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2003年北京高考文科数学真题及答案.doc
2003 年北京高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
注意事项：
新疆
王新敞
奎屯
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
三角函数的积化和差公式：
sin
cos
cos
sin
)
)
sin(
)]
sin(
)]
[sin(
[sin(
1
2
1
2
1
[cos(
2
1
2
cos
cos
)
cos(
)]
sin
sin
[cos(
)
cos(
)]
正棱台、圆台的侧面积公式
S
台侧
1
2
(
c
)
lc
其中 c 、 c 分别表示上、下底面
周长，l 表示斜高或母线长.
球 体 的 体 积 公 式 ：
，其中 R 表示球的半径.
V
4 R
球
3
3
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
1．设集合
A
|{
xx
2
},01
B
log|{
x
x
则|},0
BA
等于
2
（
）
A．
C．
|{
}1
xx
|{
xx
9.0
,4
}1
y
2
2．设
y
1
A．y3>y1>y2
3．“
cos
2
3
2
44.0
8
”是“
3
,
)
y
5.1
1(
2
B．y2>y1>y3
5
12
2
k
B．
D．
|{
xx
|{
xx
}0
1
或
x
}1
，则
C．y1>y2>y3
D．y1>y3>y2
,
Zk
”的
（
）
（
）
A．必要非充分条件
C．充分必要条件
B．充分非必要条件
D．既非充分又非必要条件
4．已知α，β是平面，m，n 是直线.下列命题中不．正确的是
（
）
A．若 m∥α，α∩β=n，则 m//n
B．若 m∥n，α∩β=n，则 n⊥α
C．若 m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若 m⊥α，
m
，则α⊥β
5．如图，直线
:
xl
2
y
2
0
过椭圆的左焦点 F1 和
一个顶点 B，该椭圆的离心率为
（
）
A．
1
5
C．
5
5
6．若 Cz 且
|
z
B．
D．
2
5
52
5
,1|22
i
则
|
z
|22
i
的最小值是
y
B
O
F
1
F
2
x
A．2
B．3
C．4
D．5
7．如果圆台的母线与底面成 60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （
）
A． 2
B．
3
2
C．
32
3
D．
1
2
8．若数列 na 的通项公式是
A．
1
24
n
3
n
n
3)1(
2
,
n
C．
,2,1
1
6
，则
lim
n
(
a
1
a
2
a
n
)
等于（
）
D．
1
2
n
a
1
8
B．
9．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，
）
其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有
（
A．24 种
B．18 种
C．12 种
D．6 种
10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班 k名同学都有选举权和被选举权，他们
的编号分别为 1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令
aij
,1
第
,0
j
i
号同学同意第
i
第
j
号同学不同意第
.
号同学当选
.
号同学当选
其中 i=1，2，…，k，且 j=1，2，…，k，则同时同意第 1，2 号同学当选的人数为（
）
A．
a
11
a
12
a
1
k
a
21
a
22
a
2
k
B．
a
11
a
21
a
k
1
a
12
a
22
a
k
2
C．
aa
11
12
aa
21
22
k aa
1
k
2
D．
aa
11
21
aa
12
22
k aa
1
2
k
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上.
11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为
新疆
王新敞
奎屯
12．函数
)(
xf
1lg(
2
x
),
)(
xg
|2
|,
)(
xhx
tg
2
x
中，
是偶函数.
13．以双曲线
2
x
16
2
y
9
1
右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是
新疆
王新敞
奎屯
14．将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积
之和最小，正方形的周长应为
新疆
王新敞
奎屯
三、解答题：本大题共 6 小题，共 84 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分 13 分）
已知函数
)(
xf
4
cos
x
sin2
x
cos
x
sin
4
.
x
（Ⅰ）求 )(xf 的最小正周期；
（Ⅱ）求 )(xf 的最大值、最小值.
16．（本小题满分 13 分）
已知数列 na 是等差数列，且
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式；
a
1
,2
a
1
a
2
a
3
.12
（Ⅱ）令
b
n
a
n
n
(3
Rx
).
求数列 nb 前 n 项和的公式.
17．（本小题满分 15 分）
如图，正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，D 是 BC 的中点，AB=a.
（Ⅰ）求证：直线 A1D⊥B1C1；
（Ⅱ）求点 D 到平面 ACC1 的距离；
（Ⅲ）判断 A1B 与平面 ADC 的位置关系，
并证明你的结论.
C
1
C
B
1
A
1
D
B
A
18．（本小题满分 15 分）
如图，A1，A 为椭圆的两个顶点，F1，F2 为椭圆的两个焦点.
（Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；
（Ⅱ）过线段 OA 上异于 O，A 的任一点 K 作 OA 的垂线，交椭圆于 P，P1 两点，直线
A1P 与 AP1 交于点 M.
求证：点 M 在双曲线
2
x
25
2
y
9
1
上.
y
B
2
A
1
(-5,0)
F
(-4,0)
1
O
(4,0)
F
2
A
(5,0)
2
x
B
1
19．（本小题满分 14 分）
有三个新兴城镇，分别位于 A，B，C 三点处，且 AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个
中心医院，为同时方便三镇，准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处，（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点 P 到三镇距离的平方和为最小，
点 P 应位于何处？
（Ⅱ）若希望点 P 到三镇的最远距离为最小，
点 P 应位于何处？
y
A
P
B(-b,0)
O
C(b,0)
x
20．（本小题满分 14 分）
设
y
)(xf
是定义在区间
]1,1[ 上的函数，且满足条件：
（i）
f
)1(
f
)1(
;0
（ii）对任意的
,
vu
],1,1[
都有
|
)(
uf
|
|)(
vf
vu
.|
（Ⅰ）证明：对任意的
x
],1,1[
都有
x
1
1)(
xf
;
x
（Ⅱ）判断函数
)(
xg
1
1
,
xx
,
xx
)0,1[
]1,0[
是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数
y
)(xf
，且使得对任意的
,
vu
],1,1[
都有
|
)(
uf
|)(
vf
.
vu
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 50 分.
