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2010年北京高考文科数学真题及答案.doc
2010 年北京高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页、第Ⅱ卷 3 至 5 页，共 150 分。考
试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试
卷和答题卡。
一、
本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
第Ⅰ卷（选择题 共 140 分）
题目要求的一项。
⑴ 集合
P
x Z
{
0
x
3},
M x Z x
{
2
，则 P MI
9}
=
(A) {1,2}
(B) {0,1,2}
(C){1,2,3}
(D){0,1,2,3}
⑵在复平面内，复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应
的复数是
（A）4+8i
(B)8+2i
（C）2+4i
(D)4+i
⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a，从{1,2,3}中随机选取一个数为 b，则 b>a 的概率
是
（A）
4
5
(B)
3
5
（C）
(D)
1
2
5
5
b ，则函数 ( )
f x
⑷若 a,b 是非零向量，且 a
b ， a
(
xa b
) (
xb a
是
)
（A）一次函数且是奇函数
（C）二次函数且是偶函数
（B）一次函数但不是奇函数
（D）二次函数但不是偶函数
（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的
正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体
的俯视图为：
(6)给定函数①
1
2
x ，②
y
y
x
log (
1
2
，③ |
1)
y
x ，④
1|
y
12x
，期中在区间（0，
1）上单调递减的函数序号是
（A）①② （B）②③
（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 1，
顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，
（D）①④
（C）③④
该八边形的面积为
（A） 2sin
2cos
；
2
（B）sin
3 cos
3
（C）3sin
3 cos
1
（D） 2sin
cos
1
（8）如图，正方体
ABCD-A B C D 的棱长为 2，
1
1
1
1
动点 E、F 在棱 1
1A B 上。点 Q 是 CD 的中点，动点
P 在棱 AD 上，若 EF=1，DP=x， 1A E=y(x,y 大于零)，
则三棱锥 P-EFQ 的体积：
（A）与 x，y 都有关；
（C）与 x 有关，与 y 无关；
（B）与 x，y 都无关；
（D）与 y 有关，与 x 无关；
第Ⅱ卷（共 110 分）
二、
填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分
（9）已知函数
y
log
{
2
,
x x
2
,
x x
2,
2.
右图表示的是给
定 x 的值，求其对应的函数值 y 的程序框图，
①处应填写
；②处应填写
。
（10）在 ABC
中。若 1b ，
c ，
3
，则 a=
c
2
3
。
（11）若点 p（m，3）到直线 4
x
3
y
1 0
的距离为 4，且点 p 在不等式 2x
y ＜3
。
表示的平面区域内，则 m=
（12）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们身高
（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。
由图中数据可知 a=
[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的
学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动
，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数
应为
。若要从身高在
。
（13）已知双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
的离心率为 2，焦点与椭圆
1
么双曲线的焦点坐标为
；渐近线方程为
2
x
25
2
y
9
。
的焦点相同，那
1
（14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。
设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是
y
( )
f x
，则 ( )
f x 的最小正周期为
；
y
( )
f x
在其两个相邻零点间的图像与 x 轴
。
所围区域的面积为
说明：“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方
向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为中心顺
