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2016年数学建模A题.doc
系泊系统的设计问题
摘要
系泊系统的设计常用于海洋探测与标记作用，为了固定探测平台或者标记海上坐标，
系泊系统一般由重锚、锚链、装有测量仪器的钢桶、平衡钢桶的重物球、钢管和水面上的
浮标组成。整个系统的平衡主要由锚、锚链、钢桶、重物球、钢管和浮标等个物体的重力
和浮力调节，题目要求在给定变量的情况下，求解相关未知量，根据受力分析可建立多元
方程组模型，通过将数据代入该模型，可求解涉及系泊系统的最优设计方案。
首先对平衡状态下的整个系统及各个物体进行受力分析，得到由若干变量组成的方程
组，然后，将已知的相关变量代入建立的模型，可得到吃水深度及各个角度值，最后可利
用物理与数学知识求解未知量。
针对问题一，结合以上的分析，对系统及各物体的受力分析，利用吃水深度、钢桶和
各节钢管的倾斜角度、重物球的质量、锚链的型号与长度、浮力及风力的相关关系，建立
方程组模型，代入已知量，利用Lingo进行求解便可得到吃水深度及各个角度值，对锚链形
状的求解可由悬链线方程得到。
针对问题二，经过对模型的分析及问题一的求解，可知重物球对钢桶和钢管的角度有
较明显的影响，在海面风速增大之后，代入模型可求得钢桶及锚链与海平面的角度不再符
合题目要求，可能会对测量数据造成较大的影响，故在改变风速的同时将重物球的质量设
置为未知量，对钢桶的角度和锚链与海平面的角度进行范围限制，利用Lingo可解出在此
环境下的最优解。其他相关变量亦可通过具体的受力分析方程及相关的三角函数方程解
得。
针对问题三，由于潮汐的影响，海域水深不定，在风力和水流力的作用下，浮标将承
受更大的外力，假设风力与水流力的方向相同，此时整个系统受到的外力最大，若此时测
量设备及相关数据合理即可证明系统可靠安全。将相关数据代入模型，即可得到在系统正
常工作情况下合理的钢桶、钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区
域。
关键词: 数学建模
非线性拟合
悬链线方程 系泊系统 受力分析
1
一 问题重述
近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成，系泊系统由钢
管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。要求锚链末端与锚的链接处的切线
方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。钢桶竖直时，水声
通讯设备的工作效果最佳，若钢桶倾斜大于5度，则影响设备的工作效果。为了控制钢桶的
倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。
（一） 某型传输节点选用 II 型电焊锚链 22.05m，选用的重物球的质量为 1200kg。
现将该型传输节点布放在水深 18m、海床平坦、海水密度为 1.025×103kg/m3 的海域。若海
水静止，分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、
浮标的吃水深度和游动区域。
（二） 在问题 1 的假设下，计算海面风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、
锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过 5 度，锚
链在锚点与海床的夹角不超过 16 度。
（三） 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于 16m~20m 之间。布放点的海
水速度最大可达到 1.5m/s、风速最大可达到 36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况
