2003年北京高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2003 年北京高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（5 分）设集合 A  { | x x 2 1 0}   ， B  { | log x x 2  ，则 A B 等于 ( 0 |} x x   1} C．{ | ) A．{ | x x  1} B．{ | x x  0} D．{ | x x  或 1 x   1} 2．（5 分）设 y  ， 1 0.9 4 y  ， 2 0.48 8 y 3  1( 2 1.5  ) ，则 ( ) y A． 3  y 1  y 2 y B． 2  y 1  y 3 y C． 1  y 2  y 3 y D． 1  y 3  y 2 3．（5 分）“ cos2   ”是“ 3 2   2 k  5  12 ,  ”的 ( k Z ) A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 4．（5 分）已知， 是平面， m ， n 是直线，下列命题中不正确的是 ( ) A．若 / /m ，   n ，则 / /m n B．若 / /m n ， m  ，则 n  C．若 m  ， m  ，则 / /  D．若 m  ， m  ，则  5．（5 分）极坐标方程 2 cos2     2 cos  1  表示的曲线是 ( ) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 6．（5 分）若 z C ，且| z   2 2 | 1  ，则| i z   的最小值是 ( 2 2 | i ) A．2 B．3 C．4 D．5 7．（5 分）如果圆台的母线与底面成 60 角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 ( ) A． 2 B． 3 2  C． 2 3 3  D． 1 2  8．（5 分）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有 ( ) A．24 种 B．18 种 C．12 种 D．6 种 9．（5 分）若数列 { }na 的通项公式是 na  n 3   n  2 n  2 ) n  n ( 1) (3    2 ， 1n  ，2，  ，则 lim( n  a 1 A． 11 24  a 2  等于 ( )n a ) B． 17 24 C． 19 24 D． 25 24

10．（5 分）某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班 k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为 1，2， ， k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 a ij 1, .  第号同学同意第号同学当选   0,  . 第号同学不同意第号同学当选 i i j j 其中 1i  ，2， ， k ，且 1j  ，2， ， k ，则同时同意第 1，2 号同学当选的人数为 ( ) a A． 11  a 12   a 1 k  a 21  a 22   a 2 k a B． 11  a 21   a k 1  a 12  a 22   a k 2 a a C． 11 12  a a 21 22   a a 1 k k 2 a a D． 11 21  a a 12 22   a a 1 2 k k 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上. 11．（4 分）函数 ( ) f x  lg (1 2  ， x ) ( ) g x 2  x    0   x  1 x   ， ( ) h x | 1 | x 1. x  2  tan 2 x 中，是偶函数． 12．（4 分）已知双曲线方程为 2 x 16 2 y 9 物线方程为． 1  ，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛 13．（4 分）如图，已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为 a ，最小值为 b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是． 14．（4 分）将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为．三、解答题：本大题共 6 小题，共 84 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13 分）已知函数 ( ) f x  4 cos x  2sin cos x x  4 sin x （Ⅰ）求 ( ) f x 的最小正周期；（Ⅱ）求 ( ) f x 在区间[0,  ] 2 上的最大值和最小值．

16．（13 分）已知数列{ }na 是等差数列，且 1 a  ， 1 a 2  a 2  a 3  ． 12 （1）求数列{ }na 的通项公式；（2）令 b n  n a x x R n  ，求数列{ }nb 前 n 项和的公式． ( ) 17．（15 分）如图，三棱柱 ABC A B C 1 1 1  的底面是边长为 3 的正三角形，侧棱 1AA 垂直于底面 ABC ， 1 AA  3 3 2 ， D 是 CB 延长线上一点，且 BD BC ．（1）求证：直线 1 / / BC 平面 1AB D ；（2）求二面角 1B  AD B  的大小； C （3）求三棱锥 1  ABB 1 的体积． 18．（15 分）如图，已知椭圆的长轴 1 2A A 与 x 轴平行，短轴 1 2B B 在 y 轴上，中心 (0M ， )( r b r  0 （Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；（Ⅱ）设直线 y k x 与椭圆交于 1(C x ， 1)y ， 2(D x ， 2 y 1 )( y  ，直线 2 0) y  与椭圆次于 3(G x ， k x 2 3)y ， 4(H x ， 4 y )( y  ．求证： 4 0) k x x 1 1 2 x x  1 2  k x x 1 3 4 x x  3 4 ；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在 C ， D ， G ， H ，设 CH 交 x 轴于 P 点， GD 交 x 轴于 Q 点，求证：| OP OQ | | | （证明过程不考虑 CH 或 GD 垂直于 x 轴的情形）