时针旋转，如此继续，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。
三、
解答：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共 13 分）
2cos 2
x
sin
2
x
的值；
已知函数
( )
f x
)
3
（Ⅱ）求 ( )
（Ⅰ）求 (
f
f x 的最大值和最小值
（16）（本小题共 13 分）
已知|
|na 为等差数列，且 3
a ， 6
6
a 。
0
（Ⅰ）求|
|na 的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列|
|nb 满足 1
b ， 2
b
8
a
1
a
2
，求|
a
3
|nb 的前 n 项和公式
（17）（本小题共 13 分）
如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。
EF//AC，AB= 2 ,CE=EF=1
（Ⅰ）求证：AF//平面 BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面 BDF;
(18) （本小题共 14 分）
设定函数
( )
f x
a
3
1，4。
3
x
2
bx
(
cx d a
，且方程 '( ) 9
x
f x
0)
的两个根分别为
0
（Ⅰ）当 a=3 且曲线
y
( )
f x
过原点时，求 ( )
f x 的解析式；
（Ⅱ）若 ( )
f x 在(
无极值点，求 a 的取值范围。
)
,
（19）（本小题共 14 分）
已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 (
2,0)
，( 2,0) ，离心率是
6
3
，直线
椭圆 C 交与不同的两点 M，N，以线段为直径作圆 P,圆心为 P。
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标；
（Ⅲ）设 Q（x，y）是圆 P 上的动点，当 变化时，求 y 的最大值。
（20）（本小题共 13 分）
已 知 集 合
S
n
{
X X
|
(
,
x x
1
2
,
x
…，
n
),
x
1
{0,1},
i
1,2,
…
, }(
n n
2)
对 于
A
(
,
a a
1
2
,
… ，
a
,)n
B
(
,
b b
1
2
,
…
,)n
b
S
n
，定义 A 与 B 的差为
A B
(|
a
1
b
1
|,|
a
2
b
2
|,
A 与 B 之间的距离为
(
d A B
,
)
…
n
b
|
|);
a
n
a
1
|
b
1
|
i
1
（Ⅰ）当 n=5 时，设
A
(0,1,0,0,1),
B
(1,1,1,0,0)
，求 A B ， (
d A B ；
)
,
（Ⅱ）证明： ,
A B C S
,
,n
有
A B S
n
，且 (
d A C B C
,
)
(
d A B
,
)
;
(Ⅲ) 证明： ,
A B C S d A B d A C d B C
),
),
(
(
(
,
,
,
,
,
n
)
三个数中至少有一个是偶数
2010 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
⑴ B
⑸ C
⑵ C
⑹ B
⑶ D
⑺ A
⑷ A
⑻ C
二、提空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
⑼
x
2
y
log
x
2
⑽ 1
⑾ -3
⑿ 0.030
3
⒀ ( 4,0
)
3
x
y
0
⒁ 4
1
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）
解：（Ⅰ）
⒂（共 13 分）
(
)
3
( )
f x
（Ⅱ）
f
2cos
2
3
2
2(2cos
x
sin
2
1
=
3
(1 cos
2
3
4
)
x
1
4
1)
3cos
2
x
1,
x R
因为
cos
x
1,1
,所以，当 cos
( )
f x 去最小值-1。
⒃（共 13 分）
x 时 ( )
f x 取最大值 2；当 cos
1
x 时，
0
解：（Ⅰ）设等差数列{ }na 的公差 d 。
a
因为 3
66,
a
0
a
所以 1
a
1
2
d
5
d
6
0
a
解得 1
10,
d
2
所以
na
10 (
n
1) 2
2
n
12
（Ⅱ）设等比数列{ }nb 的公比为 q
b
因为 2
a
1
a
a
3
2
24,
b
8
所以 8
q
24
即 q =3
所以{ }nb 的前 n 项和公式为
S
n
n
)
1(1
b
1
q
q
n
4(1 3 )
⒄（共 13 分）
证明：（Ⅰ）设 AC 于 BD 交于点 G。因为 EF∥AG,且 EF=1，AG=
1
2
AG=1
所以四边形 AGEF 为平行四边形
所以 AF∥EG
因为 EG 平面 BDE,AF 平面 BDE,
所以 AF∥平面 BDE
（Ⅱ）连接 FG。因为 EF∥CG,EF=CG=1,且 CE=1,所以平行四边形 CEFG 为菱形。所以
CF⊥EG.
因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BD⊥AC.又因为平面 ACEF⊥平面 ABCD,且平面
ACEF∩平面 ABCD=AC,所以 BD⊥平面 ACEF.所以 CF⊥BD.又 BD∩EG=G,所以 CF⊥平面 BDE.
