200 8 年 2 月 电 脑 学 习 第 1 期 MATLAB 在非线性曲线拟合中的应用研究 唐家德* 摘 要 : 归 纳 总 结 了 非 线 性 曲 线 拟 合 的 方 法 、求 解 步 骤 和 上 机 操 作 过 程 。 关 中图分类号: TP311.131 键 词 : 曲线拟合 非线性 MATLAB 文献标识码: B 文章编号: 1002- 2422( 2008) 01- 0057- 03 Resear ch on Application of MATLAB in Nonlinear Cur ve Fitting Tang J iade Abstr act: The paper summarizes the method、solution steps and operations in nonlinear curve fitting. Keywor d: Curve Fitting Nonlinear MATLAB 1 曲线拟合的基本原理 已知一组测定的数据（例如 N 个点（xi,yi）去求得自变 量 x 和因变量 y 的一个近似解析表达式 y=φ（x）。若记误 差 δi=φ（xi）- yi，i=1，2，…N，则要使误差的平方和最小， 即要求： N Q= i = 1!δ2 i （1） 为最小，这就是常用的最小二乘法原理。 2 MATLAB 曲线拟合的相关方法 2.1 函数形式： （1）多项式拟合函数 polyfit，调用格式为： p=polyfit（x,y,n） 其中 x，y 为参与曲线拟合的实验数据，n 为拟合多项 式的次数，函数返回值为拟合多项式的系数 （按降幂排 列）。n=1 时，就为线性拟合。 例 1： 给出表 1 数据，试用最小二乘法求一次和二次 拟合多项式。 表 1 x - 1.00 y - 0.2209 - 0.75 0.3295 - 0.50 0.8826 - 0.25 1.4392 0 2.0003 0.25 2.5645 0.50 3.1334 0.75 3.7061 1.00 4.2836 在 MATLAB 命令窗口中输入： clear;close= x=- 1:0.25:1= y =[- 0.2209,0.3295,0.8826,1.4392,2.0003,2.5645,3.1334,3.7061,4. 2836]= p1=polyfit（x,y,1） p1 = p2=polyfit（x,y,2） p2 = y1=polyval（p1,x）= y2=polyval（p2,x）= plot（x,y,' +' ,x,y1,'r:' ,x,y2,'k- .' ） 0.0313 2.0001 2.2516 2.0131 2.2516 拟合多项式为：yP=2.0516+2.0131 和 yP=0.0313x2+2.2516x+ 2.20001。 （2）非线性数据拟合函数 lsqcurvefit 调用格式为： c=lsqcurvefit（'fun' ,x0,xdata,ydata） 其中 'fun' 为拟合函数的 M- 函数文件名，x0 为初始向 量，xdata,ydata 为参与曲线拟合的实验数据。函数返回值 c 为非线性函数 fun 的拟合系数。 例 2：2004 年全国大学生数学建模竞赛 C 题（酒后驾 车）中给出某人在短时间内喝下两瓶啤酒后，间隔一定的 时间 测量他的血液中酒精含量 y（毫克/百毫升），得到数 据如表 2。 表 2 酒精含量与饮酒时间的实验数据 时间( 小时) 0.25 酒精含量 时间( 小时) 酒精含量 30 6 38 0.5 68 7 35 0.75 75 8 28 1 82 9 25 1.5 82 10 18 2 77 11 15 2.5 68 12 12 3 68 13 10 3.5 58 14 7 4 51 15 7 4.5 50 16 4 5 41 通过建立微分方程模型得到短时间内喝酒后血液中 酒精浓度与时间的关系为： y=c1（e- c （2） 根据实验数据，利用非线性拟合函数 lsqcurvefit，确定 ） 2 3 t t- e- c 模型（2）式中的参数 c1，c2，c3。求解过程为： 先编写一个 M- 函数文件 Example2_1 function f=Example2_1（c,tdata） f=c（1）P（exp（- c（2）Ptdata）- exp（- c（3）Ptdata））= 保存后，在命令窗口中输入： tdata=[0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]= ydata=[30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4]= c0=[1 1 1]= for i=1:50 c=lsqcurvefit('Example2_1' ,c0,tdata,ydata)= 收稿日期：2007- 05- 04 * 唐家德 楚雄师范学院数学系讲师（云南，楚雄 675000），从事应用数学的教学和研究工作。 · 57 · 

