关. 事实上, 当 ̸= 0,
= 0 线性相关, 但此时 S = fg 显然不是线性空间.
(7) S = f j = k11 + k22 : k1; k2 2 Fg 关于 L 的运算是 F 上的线性空间.
事实上, 只需验证 S 关于 L 的运算是封闭的 (因为①-⑧在 L 上成立, 因此在 S 上自然也
成立. )
对任意 1 = k11 + k22, 2 = k
′
′
22 有:
11 + k
2)2 2 S;
′
对任意 = k11 + k22 和任意 k 2 F 有
′
1)1 + (k2 + k
1 + 2 = (k1 + k
k = kk11 + kk22,
2
所以, S 关于 L 的运算是封闭的.
注: 此例给出了构造线性空间的一个重要方法: 设 L 是数域 F 上的任意线性空间, 任取
1; ; s 2 L, 则由向量组 1; ; s 的所有可能的线性组合构成的集合
s∑
S = f j =
kii : ki 2 Fg
关于 L 的运算是 F 上的一个线性空间, 称为由 1; ; s 生成的子空间.
i=1
2. (线性空间的定义、数域的概念.)
证明: 设 F 是任意数域. 则 Q F.
F 上的数的加法运算满足线性空间的定义中的条件①-④; 用 Q 中的数与 F 中的数作数
2
乘, 实际上就是数的乘法, 所以线性空间的定义中的条件⑤-⑧是成立的.
注: 事实上, 更一般的结论也成立, 即, 设 F, K 是任意的数域, 且 F K, 则 K (关于数的
加法运算和乘法运算) 是 F 上的线性空间, 特别:
(i) F 是 F 上的线性空间;
(ii) 复数域 C 是实数域 R 上的线性空间.
p
(iii) K 作为 F 上的线性空间可以是有限维的, 例如 dimR C = 2, dimQ Q( n
dimQ(R) = 1 (参见下面的第 12 题).
2) = n,
3. (线性空间的减法运算 (向量 2 L 的负向量 = (1))、加法满足消去律)
证明:
(1) 首先, k + ((k)) = 0, 所以, 由负向量的唯一性有: (k) = (k), 即, k =
(k);
其次,
k( ) = k( + ()) = k + k()
= k + k(1) = k + (1)(k) = k + (k)
= k + (k) = k k:
3
(2) 在 + = + 的两边分别加上 得:
( + ) + () = ( + ()) + = 0 + = ;
( + ) + () = + ( + ()) = + 0 = .
2
4. (线性空间中的减法运算.)
证明: 存在性: 取 = + () = 2 L 即有:
+ = + ( ) = ( + ()) + = 0 + = ;
此即表明方程 + x = 在 L 中有解.
唯一性: 若 x1; x2 2 L 都满足 + xi = . 由 + x1 = 和 ( + x2) = , 即,
x2 = 得:
+ x1 + (1 x2) = + () = 0,
即, x1 x2 = 0. 此即表明方程 + x = 在 L 中有唯一解.
5. (有限维线性空间的不同基之间的转移 (过渡) 矩阵是可逆的.)
证明: 设
(I) 1; ; n
(II) 1; ; n
是 F 上的线性空间 L 的两个基. 由于 (I) 可以由 (II) 线性表出, 所以, 对每个 1 i n,
存在 aij 2 F 使得
i = a1i1 + a2i2 + + anin =
ajij.
设 A = (aij) 2 Mn(F). 由于 1; ; n 线性无关, 所以由 Chapter 2 Ex. 26 可知:
n∑
j=1
2
①
②
④
rank(1; ; n) = rank(A).
由于 1; ; n 是 L 的基, 从而是线性无关的,
所以, 由②得: rank(A) = n.
注1: 上述证明中的①可以形式地写为:
2
1CCA,
0BB@ a1i
1CCA 是 i 在基 1; ; n 下的坐标; 从而可以用矩阵 A 表示 L 的这两
...
ani
③
1 = (1 n)
0BB@ a1i
...
ani
即, 列向量
个基之间的变换关系:
(1 n) = (1 n)
1CCA = (1 n)A.
0BB@ a11
...
an1
a1n
...
ann
...
4
反之, 由 Chapter 2 Ex. 26 可知, 利用 L 的任意一个基 1; ; n 和 F 上的 n 阶可逆矩
阵 A, 利用上面的②构造的向量组 1; ; n 也必然是 L 的一个基, 即, 有如下的
结论: 取定 F 上的 n 维线性空间 L 的任意一个基. 则存在一一对应:
fL 的基g $ fF 上的可逆 n 阶方阵g.
