logo资料库

GARCH模型与应用简介.doc

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.25M 资料格式：doc 举报 版权申诉
第1页 / 共51页
第2页 / 共51页
第3页 / 共51页
第4页 / 共51页
第5页 / 共51页
第6页 / 共51页
第7页 / 共51页
第8页 / 共51页
资料共51页，剩余部分请下载后查看
    GARCH 模型与应用简介 (2006, 5) 0. 前言……………………………………………..2 1. GARCH 模型………………………………………….7 2. 模型的参数估计………………………………………16 3. 模型检验………………………………………………27 4. 模型的应用……………………………………………32 5. 实例……………………………….……………………42 6. 某些新进展……………………….…………………...46 参考文献……………………………………………….50 1
    0. 前言 (随机序列的条件均值与条件方差简介) 考察严平稳随机序列{yt}, 且 Eyt<. 记其均值 Eyt=, 协方差函数k=E{(yt-)(yt+k-)}. 其条件期望(或条件均值): (0.1) E(ytyt-1,yt-2,…)(yt-1,yt-2,…), 依条件期望的性质有 E(yt-1,yt-2,…)=E{E(ytyt-1,yt-2,…)}= Eyt =. (0.2) 记误差(或残差): et  yt -(yt-1,yt-2,…). (0.3) 由(0.1)(0.2)式必有: Eet=Eyt-E(yt-1,yt-2,…) =Eyt-Eyt=0, (0-均值性) (0.4) 及 Eet2=E[yt -(yt-1,yt-2,…)]2 =E{(yt-)-[(yt-1,yt-2,…)-]}2 =E(yt-)2+E[(yt-1,yt-2,…)-]2 (中心化) -2E(yt-)[(yt-1,yt-2,…)-] =0+Var{(yt-1,yt-2,…)} -2EE{(yt-)[(yt-1,yt-2,…)-]yt-1,yt-2,…} ( 根据 Ex=E{E[xyt-1,yt-2,…]} ) =0+Var{(yt-1,yt-2,…)} -2E{[(yt-1,yt-2,…)-]E[(yt-)yt-1,yt-2,…]} 2
    ( 再用 E[x( yt-1,yt-2,…)yt-1,yt-2,…] =( yt-1,yt-2,…) E[xyt-1,yt-2,…]; 并取 x= (yt-), ( yt-1,yt-2,…)=[(yt-1,yt-2,…)-]; 由(0.1)(0.2)可得 ) =0+Var{(yt-1,yt-2,…)}-2E[(yt-1,yt-2,…)-]2 =0-Var{(yt-1,yt-2,…)}. (0.5) 即有: 0=Var(yt)=Var((yt-1,yt-2,…))+Var(et). (0.6) 此 式 表 明 , yt 的 方 差 (=  0) 可 表 示 为 : 回 归 函 数 的 方 差 (Var((yt-1,yt-2,…)), 与残差的方差(Var(et))之和. 下边讨论 et 的条件均值与条件方差. 为了符号简便, 以下记 Ft-1={yt-1,yt-2,…}. 首先考虑 et 的条件均值: E(etFt-1)=E{yt-( yt-1,yt-2,…)  Ft-1} =E(yt Ft-1)- E{( yt-1,yt-2,…)  Ft-1} = ( yt-1,yt-2,…)- ( yt-1,yt-2,…) =0. (0.7) 再看条件方差: Var(etFt-1)=E{[et- E(etFt-1)]2 Ft-1} = E{et2 Ft-1} S2(yt-1,yt-2,…). (用(0.7)式) (0.8) 3
