2017年广西桂林电子科技大学高等代数考研真题A卷.doc

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2017 年广西桂林电子科技大学高等代数考研真题 A 卷一、（10 分) 计算 n 阶行列式 D n  2 3 4 3 4 5    1 n 1 2 2 3      1 n   1 2 n 二、(10 分) 证明：在  Q x 中，如果 2 x   x 1 3 ( f x 1 )  3 ( xf x 2 ) f ，那么 1 (1) 0 f  且 2 (1)=0. 三、(15 分) k 取何值时，线性方程组      2 x 1 x 1 x  1 2  x  2 x 2 x 2    2 x 3 x 3 x 3 2   k  2 k  有唯一解、无穷多解、无解？并在有无穷多解的情况下写出解的结构表达式. 四、（10 分）设矩阵 A       1 0 1   0 5 0 ,   1 0 4  且满足 AX  4 E A  2  2 X ，求未知矩阵 X . 五、（20 分）设二次型  , f x x x 3 , 1 2   2 x 1  4 x 2 2  2 x 3  4 x x 1 2  8 x x 1 3  4 x x 2 3 ，求：（1）  f x x x 对应的矩阵 A ，并计算矩阵 A 的特征值与特征向量； , , 1 2  3 （2）一个正交变换 X QY ,化二次型  f x x x 为标准形. , ,  3 1 2

六、(15 分) 设矩阵 A         1 1 1 2 6  0 1 4    3 ,    求 A 的不变因子，初等因子及 Jordan 标准形. 七、(20 分) 已知向量组  1  1  = 1 2 1 ，，，- ， 2 T   2  = 2 3 1 0 ，，，，  T  3 = 1,1,0,2  T   = 1 1 1 1 ，，，，  T  2  = 1 1 ，2，0，- T  求（1） 1 W W 的基与维数； 2 （2） 1 W W 的基与维数. 2 其中 W span    3  1 1 2 , ,   ， W span   2  , 2 1   . 八、 (20 分) 在 2 2R  中设 M     1 2 0 3    ,令 X    XM MX  ， 2 2 X R  则是 2 2R  的一个变换. （1）证明是 2 2R  的一个线性变换；（2）求的核  1 O  的维数和一组基. 九、(30 分) 证明下列各题（1）设 n 阶矩阵 A 满足 kA  ，则称矩阵 A 为幂零指数是 k 的幂零阵，证明：幂 0 零矩阵的特征值均为数 0. （2）设 1V ,V 是 n 维欧氏空间的线性子空间，且 1V 的维数小于 2V 的维数，证明： 2V 2 中必有一非零向量正交于 1V 的所有向量.

（3）设 1 ( , f x x 2 ,..., x 是一个秩为 n 的二次型，证明：存在 nR 的一个 )n 子空间 1V （其中 s 为符号差），使对任意向量 1 , x x 2 ( ,..., x ( , f x x 1 2 ,..., x n )=0 . n s 维 ) 1 ( 2 )n V ，有 1

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