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论文研究-一级倒立摆状态反馈控制系统设计 .pdf

发布时间：2022-05-29 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.20M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 一级倒立摆状态反馈控制系统设计 胡文奎* （河海大学能源与电气学院，南京 211100） 摘要：倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效 的反映控制中的许多典型问题。对一级直线型倒立摆，首先运用牛顿运动定律建立倒立摆系 统的运动方程，进而求出系统的状态空间表达式，建立数学模型。其次运用状态反馈极点配 置法，以小车的位移、速度，摆杆与竖直向上的偏角、摆角变化速度作为四个状态变量，由 给定的控制要求求出状态反馈增益矩阵，将极点配置在控制要求的位置。另外考虑到系统的 某些状态如小车速度和摆杆角速度不容易直接测量等，本文分别基于小车和摆杆子系统设计 了两个全维观测器，分别对状态量进行了重构并给出了仿真结果分析。 关键词： 倒立摆；状态反馈；极点配置；状态观测器 中图分类号：TP13 Design of first-order inverted pendulum state feedback control system Hu Wenkui (College of Energy and Electrical Engineering,HoHai University, NanJing 211100) Abstract: Inverted pendulum control system is a complex,unstable,nonlinear system,the study of inverted pendulum system can effectively reflect many typical control questions.For a first-order linear inverted pendulum, first use Newton's laws to set up inverted pendulum motion equations, then calculate the system's state space expression, get the mathematical model. Suppose the cart displacement, velocity, the pendulum angle and the angle velocity as the four state variables, according to the control requirements,use of state feedback pole assignment method we can get the state feedback gain matrix,then we can deploy the poles in the right positions.In addition,taking into account some of the states of the system like the pendulum angle velocity are not easy to direct measurement,this paper, based on the subsystem of the vehicle and the pendulum, design two full-order observers to reconstruction the states and give the analysis of the simulation results. Key words: inverted pendulum; state feedback; pole deploy; state observer 0 引言 倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的 反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问 题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问 题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用 途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。 1 倒立摆建模 1.1 系统模型的建立 设l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度；x 为小车位置；θ为摆杆与竖直向上方向的夹角。 对被控对象进行受力分析，建立物理方程，化简可得： 作者简介：胡文奎（1985-8-13），男，硕士在读. E-mail: brightsky2626@163.com - 1 -
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn ′′ θ = g 3 l 4 θ + 3 l 4 x ′′ 9.8m = 2 s ，将其带入上式得： ′′ θ = 29.4 θ + 3x ′′ l = m ； 设 0.25 { g } x x θθ′ ′ X 设 = ，u x ′ ′′= ；则有： x ′ ⎡ ⎢ x ′′ ⎢ ′⎢ θ ⎢ ′′ θ ⎣ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 29.4 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ′ u 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎣ ⎦ + 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦ u ′ = x ⎡ ⎢ x ′ ⎢ ⎢ θ ⎢ ′ θ ⎣ x ⎡ ⎤ ⎥′ ⎢ x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ θ ⎢ ⎥′⎣ θ ⎦ y = x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ θ ⎣ ⎦ = 1 0 0 0 ⎡ ⎢ 0 0 1 0 ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ 2 控制器的设计与仿真分析 2.1 状态反馈及极点配置 2.1.1 系统能控性能观性分析 由倒立摆系统的状态空间表达式和能控性判别阵的秩得： rankQ rank B AB A B A B n ] 4 = = = [ 2 3 c 故被控系统状态完全能控，可通过状态反馈任意配置闭环系统极点。