19．（14 分）有三个新兴城镇分别位于 A 、 B 、 C 三点处，且 AB AC a  ，  BC b ，今 2 计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处（建立坐标系如图）．（Ⅰ）若希望点 P 到三镇距离的平方和最小，则 P 应位于何处？（Ⅱ）若希望点 P 到三镇的最远距离为最小，则 P 应位于何处？ 20．（14 分）设 y  ( ) f x 是定义在区间[ 1 ，1] 上的函数，且满足条件，① ( 1)   （1） 0 ， f f ②对任意的 u 、 [ 1 v   ，1] ，都有| ( ) f u  ( ) | f v | u v  | （Ⅰ）证明：对任意 [ 1 x   ，1] ，都有 1  x ( ) 1 f x  x （Ⅱ）证明：对任意的 u ， [ 1 v   ，1] 都有| ( ) f u  ( ) | 1 f v （ Ⅲ ）在区间 [ 1 ， 1] 上是否存在满足题设条件的奇函数 y  ( ) f x 且使得  |    |  ( ) f u  ( ) | f v |   u v uv | ( ) f u  ( ) | f v |   u v uv | 1 ] 2 ,1]  [0,  [ 1 2 ；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（5 分）设集合 A  { | x x 2 1 0}   ， B  { | log x x 2 A．{ | x x  1} B．{ | x x  0} 【解答】解：根据题意：集合 { | x x A   ，则 A B 等于 ( 0 |} x x   1} C．{ |   或 1} x  ，集合 { | x x B 1   1} ) D．{ | x x  或 1 x   1}   A B  { | x x  1} ．故选： A ． 2．（5 分）设 y  ， 1 0.9 4 y  ， 2 0.48 8 y 3  1( 2 1.5  ) ，则 ( ) y A． 3  y 1  y 2 y B． 2  y 1  y 3 y C． 1  y 2  y 3 y D． 1  y 3  y 2 【解答】解： y 1 0.9  4  2 2 0.9   ， 1.8 2 y 2  0.48 8  3 0.48 2   ， 1.44 2 y 3  1( 2  1.5 )  ． 1.5 2 因为函数 2x y  在定义域上为单调递增函数，所以 1 y  y 3  ． y 2 故选： D ． 3．（5 分）“ cos2   ”是“ 3 2   2 k  5  12 ,  ”的 ( k Z ) A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【解答】解：由 cos2   ，得 3 2 2   2 k 所以   k  5 ,  12 k Z  ，是“   2 k  5  12 ,  ，即 5  6   k  5 ,  12 k Z  ， k Z  ”的必要不充分条件．故“ cos2   ”是“ 3 2   2 k  5  12 , k Z  ”的必要不充分条件．故选： A ． 4．（5 分）已知， 是平面， m ， n 是直线，下列命题中不正确的是 ( ) A．若 / /m ，   n ，则 / /m n B．若 / /m n ， m  ，则 n  C．若 m  ， m  ，则 / /  D．若 m  ， m  ，则  【解答】解：对于 A ，若 / /m ， m  ，   n ，则 / /m n 但条件中缺少“ m  ”，故不一定有 / /m n 成立，故 A 不正确；对于 B ，根据两条平行线与同一个平面所成角相等，可得

