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RLS和LMS自适应算法分析.doc
RLS 和 LMS 自适应算法分析
摘 要 ：本 文 主 要 介 绍 了 自 适 应 滤 波 的 两 种 算 法 ：最 小 均 方 (LMS, Least
Mean Squares) 和 递 推 最 小 二 乘 (RLS, Recursive Least Squares) 两 种 基
本 自 适 应 算 法 。我 们 对 这 两 种 基 本 的 算 法 进 行 了 原 理 介 绍 ，并 进 行 了
Matlab 仿 真 。通 过 仿 真 结 果 ，我 们 对 两 种 自 适 应 算 法 进 行 了 性 能 分 析 ，
并 对 其 进 行 了 比 较 。用 Matlab 求 出 了 LMS 自 适 应 算 法 的 权 系 数 ，及
其 学 习 过 程 曲 线 ， 和 RLS 自 适 应 权 系 数 算 法 的 学 习 过 程 。
关 键 词 ： 自 适 应 滤 波 、 LMS 、 RLS、 Matlab 仿 真
Abstract: this article mainly introduces two kinds of adaptive filtering algorithms: Least
Mean square (LMS), further Mean Squares) and Recursive Least Squares (RLS,
Recursive further Squares) two basic adaptive algorithm. Our algorithms of these two
basic principle is introduced, and Matlab simulation. Through the simulation results,
we have two kinds of adaptive algorithm performance analysis, and carries on the
comparison. Matlab calculate the weight coefficient of the LMS adaptive algorithm, and
its learning curve, and the RLS adaptive weight coefficient algorithm of the learning
process.
Keywords:, LMS and RLS adaptive filter, the Matlab simulation
课 题 简 介 ：零 均 值 、单 位 方 差 的 白 噪 声 通 过 一 个 二 阶 自 回 归 模 型 产
生 的 AR 过 程 。 AR 模 型 的 系 统 函 数 为 ：
H(Z)=
6.11
Z
1
1
8.0
Z
2
假 设 1a =-1.6,
2a =0.8 将 系 统 函 数 转 化 为 差 分 方 程 为 ：
)(
nx
nxa
(
1
)1
na
(
2
)2
)(
nw
其 中 w(n) 为 白 噪 声 ， 参 数 1a =-1.6,
2a =0.8 。 激 励 源 是 白 噪 声 w(n)。
本 文 用 Matlab 仿 真 做 出 了 模 型 系 数 的 收 敛 过 程 及 平 均 的 学 习 曲 线 。
分 别 用 LMS 算 法 和 RLS 算 法 ，分 别 做 出 了 模 型 系 数 的 收 敛 过 程 及 学
1
习 曲 线 ， 还 对 两 种 算 法 的 特 性 进 行 了 对 比 。
引 言 ： 由 于 随 机 信 号 的 未 知 性 和 随 时 间 变 化 的 统 计 特 性 ， 需 要 设 计
参 数 随 时 间 变 化 的 滤 波 器 算 法 ， 即 所谓的自适应滤波。它是利用前一时刻
以获得的滤波器参数的结果，自动的调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪
声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。 自适应滤波器的特性
变化是由自适应算法通过调整滤波器系数来实现的。不 同 的 自 适 应 滤 波 器 算
法 ， 具 有 不 同 的 收 敛 速 度 、 稳 态 失 调 和 算 法 复 杂 度 。
自 适 应 滤 波 算 法 中 利 用 了 输 出 反 馈 ，属 于 闭 环 算 法 。其 优 点 是 能
在 滤 波 器 输 入 变 化 时 保 持 最 佳 的 输 出 ，而 且 还 能 在 某 种 程 度 上 补 偿 滤
波 器 元 件 参 数 的 变 化 和 误 差 以 及 运 算 误 差 。但 其 缺 点 是 存 在 稳 定 性 问
题 以 及 收 敛 速 度 不 高 。所 以 探 讨 如 何 提 高 收 敛 速 度 、增 强 稳 定 性 以 满
足 信 号 处 理 的 高 效 性 、实 时 性 ，一 直 是 人 们 研 究 的 重 点 和 热 点 。本 文
基 对 比 研 究 了 两 类 基 本 的 自 适 应 算 法 LMS 和 RLS ， 并 对 它 们 权 系 数
的 收 敛 过 程 及 学 习 过 程 进 行 了 分 析 。
LMS 原理分析：
LMS 算法是自适应滤波器中常用的一种算法与维纳算法不同的是其系统
的系数随输入序列而改变。维纳算法中截取输入序列自相关函数的一段构造系统
的最佳系数。而 LMS 算法则是对初始化的滤波器系数依据最小均方误差准则进
行不断修正来实现的。因此理论上讲 LMS 算法的性能在同等条件下要优于维纳
算法 但是 LMS 算法是在一个初始化值得基础上进行逐步调整得到的 因此
在系统进入稳定之前有一个调整的时间 这个时间受到算法步长因子的控制
在一定值范围内 增大会减小调整时间 但超过这个值范围时系统不再收敛
的最大取值为 R 的迹。LMS 采用平方误差最小的原则代替均方误差最小的原
则，信号基本关系如下：
2
)(
ny
1
N
0
inxnw
i
()(
)
)(
ne
)(
nd
)(
ny
(
nw
i
)1
写成矩阵形式为：
nw
i
2)(
()(
inxne
)
)(
)(
nXnWny
)(
T
)(
ne
)(
nd
)(
ny
(
nW
)1
nW
2)(
)(
)(
nXne
式 中 W(n) 为 n 时 刻 自 适 应 滤 波 器 的 权 矢 量 ，
)(
nW
[
(
nwnwnw
0
),
),
(
(
2
1
)........
w
(
n
T
)]
N
1
N 为 自 适 应 滤 波 器 的 阶 数 。X(n)为 n 时 刻 自 适 应 滤 波 器 的 参 考 输 入 矢
量 ， 由 最 近 的 N 个 信 号 的 采 样 值 构 成 ，
)(
nX
([
(
nxnx
),
)......