由能观性判别阵的 秩: = rankQ rank C CA CA CA 3 故被控系统状态完全能观，即可构建状态观测器对其状态给出估值。 n = = ] ′ 4 [ o 2 2.1.2 系统极点配置 根据系统的要求，若超调量不超过 17%，根据公式： pM = exp( − πζ 1 − ζ 2 ) 17% ≤ ζ = ，设调整时间为 2 计算可得 0.5 振幅进入 2%± 的误差范围时， st s= ，根据公式： t = s 4 ζω n 则计算可得， nω = ； 4 由 ζ ， s nω 可得闭环系统特征方程为： 2 s+ 即： 2 4 2 3 2 µ = − + s j 计算可得系统主导极点： 1 主导极点离虚轴为主导极点的五倍以上，则取： 3 2 n 0 + ζω + ω = s 2 n 16 0 + = 2 3 2 µ = − − 10 µ = − ， 4 µ = − ， 1 j 10 - 2 - ；则取 2 个期望的闭环非
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 2 4 2 ( − µ − µ 因此可得期望的闭环特征多项式为： s s s p s s ) )( )( )( ( ) * − µ − µ = 3 1 j s j s s 2 2 3 ) 2 2 3 )( ( 10) ( 2 + + + − + = s s s s 1600 196 720 24 4 3 + + + + = ∑ A B C ) 0( , , , 引 入 对 被 控 系 统 −∑ F A BK B C ( , ) 特征多项式为： A BK Fp s sI ( ) det[ )] ( − = − k s k s ( 29.4 3 ) ( 3 4 + − + + = 4 p s Fp s ( ) ( ) * k s 3 ) 3 2 = k 1 K 令 + + , = [ k k k k 1 2 3 4 ] 状 态 反 馈 后 的 闭 环 系 统 2 − 29.4 k s 2 − 29.4 k 1 ，比较同次幂项系数可以得到如下联立方程： k ⎧ ⎪− ⎪ ⎨− ⎪ ⎪− ⎩ k 3 + 2 4 29.4 + k 29.4 k 29.4 1 2 = k 1 = = 3 24 k 3 + 720 1600 = 196 解方程组得： k = − 1 54.4218 ； 3 故可得反馈增益矩阵为： [ 54.4218 24.4898 k = − k = − k = − ； 2 k = 93.2739 ； 24.4898 93.2739 16.1633] ； 4 16.1633 。 2.1.3 Simulink 仿真分析 根据系统的状态空间表达式，我们可以在 simulink 环境下搭建如下系统模型： 图 2.1 系统仿真图 Fig.2.1 Simulation diagram 通过仿真，可得到小车位置仿真结果如下： 图 2.2 仿真结果 Fig.2.2 Simulation results 从仿真结果可以看出，小车最终稳定在“1”的位置，小车速度，摆杆角度、角速度最终 都稳定在“0”位置，小车位置超调不大，调整时间为 2s，均符合控制要求。 - 3 -
    中国科技论文在线 2.2 采用状态观测器的状态反馈系统设计 2.2.1 闭环观测器极点配置 http://www.paper.edu.cn 观测器期望极点的选择从工程实际出发，兼顾快速性、抗干扰性等折中考虑，通常选择 观测器的响应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快 2～5 倍。 对于前面已经给出的被控系统 A B C , ) ，我们可以分为两个子系统来考虑，即： x x ′ ⎤ ⎥ ⎦ + u 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦ − (2 1) θ ′ θ ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ + ⎤ ⎥ ⎦ u 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦ − (2 2) ∑ ⎤ ⎥ ⎦ = x ′⎧ ⎡ ⎪⎢ x ′′ ⎪⎣ ⎨ ⎪ = y [1 0] ⎪ ⎩ ′ ⎧ θ ⎡ ⎪⎢ ′′ θ ⎪⎣ ⎨ ⎪ = y [1 0] ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ = , 0( 0 1 ⎤ ⎡ ⎡ ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 ⎦ ⎣ ⎣ x ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ x ′⎣ ⎦ 1 0 0 29.4 θ ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ′⎣ θ ⎦ C ⎤ ⎥ CA ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 由能观性判别阵 器增益矩阵。 rankQ rank = o ;可以求得两个子系统都可观。