c0=c$ end 得到最优解为：c = 114.2587 0.1852 2.0124 从而得出拟合曲线： cftool 的用法。 例 3 某生化系学生为研究嘌呤霉素在某项酶促反应 中对反应速度与底物浓度之间关系的影响，设计了一个实 验，所得的实验数据见表 3。根据问题的背景和数据建立一 y4=114.2587（e- 0.1852t- e- 2.0124t） （3） 个合适的数学模型，来反映这项酶促反应的速度与底物浓 2.2 图形窗口形式 （1）利用多项式拟合的交互图命令（GUI）polytool，调 用格式为：polytool（x,y） 其中 x,y 分别为实验数据构成的向量，例如利用 poly- tool 求解例 1 的 MATLAB 命令如下： x=- 1:0.25:1J y =[- 0.2209,0.3295,0.8826,1.4392,2.0003,2.5645,3.1334,3.7061,4. 2836]$ polytool（x,y） 打开多项式拟合的交互式界面，由于要拟合的函数为 线性函数，因此在多项式拟合交互式界面中的 Degree 中 输入 1，点击导出数据 Export, 出现保存对话框 Export to Workspace,选中 Parameters（参数）,Residuals（残差）后点 击 OK，在 MATLAB 的 Workspace 窗口中可以看到参数为： 2.2516 和 2.0131，即拟合函数为 y4=2.2516x+2.0131。同样 如果拟合的函数为二次函数，则只要在 Degree 中输入 2， 其它步骤相同，可得拟合函数为： y4=0.0313x2+2.2516x+2.0001 通过查看 Residuals（残差）值，可以发现二次函数拟 合的残差值比线性函数的要小一些，从拟合的效果看，可 以选择二次函数作为拟合函数，但由于线性函数较简单， 残差值也很小，从简单出发，也可选择线性函数作为拟合 函数。 （2）基本拟合界面 MATLAB 提供了一个方便简洁的拟合界面。具有拟合 快速和操作简便的优势，只能拟合多项式。例如用基本拟 合界面求解例 1 的过程如下： clearJcloseJ x=- 1:0.25:1J y =[- 0.2209,0.3295,0.8826,1.4392,2.0003,2.5645,3.1334,3.7061,4. 2836]J plot（x,y,' +' ）J 在 散 点 图 的 图 形 窗 口 上 分 别 点 击 菜 单 档 中 的 Tools Basic Fitting, 在 Plots Fits 中 分 别 选 中 linear、quadratic、 Show equations、plot residuals、show norm of residuals，所得 拟 合 直 线 方 程 为 ：y4 =2.3x+2； 拟 合 二 次 多 项 式 为 :y4 =0. 031x2+2.3x+2。 （3）曲线拟合工具界面 cftool 曲线拟合工具界面 cftool 是一个可视化的图形界面， 具有强大的图形拟合功能，下面通过一个具体例子来介绍 · 58 · 度之间的关系。 表 3 嘌呤霉素实验中的反应速度与底物浓度数据 底物浓度 （ppm）x 反应速度 y 0.02 0.06 0.11 0.22 0.56 1.10 76 47 97 107 123 139 159 152 191 201 207 200 酶促反应的速度 y 与底物浓度 x 之间的关系可用下面 两个简单模型描述： Michaelis- Menten 模型：y=f（x,β）= β1x+β2 β3+x （4） 指数增长模型：y=f（x,β）=β1（1- eβ2 （5） 使用曲线拟合工具界面 cftool 来确定模型（4）和（5） x ） 中的参数，并比较模型（4）、（5）的拟合效果。 在 MATLAB 命令窗口中输入以下语句： clearJcloseJ x=[0.02 0.02 0.06 0.06 0.11 0.11 0.22 0.22 0.56 0.56 1.10 1. 10]J y=[76 47 97 107 123 139 159 152 191 201 207 200]J cftool(x,y)J 在″Curve Fitting Tool″对话框中单击″Fitting″，打开″Fit- ting″对话框，点击″New fit″，在″Fit Name:″中输入″有理函 数″，在″Type of fit″中选中″Rational″，在″Numerator″中选中″ linear polynomial″，在″Denominator″中选中″linear polynomi- al″，然后点击″Apply″，完成有理函数拟合。然后，再次点击″ New fit″，在″Fit Name:″中输入″指数函数″，在″Type of fit″ 中选中″Custom Equation″，点击″New equation″,打开用户自 定义方程对话框，点击″General Equation″，在″Equation″中 输入″y=a4(1- exp(- b4x))″，点击″Ok″后回到拟合窗口，点击″ Apply″，完成指数函数拟合，参数计算结果见表 4。 表 4 模型( 4) 、( 5) 计算结果 拟合函数 系数 RMSE（剩余标准差） R- square y=（p1sx+p2） /（x+q1） y=as（1- exp （- bsx）） p1=221.7 p2=3.318 q1=0.1047 a=192.1,b=11.38 9.419 17.44 0.9741 0.9014 通过表 4 可以看出，有理函数 （Michaelis- Menten 模 x+0.1047 拟合剩余标准差较小，R- square 较大 型）ys= 221.7x+3.318 （越接近 1 越好），故用有理函数 ys= 221.7x+3.318 据比用指数函数 ys=192.1（1- e- 11.38x）拟合的效果好。 3 结束语 x+0.1047 拟合数 