1
(
Nnx
T
)]1
。 d(n)是 期 望 的 输 出 值 ； e(n)为 自 适 应
滤 波 器 的 输 出 误 差 调 节 信 号 ；μ 是 控 制 自 适 应 速 度 与 稳 定 性 的 增 益 常
数 。
3
LMS 的 算 法 流 程 图 ：
初始化 w(n)
读 取 x(n)和 d(n)
)(
ny
1
N
0
inxnw
)
()(
i
计算误差 e(n)=d(n)-y(n)
计 算 因 子
)(ne
更 新 权
(
nW
)1
nW
2)(
)(
)(
nXne
RLS 算 法 原 理 分 析 ：
为 遗 忘 因 子 ， 它 是 小 于 1 的 正 数
)(nd ： 参 考 信 号 或 期 望 信 号
)(nw 第 n 次 迭 代 的 权 值
)(n 均 方 误 差
4
按 照 如 下 准 则 ：
)(
n
n
k
0
kn
2
)(
ke
min
越 旧 的 数 据 对 )(n 的 影 响 越 小 。对 滤 波 器 的 系 数 w 求 偏 导 ，并 令 结 果
等 于 0 知
)(
n
w
2
整 理 得 到 标 准 方 程 为 ：
n
k
0
kn
)()(
kxke
0
[
定 义 :
n
k
0
kn
)(
xkx
T
])(
wk
n
k
0
kn
)()(
kxkd
)(
nR
n
k
0
kn
)()(
kxkd
)(
nP
n
k
0
kn
)()(
kxkd
标 准 方 程 可 以 简 化 为 ：
)(
)(
nPwnR
经 求 解 可 以 得 到 迭 代 形 式 ：
(
nR
)1
)(
nR
(
nx
)1
T
(
nx
)1
(
nP
)1
)(
nP
(
nd
()1
nx
)1
定 义 ：
)(
nT
1 nR
)(
， 则 可 知 T 的 迭 代 方 程 为 ：
)(
nT
[
T
1
(
n
)1
(
)(
nxnx
T
)]
1
系 数 的 迭 代 方 程 为
)(
nw
(
nw
)1
()(
nnenk
|
)1
5
其 中 增 益 )(nk 和 误 差
(
nne
|
)1
的 定 义 分 别 为 ：
(
nne
|
)1
)(
(
nwnd
T
)()1
nx
)(
nk
(
nT
T
()(
nTnx
)()1
nx
)()1
nx
参 数 递 推 估 计 ，每 取 得 一 次 新 的 观 测 数 据 后 ，就 在 前 次 估 计 结 果
的 基 础 上 ，利 用 新 引 入 的 观 测 数 据 对 前 次 估 计 的 结 果 ，根 据 递 推 算 法
进 行 修 正 ， 减 少 估 计 误 差 ， 从 而 递 推 地 得 出 新 的 参 数 估 计 值 。 这 样 ，
随 着 新 观 测 数 据 的 逐 次 引 入 ，一 次 接 一 次 地 进 行 参 数 估 计 ，直 到 参 数
估 计 值 达 到 满 意 的 精 确 程 度 为 止 。
6
RLS 算 法 流 程 图 ：
初 始 化
W ；
(0) 0
(0)P
1
I
计 算 T(n),w(n),k(n),e(n|n-1)
)(
ny
N
1
0
inxnw
)
()(
i
计算误差 e(n)=d(n)-y(n)
更 新 权
)(
nw
(
nw
)1
()(
nnenk
|
)1
LMS算法程序：
clear
close all
clc
a1=-1.6;
a2=0.8;
n=1000;
P=50;
7
e=zeros(1,n);
ep=zeros(1,n);
ee=zeros(1,n);
x=zeros(1,n)';
w=randn(1,n)';
%算 法
for p=1:P
x(1)=w(1);
x(2)=-a1*x(1)+w(2);
for i=3:n
x(i)=-a1*x(i-1)-a2*x(i-2)+w(i);
end
L=2;
u=0.0005;
wL=zeros(L,n);
for i=(L+1):n
X=x(i-L:1:(i-1));
y(i)=X'*wL(:,i); %i 时 刻 输 出 信 号
e(i)=x(i)-y(i); %i时 刻 误 差 信 号
wL(:,(i+1))=wL(:,i)+2*u*e(i)*X; %i时 刻 滤 波 器 的 权 值
ee(i)=e(i)^2;
end
ep=ep+ee;
end
eq=ep/P;
a1L=-wL(2,1:n);
1到 n个 数
a2L=-wL(1,1:n);
的 1到 n个 数
% a1 在 LMS 算 法 下 值 的 变 化 ，wL 矩 阵 中 第 一 行 的
% a2 在 LMS 算 法 下 值 的 变 化 ， wL 矩 阵 中 第 二 行
8
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