1．A
2．D
3．A
4．A
5．D
6．B
7．C
8．B
9．B
10．C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.
11．3
12．
)(
(
xgxf
);
13．
2
y
(36
x
)4
14．
4
4
三、解答题：本大题共 6 小题，共 84 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运
算能力，满分 13 分. （Ⅰ）解：因为
)(
xf
4
cos
x
sin2
x
cos
x
sin
4
x
2
(cos
x
sin
2
x
)(cos
2
x
sin
2
cos
2
x
2sin
x
2
cos(
2
x
2sin
x
)
x
)
4
所以 )(xf 的最小正周期
T
2
.
2
cos(
2
x
),
4
（Ⅱ）解：因为
)(
xf
2
所以 )(xf 的最大值为 2 ,最小值为－ 2
16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的
能力.满分 13 分.
（Ⅰ）解：设数列 }{ na 公差为 d ，则
a
1
a
2
a
3
3 1
a
3
d
,12
又
a
1
,2
d
.2
所以
an
.2n
（Ⅱ）解：由
b
n
a
n
n
3
n
,32
n
得
S
n
3432
2
2(
n
3)2
n
1
n
,32
n
①
3
S
n
32
2
34
3
2(
n
3)2
n
32
n
n
1
.
②
将①式减去②式，得
2
S
n
33(2
2
n
2)3
n
3
n
1
n
3(3
2)1
n
3
n
1
.
所以
S
n
n
)31(3
2
n
1
n
.3
17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查
空间想象能力和逻辑推理能力. 满分 15 分.
（Ⅰ）证法一：∵点 D 是正△ABC 中 BC 边的中点，∴AD⊥BC，
又 A1A⊥底面 ABC，∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.
证法二：连结 A1C1，则 A1C=A1B. ∵点 D 是正△A1CB 的底边中 BC 的中点，
∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.
（Ⅱ）解法一：作 DE⊥AC 于 E， ∵平面 ACC1⊥平面 ABC，
∴DE⊥平面 ACC1 于 E，即 DE 的长为点 D 到平面 ACC1 的
距离. 在 Rt△ADC 中，AC=2CD=
,
ADa
3
2
.
a
∴所求的距离
DE
CD
AD
AC
3 a
.
4
C
1
C
B
1
A
1
D
E
B
A
解法二：设点 D 到平面 ACC1 的距离为 x ，
∵体积
V
C
1
ACD
1
V
D
ACC
1
1
3
3
8
2
a
CC
1
1
3
1
2
CCa
1
.
x
x
3 a
4
,
3 .
即点 D 到平面 ACC1 的距离为 a
4
（Ⅲ）答：直线 A1B//平面 ADC1，证明如下：
证法一：如图 1，连结 A1C 交 AC1 于 F，则 F 为 A1C 的中点，∵D 是 BC 的中点，∴DF
∥A1B，
又 DF 平面 ADC1，A1B 平面 ADC1，∴A1B∥平面 ADC1.
证法二：如图 2,取 C1B1 的中点 D1，则 AD∥A1D1，C1D∥D1B，
∴AD∥平面 A1D1B，且 C1D∥平面 A1D1B，
∴平面 ADC1∥平面 A1D1B，∵A1B 平面 A1D1B，∴A1B∥平面 ADC1.
C
1
C
B
1
C
1
A
1
D
1
B
1
A
1
F
D
A
图（1）
B
C
D
B
图（2）
A
18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分
15 分.
（Ⅰ）解：由图可知,
a
,5
c
,4
所以
b
2
a
2
c
.3
该椭圆的方程为
,1
2
2
x
y
25
9
25x
4
.
准线方程为
y
O
B
2
(0,3)
B
(0,-3)
1
P
K
P
1
M
A
(5,0)
2
x
A
1
(-5,0)
（Ⅱ）证明：设 K 点坐标
( 0x
)0,
,点 P、P1 的坐标分别记为
(
x
0
,
y
0
(),
x
0
,
，
y
)
0
其中
0
x
0
,5
则
,1
……① 直线 A1P，P1A 的方程分别为：
2
y
0
9
2
x
0
25
),5
(
x
0
)5
y
y
0
(
x
……②
5(
x
0
)
y
y
0
(
x
).5
……③
②式除以③式得
x
5
5
0
x
0
x
x
5
5
,
化简上式得
x
,25
0x
代入②式得
y
5
y
x
0
0
,
于是，直线 A1P 与 AP1 的交点 M 的坐标为
5,25(
y
x
x
0
0
0
).
因为
1
25
)25(
x
0
2
1
9
5(
y
x
0
0
2
)
25
2
x
0
1(25
x
2
0
2
x
0
25
.1)
所以，直线 A1P 与 AP1 的交点 M 在双曲线
2
x
25
2
y
9
上1
.
19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能
力.满分 14 分.
（Ⅰ）解：设 P 的坐标为（0， y ），则 P 至三镇距离的平方和为
)(
yf
25(2
2
y
)
12(
2
y
)
(3
y
2
)4
146
.
所以，当
4y 时，函数
)(yf 取得最小值. 答:点 P 的坐标是 ).4,0(
（Ⅱ）解法一：P 至三镇的最远距离为
)(
xg
25
12|
y
y
|,
2
,
当
当
25
|,
y
2
y
2
12|
12|
y
y
.|
25
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