注2: 由上面④中给出的形式记号, 可以给出题目中 A 可逆的另一个证明 (不需要 Chapter
2 Ex. 26 的结论):
由于 1; ; n 也是 L 的一个基, 所以, 每个 i 也可以由 1; ; n 线性表出, 即, 存
在 F 上的 n 阶方阵 B = (bij) 使得:
0BB@ b11
1CCA = (1 n)B.
(1 n) = (1 n)
...
从而把④代入⑤可得 (线性表出的传递性):
...
bn1
b1n
...
bnn
(1 n) = (1 n)B
= ((1 n)A)B
= (1 n)(AB):
⑤
⑥
即, 由⑥给出了每个 i 的由 1; ; n 的线性表出方式; 但是, 1; ; n 线性无关, 所
以, 每个 i 的由 1; ; n 的线性表出方式只能是 i = i, 即, AB 只能是单位阵 En,
从而 A 可逆, 且 A
1 = B.
(事实上, 由 Chapter 2 Ex. 26 和⑥已经可以得出
rank(AB) = rank(1; ; ) = n,
从而, n rank(A) rank(AB) = n, 即, rank(A) = n.)
2
6. (Vandermonde 行列式, 行向量组的缩短组, 线性无关性与行列式的关系.)
证明: 注意到 m n,
所以可以考虑 1; ; m 的一个缩短组: ~1; ; ~m, 其中,
~i = (1; ai; a2
i ; ; am1
), 1 i m.
由于
det
1CCA = det
i
0BB@ 1
0BB@ ~1
...
~m
a1
...
a2
1
...
...
1 am a2
m
am1
1
...
am1
m
1CCA
是一个非零的 Vandermonde 行列式 (a1; ; am 互不相同),
所以, ~1; ; ~m 线性无关, 而 1; ; m 是 ~1; ; ~m 的一个伸长组, 所以, 1; ; m
2
线性无关.
注: 利用此题的方法 (利用 Vandermonde 行列式), 可以构造 Fn 中的无穷多个向量
1; , 使得其中的任意 n 个向量都是线性无关的:
5
由于 F 是数域, 所以可以取无穷多个互不相同的数 ai 2 F, i = 1; ,
令 i = (1; ai; a2
则任意子组 j1; ; jn 线性无关.
) 2 Fn (行向量空间; 列向量空间类似.)
i ; ; an1
i
2
7. (线性相关与线性无关.)
解:
(1) 1, x 1, (x 1)2, (x 1)3 在 F[x] 中线性无关.
事实上, 设 a0 + a1(x 1) + a2(x 2)2 + a3(x 3)3 = 0, ai 2 F[x].
取 x = 1 可得到 a0 = 0, 从而 a1 + a2(x 2) + a3(x 1)2 = 0,
(多项式乘法满足消去律.)
(2) 注意到 L 是实数域 R 上的线性空间.
取 x = 1 可得到 a1 = 0. 重复这个过程可得 a2 = a3 = 0.
注: 事实上, 对任意 n 都有: 1, (x 1), , (x 1)n1 都是线性无关的, 所以,
dim F[x] = 1.
{
设 x + y = 0, 其中, x; y 2 R,
p1)y = 0:
①
即,
由于 x; y 2 R, 所以由上式可得 (比较实部与虚部) x = y = 0, 从而, ; 线性无关.
注: 线性方程组①不是实数域 R 上的线性方程组！ 通过比较实部和虚部, ①等价于
如下的实数域 R 上的线性方程组:
p1)x + y = 0;
p1 x + (1 +
(1 +
2
8>>>><>>>>:
x + y = 0
x = 0
2x + y = 0
y = 0
(3) 注意到 L 是复数域 C 上的线性空间.
{
设 x + y = 0, 其中, x; y 2 C,
p1)y = 0:
p1)x + y = 0;
p1 x + (1 +
(1 +
即,
2
②
由于②的系数矩阵的行列式为 0, 所以, ②作为 C 上 (而不是 R 上的) 的齐次线性方
程组在 C 上有非零解, 所以, ; 线性相关.
注: (1) 给出了一个无穷维空间的例子; 在 (2), (3) 中, L 实际上是行向量空间 C2. 不要把
(2), (3) 中的结论与如下的事实混淆了:
Fact. 设 F, K 都是数域且 F K. 设 1; ; s 2 Fn. 则 1; ; s 在 F 上线性相关
当且仅当 1; ; s 在 K 上线性相关.
8. (用矩阵刻画线性关系.)