    此处 S2(yt-1,yt-2,…)为条件方差函数. 注意, et的条件均值是零, 条件方差是非负的函数 S2(yt-1,yt-2,…), 它不一定是常数! 依(0.3)式, 平稳随机序列{yt}总有如下表达式: yt = ( yt-1,yt-2,…)+et, (0.9) 其中(yt-1,yt-2,…)被称为自回归函数, 不一定是线性的. {et} 可称为新息序列, 与线性模型的新息序列不同, 除非{yt}是 正态序列. 顺便指出, 满足(0.4)式的{et}为鞅差序列, 因为对 它的求和是离散的鞅序列. 由于{yt}是严平稳随机序列, 且 Eyt<,上述推演是严格的, 从而{et}是严平稳的鞅差序列. 当{yt}有遍历性时, 它也是遍历的. 此处所涉及的抽象概念 可不必深究. 现在将 et 标准化, 即令 t  et/S(yt-1,yt-2,…). 则有, 以及 E(tFt-1)=E[et/S(yt-1,yt-2,…)Ft-1] ={1/S(yt-1,yt-2,…)}E[etFt-1] =0. (依(0.7)式) (0.10) E(t2Ft-1)=E[et2/S2(yt-1,yt-2,…)Ft-1] ={1/S2(yt-1,yt-2,…)}E[et2Ft-1] ={S2(yt-1,yt-2,…)}/{S2(yt-1,yt-2,…)} =1. (a.s.) (用(0.8)) (0.11) 4
    由此可见, {t}也是平稳鞅差序列, 与{et}相比, {t}的条件方 差为常数 1. 于是(0.9)式可写为: yt=( yt-1,yt-2,…) + S(yt-1,yt-2,…)t, (0.12) 此式可称为条件异方差自回归模型, 所谓条件异方差就是指: 条件方差 S2(yt-1,yt-2,…)不为常数. 请注意, 条件异方差自回 归模型与下文中的自回归条件异方差模型是不同的概念! * 还有一点很重要, 如果(0.9)模型具有可逆性, 那么, Var(etFt-1)=Var(etyt-1,yt-2,…) =Var(etet-1,et-2,…) h(et-1,et-2,…). 因此, 模型(0.12)式又可些成 (0.13) yt=( yt-1,yt-2,…) + h1/2(et-1,et-2,…)t. (0.14) 请注意, 模型(0.12)(0.14)式是 普遍适用(或称万用)的模型 ! 但是, 为便于研究建模理论, 在(0.12)式中还附加假定: t 与{yt-1,yt-2,…}相互独立 ! 此假定是实质性的, 人为的. 它对{yt}的概率分布有实质性的限制. 还须指出: 若在(0.9)式中直接假定 et 与{yt-1,yt-2,…}独立, 此假定除了上述的人为性含义外, 还增多了如下假定: Var(et2yt-1,yt-2,…) =Var(et2)=常数. (0.15) 5
    这里用了条件期望的一条性质, 即当 X 与 Y 独立时, E(XY)= EX. 大家要问, 为什么加这些人为的假定呢? 让我们回顾一下这些假定演变的历程吧. 在文献中(0.9)式 et 先后被假定为: “i.i.d. 且 N(0,σ2)”，（1943--） “i.i.d. 且 0-均值-方差有穷”，（1960--） “鞅差序列，且条件方差 S2(...)=常数”，（1970--） “et=S(yt-1, yt-2, … )t，但{t}为 i.i.d. N(0,σ2)序列, 而且 S(yt-1, yt-2, … )为有限参模型”,（1982--） “et=S(yt-1, yt-2, … )t , 但{t}为 i.i.d.序列 而且 S(yt-1, yt-2, … )为有限参模型”。（2000--） 究其根源, 主要是受时间序列统计理论知识的限制. 以上专门讨论了{et}的定义, 性质, 和人为限制的历程. 但是, 这里也顺便提一下自回归函数(yt-1,yt-2,…)的发展史, 大致如下(不细论): 线性→非线性参数→半参数→非参数。 在以上的讨论中, 使用记号(yt-1,yt-2,…), 是为了突出普适性. 在文献中和实际应用中, 所考虑的(yt-1,yt-2,…)的形式很简 单. 半个多世纪来, 虽说有了很大的改进, 但是, 与最一般 的(yt-1,yt-2,…)还有很大差距. 类似的讨论也适用 S(yt-1,yt-2,…). 也是为了突出普适 6