200 8 年 2 月 电 脑 学 习 第 1 期 用汇编语言实现多种数制的通用输入方法 杨继鹏* 摘 要 : 把 从 键 盘 输 入 的 二 进 制 、八 进 制 、十 进 制 、十 六 进 制 字 符 数 据 转 换 成 计 算 机 能 够 识 别 的 二 进 制 数 据, 给 出 了 各种进制通用的输入、转换方法及汇编语言程序段, 通过字符串本身可以判断数制。 键 词 : 关 汇编语言 中图分类号: TP313 转换 数制 通用输入方法 文献标识码: B 文章编号: 1002- 2422( 2008) 01- 0059- 02 Realization of Gener al Input Method of Differ ences with the Assembly Language Yang J ipeng Abstr act: The paper describes how to change character data of binary system,octal system,decimal system and hexad- ecimal system from keyboard into data of binary system which computers can recognize.It tells the differe- nt general input and conversion methods,and gives out assembly language program segment.It also tells how to judge numbering system through character string itself. Assembly Language General Input Method Numbering System Keywor d: Shift 1 编 程 思 路 1.1 输入数值字符串 利用 DOS 系统功能的 10 号调用， 把需要的数值从键盘输入，此时输入 的是字符串。在利用 10 号调用时，要 注意缓冲区 BUF 的设定，其格式为： BUF DB 18 DB B DB 18 DUP（0） 1.2 判断数制 字符串输入后，先判断输入数据 的进制。通过缓冲区中回车符前面的 字符来判断。这个字符只能是字符串″ 0123456789BbOoQqHh″中 的 一 个 ，否 则输入的数据错误，程序结束。此字符 若为″B″或″b″则是二进制数；若为″O″、″ o″、″Q″、″q″中的任一字符，则是八进 制；若为″D″、″d″或″0″～″9″之间的任一 字符，则是十进制数；若为″H″或″h″则 是十六进制数。 1.3 字符数据转换为数值数据 需要把字符串中的每个字符数据 转换为其对应的数值数据。对于二、 八、十进制数，只要将其减去 30H 即 可；对于十六进制，因″A″～″F″或″a″～″ f″表示数值 10～15，若字符在″0″～″9″之 间，则减去 30H；若在″A″～″F″之间，则 减去 37H；若在″a″～″f″之间，则减去 57H。 1.4 数值数字转换成二进制数 把 得 到 的 数 值 数 字 d1d2 …… dn 通 过 每 种 数 制 的 基 数 转 换 成 二 进 制 数。d1d2……dn 可用如下公式计算得 到二进制形式： （…（d1R 基数+d2）R 基数+…）R 基数+dn 二、八、十、十六进制的基数分别为 2、 8、10、16。 例 如 十 进 制 数 3472 = （（3R10+4）R10+7）R10+2。 二、八、十进制的数字符号均在 0～9 之间，可用同一转换子程序 con- vert 实现，只要改变一些传递的参数即 可。十六进制有″A″～″F″、″a″～″f″数字字 符，情况特殊，单独用一个子程序 con- vert16 转换。 segment db 18 buf+1 num,num1 cl,low ch,high 2 汇编语言源程序实例 ；num1：不同数制的基数 ；low：基数的最小数字符号 ；high：基数的最大数字符号 init macro num1,low,high dec mov mov mov endm data buf db B db 18 dup（0） str equ ＄- str count num dw B loopnum db B ends data stack segment stack db 100 dup（0） stack code assume cs:code,ds:data,ss:stack start: mov ends segment ax,data db ' 0123456789BbOoQqDdHh' 利用 MATLAB 的绘图功能和曲线拟合功能，可以很方 [1] 徐萃薇，孙绳武. 计算方法引论[M]. 北京:高等教育出 便地进行多项式拟合和其它非线性曲线拟合，并可以通过 比较剩余标准差和可决系数 R2 的大小，来对比不同曲线 版社，2002- 01：62- 85. [2] 苏金明，张莲花，等. MATLAB 工具箱应用[M]. 北京:电 的拟合效果。从而在不知数学模型情况下，也能根据数据 子工业出版社，2004- 01：489- 512. 的散点图找出较优的曲线来拟合数据。 [3] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型[M]. 北京:高等教育出 参 考 文 献 版社，2003- 08：308- 316. 收稿日期：2007- 05- 18 * 杨继鹏 山东服装职业学院信息工程系副教授（山东，泰安 271000）。 · 59 ·