6
解: 注意到
0
1
(1 + 2 2 + 3 n1 + n)
1
0
0
0
1
1
0
0
= (1 2 n)
0BBBBBBBBB@
1CCCCCCCCCA
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
= (1 2 n)A:
{
由于 1; ; n 线性无关, 所以, 由 Chapter 2 Ex. 26 可知,
向量组 1 + 2 2 + 3 n1 + n 的秩为 r(A);
而 det(A) = 1 + (1)1+n, 所以 r(A) =
所以, 向量组 1 + 2 2 + 3 n1 + n 线性无关当且仅当 n 为奇数.
n 为奇数;
n;
n 1; n 为偶数:
2
9. (线性相关与线性无关.)
解:
(1) 线性无关的向量集之交如果不是空集, 则必然是线性无关的, 因为“整体无关意味着
部分无关”.
i=1
j=1
}
′
; (0; 1)
′g, S2 =
(2) 两个线性无关的向量集的并可以是线性相关的, 例如, S1 = f(1; 0)
f(1; 1)
; ⟨S2⟩ =
′g. (三个二维向量必然线性相关.)
{
{
m∑
n∑
(3) 设 S1 = f1; ; mg, S2 = f1; ; ng 是数域 F 上的线性空间 L 的两个线性无
xii : xi 2 F
m∑
n∑
xii n∑
}
关的向量集, ⟨S1⟩, ⟨S2⟩ 分别是 S1, S2 生成的子空间:
⟨S1⟩ =
yjj : yj 2 F
结论: S1 [ S2 线性无关当且仅当 ⟨S1⟩ \ ⟨S2⟩ = f0g.
必要性: 设 2 ⟨S1⟩ \ ⟨S2⟩, 则存在 xi; yj 2 F 使得
m∑
即,
但是, 1; ; m; 1; ; n 线性无关, 所以, xi = yj = 0, 从而 = 0, 即, ⟨S1⟩ \
⟨S2⟩ = f0g.
充分性: 要证 1; ; m; 1; ; n 线性无关. 设
a11 + + amm + b11 + + bnn = 0,
yjj = 0,
xii =
yjj,
i=1
j=1
i=1
j=1
=
①
.
由此即得:
⟨S1⟩ ∋ a11 + + amm = b11 bnn 2 ⟨S2⟩,
②
7
即, a11 + + amm 2 ⟨S1⟩ \ ⟨S2⟩ = f0g.
因此, a11 + + amm = 0. 但是, 1; ; m 线性无关, 所以 ai = 0, 1 i m;
代入①即得: b11 + + bnn = 0, 从而由 1; ; n 线性无关即得 bj = 0, 1 j
n.
综上, 结论成立.
2
注: 这里的结论实际上给出了两个子空间的和是直和的充要条件. 这里, ②式中的技
巧是常见的.
10. (线性空间的基的定义.)
证明: 由定义即得.
2
注: 设 dim L = n. 则 L 的任意 n 个线性无关的向量都构成 L 的一个基.
11. (类似于非齐次方程组的情形: 假设非齐次线性方程组 AX = 有解, r(A) = r, 则存在
AX = 的 n r(A) + 1 个解 1; ; nr+1, 使得 AX = 的任意解 都可以写成:
nr+1∑
nr+1∑
=
kii, 其中, 系数之和为
ki = 1. 参见 Chapter 2 Ex. 36.)
i=1
证明:
i=1
存在性: (用待定系数法.)
对任意 2 L, 由于 1; ; n 是 L 的一个基, 所以存在 bi 2 F 使得
= b11 + + bnn.
(用待定系数法去证明存在符合条件的 ai 2 F; 显然, 所要求的 ai 应该是 b1; ; bn 的表
达式.)
假设存在 a1; ; an; an+1 2 F,
ai = 0 使得
n+1∑
i=1
= a11 + + ann + an+1n+1
= a11 + + ann an+1(1 + + n)
= (a1 an+1)1 + + (an an+1)n;
①
②
③
④
2
从而由①得: ai an+1 = bi, 1 i n.
n+1∑
n∑
将这 n 个等式相加, (为了利用
得: (n + 1)an+1 =
代入②得: ai = bi 1
i=1
bi, 即, an+1 = 1
n∑
bi, 1 i n.
i=1
n + 1
i=1
ai = 0: a1 + + ai = an+1.)
( 由 1; ; n 线性表出具有唯一性.)
n∑
bi;
n + 1
i=1
存在性得证.
唯一性: 注意到 bi (1 i n 是由 唯一确定的, 因为 1; ; n 是 L 的基.
所以, 由③④可知, 满足条件的 ai 也是唯一确定的.
8
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