    性, 才引入了记号 S(yt-1,yt-2,…)和模型(0.12)(0.14). 在文献中 和 实 际 应 用 中 , 直 到 近 二 十 来 年 才 考 虑 了 不 为 常 数 的 S(yt-1,yt-2,…)的简单情况---ARCH 模型. 近几年来, 也在向着 半参数, 非参数方面发展. 但是, 与最一般的 S(yt-1,yt-2,…)也 还相差甚远. 1. ARCH 与 GARCH 模型 1.1. 概述 在条件异方差模型问世以前, 时间序列分析主要讨论自 回归结构, 或者说, 主要讨论(yt-1,yt-2,…)的有关内容. 当条 件异方差模型问世后, 在时间序列分析中, 特别是建模分析 中, 就包含了两个内容,一个与(yt-1,yt-2,…)有关; 另一个与 S(yt-1,yt-2,…)有关. 如何统计分析它们, 是摆在我们面前的主 要问题. 对此问题, 通常作法是: 分两步完成, 先按平稳序 列建模方法, 对(yt-1,yt-2,…)建立适当的模型, 比如 AR 模型; 由此获得弥合的残差序列, 把它当做新息序列{et}的样本值, 再对它进行条件异方差建模分析. 分两步完成有方便之处, 其一, 做第一步时, 由于{et}是鞅差序列, 其建模有理论根据. 其二, 在介绍条件异方差建模时, 可以只讨论(yt-1,yt-2,…)=0 的情况. 这并无损失, 还便于理解条件异方差概念. 其实, 还有一言, 在金融统计中, 专门考虑条件异方差建模问题, 也有一定的实际背景. 7
    综上所说, 我们将专门讨论如下的鞅差平稳序列, 即, (1.1) (1.2) E(ytyt-1,yt-2,…)(yt-1,yt-2,…)=0. Var(ytyt-1,yt-2,…)S2(yt-1,yt-2,…)>0. 换句话说, 考虑如下的(0.9)模型 yt=et, 它的标准化的模型(0.12)为 yt=S(yt-1,yt-2,…)t. (1.3) (1.4) 请注意, 这一模型几乎含盖了所有的条件异方差模型. 我们 不可能泛泛地讨论它. 再请回看对鞅差序列{et}的限制的历 程, 以下我们要讲的恰好是: “et=S(yt-1, yt-2, … )t，但{t}为 i.i.d. N(0,σ2)序列, (1982--). 而且 S(yt-1, yt-2, … )为有限参模型’’, 再新的内容, 我们也将提到. 至此, 大家完全明白我们将要 讨论什么样的序列. 为说明该序列的某些特征, 先看一看序列{et}的自协方 差函数序列: e(k)=Eet+ket= E[E(et+ketet+k-1,et+k-2,…)] = E[etE(et+ket+k-1,et+k-2,…)] = E{et0}=0, k1. 可见, 平稳鞅差序列也是白噪声. 根据自协方差序列做平稳 序列的建模和谱分析时, 除了判断(yt-1,yt-2,…)=0 外, 几乎 无话可说. 换句话说, 相关性分析和谱分析不能对(1.4)式的 8
    分享到：
    赞 收藏

    相关推荐

    资料库

    课程资源

    共收录17145份资料，累计13个分类，关注成员有19位，主要包括：PHP,网络管理,网页制作,Java,.Net,数据库,3G/移动开发,C/C++,游戏开发,嵌入式,讲义,软件测试,专业指导

    热门标签

    PHP 网络管理 网页制作 Java .Net 数据库 3G/移动开发 C/C++ 游戏开发 嵌入式 讲义 软件测试 专业指导

    最新资料