下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度
和游动区域。
二 问题假设
（1） 假设水流没有垂直分量及水流恒定；
（2） 假设锚链形状符合悬链线方程；
（3） 假设物体不受大气压强，水压的影响；
（4） 假设重物球、锚链及锚不受浮力影响；
（5） 假设锚链没有三维形变；
（6） 假设水流不受水深的影响；
三 符号说明
0 :r 浮标的半径
2 :r 钢桶的半径
0 :h 浮标的长度
2 :h 钢桶的长度
1 :r 钢管的半径
:H 吃水深度
1 :h 钢管的长度
:h 海水深度
2
0 :m 浮标的质量
2 :m 钢桶的质量
4 :m 锚链的质量
0 : 第一节钢管与竖直方向的夹角
2 : 第三节钢管与竖直方向的夹角
4 : 钢桶与竖直方向的夹角
6 : 锚链与水平方向的夹角
1 : 单位长度的质量
:L 锚链的长度
1 :v 水的速度
1 :F 水流力
3 :F 浮标受到的浮力
5 :F 钢桶受到的浮力
0 :
f 第一节钢管对浮标的拉力
2 :
f 第三节钢管对第二节钢管的拉力
4 :
f 钢桶对第四节钢管的拉力
6 :
f 锚对锚链的拉力
0 :y 海平面到钢桶底端的距离
:R 游动区域的半径
1 :m 钢管的质量
3 :m 重物球的质量
5 :m 锚的质量
1 : 第二节钢管与竖直方向的夹角
3 : 第四节钢管与竖直方向的夹角
5 : 钢桶与锚链的夹角
0 : 海水的密度
:g 重力加速度
0 :v 风的速度
0 :F 风力
2 :F 摩擦力
4 :F 钢管受到的浮力
:nF 支持力
1 :f 第二节钢管对第一节钢管的拉力
3 :f 第四节钢管对第三节钢管的拉力
5 :
f 锚链对钢桶的拉力
:M 总体的质量
1 :y 钢桶底端到海床的距离
四 问题分析
近前海区域系泊系统由钢管、钢桶、重物球、锚链和抗拖移锚组成，为了保证锚链末
端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，而且钢桶与竖直方向的角度不超过5
度，只需要调节重物球的质量和锚链的型号及长度即可。
针对问题一，问题要求根据已知数据计算出海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢
管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。首先，对系统和各个物体通过受
力分析得出的方程组求解可直接得出浮标的吃水深度、钢桶及钢管的倾斜角度。然后，通
过将得到的数据代入到悬链线方程，可得出锚链的形状方程。最后，利用三角函数可得出
浮标到钢桶的垂直距离，进而得到锚链到海平面的垂直距离，代入悬链线方程，可得出锚
链在水平方向上的投影长度，进而推算出浮标的游动区域。
针对问题二，在问题一的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角
度、锚链形状和浮标的游动区域。在问题一的求解中，已知重物球对钢桶的倾斜角度有明
3
显的影响，对问题的求解仍然可以使用问题一的模型，只需要将重物球的质量设为未知量，
同时限制钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度即可，对重构后
的方程组使用软件求解，可得出在限制条件成立下的重物球质量最优解。
针对问题三，在多重因素不定的情况下，取外力对系统的干扰效果最大时数据进行计
算，即可测试设备是否可以在恶劣情况下正常工作。同时将不同情况下的系统的各个参数代
入模型，即可得到多组数据，进而可得到多重因素对相关角度，悬链线方程，游动区域的影
响。
五 模型的建立与求解
5.1 问题一的模型及求解
5.11 问题一的模型
漂浮于自由表面的浮标, 在定常的风力的作用下将产生漂移.但由于锚泊线的系留作
用, 浮标漂移至一定距离后, 必处于某一平衡状态.