(18)(共 14 分)
解：由
( )
f x
a
3
3
x
2
bx
cx d
得
( )
f x
2
ax
2
bx
c
9 0
2
b c
8
b c
36 0
因为
( ) 9
f x
x
2
ax
2
bx
c
9
x
的两个根分别为 1,4，所以
0
a
16
a
（*）
（Ⅰ）当 3
a 时，又由（*）式得
6 0
2
b c
8
12 0
b c
解得
b
3,
c
12
又因为曲线
y
( )
f x
过原点，所以
d
0
故
( )
f x
3
x
2
3
x
12
x
（Ⅱ）由于 a>0,所以“
( )
f x
a
3
3
x
2
bx
cx d
在（-∞，+∞）内无极值点”等价于
“
( )
f x
2
ax
2
bx
在（-∞，+∞）内恒成立”。
c
0
由（*）式得 2
b
9 5 ,
a c
。
a
4
又
2
(2 )
b
4
ac
9(
a
1)(
a
9)
解
a
0
9(
a
1)(
a
9) 0
得
a
1,9
即 a 的取值范围
1,9
（19）（共 14 分）
解：（Ⅰ）因为
c
a
6
3
，且
c ，所以
2
a
3,
b
2
a
2
c
1
所以椭圆 C 的方程为
2
x
3
2
y
1
（Ⅱ）由题意知 (0, )( 1
p
t
t
1)
y
由 2
x
3
t
得
x
3(1
t
2
)
2
y
1
所以圆 P 的半径为
3(1
2
)t
解得
t
3
2
所以点 P 的坐标是（0，
）
3
2
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆 P 的方程 2
x
(
y t
)
2
3(1
y
t
3(1
t
2
)
x
2
t
3(1
t
2
)
2
。因为点 ( ,
Q x y 在圆 P 上。所以
)
)
t
设 cos ,
)
t
，则
t
3(1
t
2
)
cos
3 sin
2sin(
)
6
t ，且 0
x ， y 取最大值 2.
当
，即
3
(0,
1
2
(20)(共 13 分)
（Ⅰ）解：
A B
( 0 1 , 1 1 , 0 1 , 0 0 , 1 0 )
=（1,0,1,0,1）
(
d A B =3
0 0
1 0
0 1
0 1
1 1
)
,
(Ⅱ)证明：设
A
(
,
a a
1
2
,
,
a B
n
),
(
,
b b
1
2
,
,
b C
n
),
(
,
c c
1
2
,
,
c
n
)
S
n
因为 1
a b
1,
{0,1}
a
，所以 1
b
1
{0,1}(
i
1,2,
, )
n
从而
A B
(
a
1
b
1
,
a
2
b
2
,
a
b
n
n
)
S
n
由题意知 ,
,
a b c
i
i
i
{0,1}(
i
1,2,
, )
n
当
a
ic 时， i
0
c
i
b
i
c
i
a
i
b
i
当 1
ic 时，
a
i
c
i
b
i
c
i
(1
a
i
)
(1
b
i
)
a
i
b
i
所以
(
d A C B C
,
)
n
i
1
a
i
b
i
(
d A B
,
)
(Ⅲ)证明：设
A
(
,
a a
1
2
,
,
a B
n
),
(
,
b b
1
2
,
,
b C
n
),
(
,
c c
1
2
,
,
c
n
)
S
n
(
d A B
,
)
,
k d A C
(
,
)
,
l d B C
(
,
)
h
记 0 (0,0, 0)
由（Ⅱ）可知
nS
(
d A B
(
d A C
(
d B C
,
,
,
)
)
)
(
)
d A A B A
)
(
d A A C A
(
)
d B A C A
,
,
,
(0,
)
B A
d
)
(0,
d C A
h
k
l
所以
b
i
(
a i
i
1,2,
中 1 的个数为 k,
, )
n
c
i
(
a i
i
1,2,
中 1 的个数为l
, )
n
设t 是使
b
i
a
i
c
i
a
i
成立的i 的个数。则
1
由此可知， , ,k l h 三个数不可能都是奇数
h l
k
2
t
即 (
d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数。
),
(
,
)
,
),
(
,
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