我们来求状态观测 由于闭环主导极点为： 1 ；基于通常选择观测器的相 应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快 2～5 倍这一经验规则，这里我们取观测器期望极点 ， 1 µ = − + 2 j 2 3 µ = − − 2 j 2 3 为： 1 λ = λ = − 2 2*3 = − ；因此可得闭环状态观测器系统矩阵的期望特征多项式为： 6 p s ( ) * = ( s − λ 1 )( s − λ = ) 2 ( s + 2 6) = 2 s + 12 s + 36 对（2-1）所示被控子系统 ∑ 0( A B C , , ) 则引入观测器偏差反馈增益矩阵 G ⎡ = ⎢ ⎣ g 1 g 2 ⎤ ⎥ ⎦ 后， 观测器系统矩阵 A GC− 的特征多项式为： A GC ( )] − g 0 1 0 ⎡ ⎡ 1 ⎢ ⎢ g 0 0 0 ⎣ ⎣ − ⎤ ⎥ ⎦ + 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 2 + g s g 1 + 2 = = p s ( ) 0 det − sI det[ = s ⎧ 0 ⎤ ⎡ ⎪ ⎨ ⎢ ⎥ s 0 ⎪ ⎦ ⎣ ⎩ s g 1 + − 1 s g 2 p s p s 0( ) ( ) * g = ； 2 = s 令 = 以得到， 1 12 + g = 。 s ，即 2 36 12 s + 36 = 2 s + g s g 1 2 + ，比较等式两边同次幂项系数，可 对（2-2）所示被控子系统 ∑ 0( A B C , , ) 则引入观测器偏差反馈增益矩阵 G ⎡ = ⎢ ⎣ g g 3 4 ⎤ ⎥ ⎦ 后， 观测器系统矩阵 A GC− 的特征多项式为： - 4 -
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn + g g 3 4 0 0 ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 2 s + g s g 3 + − 29.4 4 = − − det p s ( ) 0 A GC sI ( )] det[ ′ = − s 0 1 ⎧ 0 ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎪ ⎨ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ s 0 0 29.4 ⎪ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ ⎩ s g 1 − + s g − 29.4 4 p s p s ′ s ( ) ( ) 令 * ，即 2 + 0 g = g = ； 4 = = = 3 数，可以得到， 3 12 2.2.2 Simulink 环境下仿真 s 12 36 + 65.4 。 = 2 s + g s g 3 + 4 − 29.4 ，比较等式两边同次幂项系 有了观测器偏差反馈增益矩阵，我们可以在 simulink 环境下搭建仿真模型如下图 2.3 所 示。 图 2.3 带有观测器的系统仿真图 Fig.2.3 Simulation diagram with state observer 对于仿真模型，我们来看当输入为固定值“1”时系统仿真结果。如下图 2.4 所示。 图 2.4 仿真结果 Fig.2.4 Simulation results 在仿真图中，上面的曲线为小车位置曲线，下面的曲线为摆杆角度曲线。从仿真结果来 看，系统最终稳定下来，摆杆角度最终为零，即摆杆保持竖直向上不倒，小车最终到达指定 位置“1”，系统调节时间不超过 2s，小车位置几乎无超调，角度调节也很快，完全可以达 到系统控制要求。与没有加观测器的系统仿真结果相比，系统的超调量减小，调节时间变短， 相比之下，控制效果更为理想。 2.3 小结 在基于状态完全能观的基础上我们设计了状态反馈控制器，并在 MATLAB 环境下对控 制系统进行仿真分析。结果表明，状态反馈控制能很好的使摆杆保持竖直向上不倒，同时对 小车的位置进行控制，且调整时间不超过 2s。另外，本节对倒立摆系统进行了状态重构， - 5 -
    中国科技论文在线 加入了状态观测器，并且对其进行了仿真。 3 总结 http://www.paper.edu.cn 目前，一阶倒立摆控制系统的设计可由多种方法和理论来实现其系统的稳定控制，如自 适应，状态反馈，模糊控制和智能控制等。本文采用了状态反馈极点配置法，并且加入了观 测器的设计仿真。由仿真结果可知，加不加观测器都可以很好的控制摆杆不倒，完全可以达 到控制要求。但是加观测器的系统控制效果要优于没有加观测器的系统。 [参考文献] (References) [1] 王宏华. 现代控制理论. 北京：电子工业出版社，2006 Wang Honghua . Modern control theory . Beijing:Publishing house of electronics industry,2006 [2] 谢克明. 自动控制原理. 北京：电子工业出版社，2004 Xie Keming . Automatic control theory . Beijing:Publishing house of electronics industry,2004 [3] 胡寿松. 自动控制原理（第 4 版）. 北京：科学出版社，2001 Hu shousong . Automatic control theory(the fourth edition) . Beijing: science publishing house ,2001 [4] 于子淞. 单级倒立摆建模及其控制方法设计. 电脑知识与技术，2008 年第 4 卷第 8 期 Yu Zisong . Inverted Pendulum Modeling and Control Design . Computer Knowledge and Technology, [5] CHEN W J, FANG L,LEI K K. Fuzzy Logic Controller for an Inverted Pendulum System[C ]. IEEE International Conference on Intelligent Processing Systems, 1997, 12: 1852189. [6] 深圳固高公司. 直线倒立摆系统 GLIP 系列 ,倒立摆与自动控制原理实验指导书 . 2005 Googol Technology Limited . Linear inverted pendulum system GLIP series, Experiment instructions of Inverted pendulum and automatic control theory . 2005 2008,4(8) - 6 -
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