F
0
(
h H
0
) 2
r
0
2
v
0.625;
对浮标受力分析：
F
0
H
f
0
0
sin(
);
0
g
f
0
cos(
0
)
m g
0
;
对第一节钢管受力分析：
F
0
f
0
sin(
);
f
1
1
2
cos(
)
r
0
1
0
g
f
1
cos(
1
)
m g
1
;
对第二节钢管受力分析：
3F
0F
0f
0
0m g
图 5-1-1-1
4F
0
0f
1f
1
1m g
图 5-1-1-2
4F
1
1f
F
0
f
1
);
sin(
f
2
2
2
cos(
)
r
0
1
1
g
f
2
cos(
2
)
m g
1
;
2f
2
1m g
图 5-1-1-3
4
对第三节钢管受力分析：
F
0
f
2
);
sin(
f
3
3
2
cos(
)
r
0
2
1
g
f
3
cos(
3
)
m g
1
;
对第四节钢管受力分析：
F
0
f
3
);
sin(
f
4
4
2
cos(
)
r
0
3
1
g
f
4
cos(
4
)
m g
1
;
4F
2
2f
3f
3
1m g
图 5-1-1-4
4F
3
3f
4f
4
1m g
图 5-1-1-5
对钢桶受力分析：
5F
4
4f
F
0
f
4
sin(
f
5
5
cos(
)
r
4
2
);
2
0
g
f
5
cos(
5
)
对锚链受力分析：
m g m g
3
2
F
0
f
5
cos(
f
6
6
cos(
)
f
5
);
6
sin(
6
)
L
1
g
;
对锚的受力分析：
f
6
sin(
6
)
总体受力分析：
F m g
n
5
;
5
5f
5
;
图
2m g
3m g
5
5f
6
6f
2F
2F
4m g
图 5-1-1-7
nF
6
5mg
图 5-1-1-8
nF
0F
Mg
图 5-1-1-9
m m m L
1
2
3
1
);
nF
0
(
g Hr
0
2
4
2
h r
1 1
2
h r
2 2
)
(
g m
0
4
锚链的悬链线方程：
cosh[(
y
a
x
(
a F
g
0
0
);
x
0
)
a
]
y
0
;
5.12 问题一的求解：
对问题一的方程进行整理汇总，利用Lingo求解得吃水深度、钢桶及各个钢管的倾斜角
度。
已知：
(
)L m
22.05
)
0(
m kg
1000
0(
)
r m
1
1(
m kg
10
)
)
1(
r m
0.025
)
2(
m kg
100
代入方程组，Lingo可得出：
表 1
2(
)
r m
0.15
)
3(
m kg
1200
表 2
)
0(
h m
2
1(
)
h m
1
/
3
0(
kg m
1.025 10
)
3
1(
)
/
kg m
7
)
2(
h m
1
5(
m kg
600
)
(
)
h m
18
v (m/s) H (m)
0 (°)
1 (°)
2 (°)
3 (°)
4 (°)
5 (°)
6 (°)
0(
F N
)
12
24
0.750
0.750
0.931
3.720
0.937
3.741
0.941
3.762
0.947
3.784
0.953
3.806
8.467
30.77
0
0
225.0
900.0
在已知吃水高度与相关角度的情况下，可通过三角函数求得海平面与钢桶底端的垂直
距离 0y 。
6
0y
1y
0x
1x
图 5-1-2-1
cos(
)
1
h
1
2
)
h
1
cos(
3
)
h
2
cos(
4
)
y
0
hH
1
cos(
0
)
h
1
1 18 y
y
0
cos(
x
0
h
1
sin(
0
)
h
1
sin(
1
)
h
1
sin(
2
)
h
1
sin(
3
)
h
2
sin(
4
)
当风速为12m/s时，求解悬链线方程及游动区域：
2
y
x
2
y
3
5.7527 ;
m
0.081 ;
m
12.2473 ;
m
当风速为24m/s时，求解悬链线方程及游动区域：
代入悬链线方程：
2
y
x
2
y
3
5.6004 ;
m
0.5026 ;
m
12.3995 ;
m
x
x
0
a
)
y
0
;
y
a
cosh(
a
F
0
g
0
;
可得出悬链线方程（锚链形状）：
当风速为12m/s时，求解悬链线方程及游动区域：
7
y
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-2
y=3.281*cosh((x-3.69)/3.281)-5.58
0
2
4
x
图 5-1-2-2
6
8
10
y
281.3
cosh(
69.3
x
281.3
58.5)
游动区域：
R
0
=x
0
x
1
0.081 4.137
4.218;
游动区域为以锚点为原点，以4.218m为半径的圆形区域。
当风速为24m/s时，求解悬链线方程及游动区域：
y
.14
423
cosh(
x
.0
5776
.14
423
)
.14
4345
y=29.5305cosh((x+9.593)/29.5305)-31.103
y
60
50
40
30
20
10
0
-10
-60
-50
-40
-30
-20
0
10
20
30
40
-10
x
图 5-1-2-3
8
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