若 / /m n ， m  ，则 n  ，故 B 正确；对于 C ，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可得若 m  ， m  ，则 / / ，故 C 正确；对于 D ，若直线与平面垂直，则直线与平面内所有直线都垂直故若 m  ， m  ，则  ，故 D 正确因此，不正确的命题只有 A 故选： A ． 5．（5 分）极坐标方程 2 cos2     2 cos  1  表示的曲线是 ( ) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线【解答】解：极坐标方程 2 cos2     2 cos   可化为： 2 1  (cos 2   2 sin    ) 2 cos  1  ， 2   x 2 y  2 x 1  ，即 ( x 2  1)  2 y  ，它表示中心在 (1,0) 的双曲线． 2 极坐标方程 2 cos2     2 cos  1  表示的曲线是双曲线．故选： D ． 6．（5 分）若 z C ，且| z   2 2 | 1  ，则| i z   的最小值是 ( 2 2 | i ) A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：由题意知，| Z   2 2 | 1  表示：复平面上的点到 ( 2,2)  的距离为 1 的圆， i 即以 ( 2,2)  为圆心，以 1 为半径的圆， | Z   表示：圆上的点到 (2,2) 的距离的最小值， 2 2 | i 即圆心 ( 2,2)  到 (2,2) 的距离减去半径 1，则| 2 ( 2) | 1 3     故选： B ． 7．（5 分）如果圆台的母线与底面成 60 角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 ( ) A． 2 B． 3 2  C． 2 3 3  D． 1 2  【解答】解：圆台的母线与底面成 60 角， 设上底圆半径为 r ，下底面圆半径为 R ，母线为 l ，可得 2(  l R r  ) 因此，圆台的侧面积为 S 侧     r R l    2  2 R  2 r 

又圆台的高 h  3( R r  ) 圆台的轴截面面积为 S 轴  1 2  2 r  2  R h   3 2 R  2 r  由此可得圆台的侧面积与轴截面面积的比为 2 (   R 2 2 r ) : 3( R 2  2 r )   2 3 3 故选： C ． 8．（5 分）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有 ( ) A．24 种 B．18 种 C．12 种 D．6 种【解答】解：黄瓜必选，故再选 2 种蔬菜的方法数是 2 3C 种，在不同土质的三块土地上种植的方法是 3 3A ， 种法共有 2 C A  3 3 3  18 种，故选： B ． 9．（5 分）若数列 { }na 的通项公式是 na  n 3   n  2 n  2 ) n  n ( 1) (3    2 ， 1n  ，2，  ，则  a 2  等于 ( )n a ) lim( n  a 1 A． 11 24 【解答】解： a n n 3   n 3        2 n  B． 17 24   2 3   2  n 2 3  n   2 n n  n  2 C． 19 24 D． 25 24 n 为奇数    n 为偶数  即 a n      2 3  n n  n 为偶数 n 为奇数 ).  (   a 1 a 2  a n 1   (2 3   2 5   2 )   2 (3   4 3   6 3  )  ．

1  2 1 2    2 2 3  1 3    2 1 2  1  1 4 1 9  1 1 9  19 24 ．，  lim( n  a 1  a 2   a n )  故选： C ． 10．（5 分）某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班 k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为 1，2， ， k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 a ij 1, .  第号同学同意第号同学当选   0,  . 第号同学不同意第号同学当选 i i j j 其中 1i  ，2， ， k ，且 1j  ，2， ， k ，则同时同意第 1，2 号同学当选的人数为 ( ) a A． 11  a 12   a 1 k  a 21  a 22   a 2 k a B． 11  a 21   a k 1  a 12  a 22   a k 2 a a C． 11 12  a a 21 22   a a 1 k k 2 a a D． 11 21  a a 12 22   a a 1 2 k k 【解答】解：第 1，2， ， k 名学生是否同意第 1 号同学当选依次由 11a ， 21a ， 31a ， ， 1ka 来确定 ( ija  表示同意， 0 ija  表示不同意或弃权），是否同意第 2 号同学当选依次由 1 12a ， 22a ， ， 2ka 确定，而是否同时同意 1，2 号同学当选依次由 11 12 a a ， 21 22 a a ， ， 1 a a 确定， k 2 k a a 故同时同意 1，2 号同学当选的人数为 11 12  a a 21 22   a a 1 k k 2 ，故选： C ．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上. 11．（4 分）函数 ( ) f x  lg (1 是偶函数． 2  ， x ) ( ) g x 2  x    0   x  1 x   ， ( ) h x | 1 | x 1. x  2  tan 2 x 中， ( ) f x 、 ( )g x 【解答】解：  f ( x   ) lg [1 (   x 2 ) ]  lg (1  2 x )  ( ) f x ， ( ) f x 为偶函数．又 1 当 1 1x 时， 1   1x ，

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