2011 年四川省德阳市中考数学真题及答案
(本试卷满分 120 分,考试时间 l20 分钟)
一、选择题(本大题共 l2 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1.(2011 德阳)实数 2 的倒数是( A )
A.
1
2
B.
1
2
C.2
D. 2
2.(2011 德阳)数据 0. 000 031 4 用科学记数法表示为( B )
A.
31.4 10
4
B.
3.14 10
5
C.
3.14 10
6
D.
0.314 10
6
3.(2011 德阳)一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数,如图是这个
正方体的表面展开图,那么图中 x 的值是 ( A )
A.2
C. 3
B.8
D. 2
4.(2011 德阳)现有 12 个同类产品,其中有 10 个正品,2 个次品,从中任意抽取 3 个,则
下列事件为必然事件的是
( D )
A.3 个都是正品
B.至少有一个是次品
C.3 个都是次品
D.至少有一
个是正品
5.(2011 德阳)一个三角形的三边长分别为 4,7, x ,那么 x 的取值范围是( A )
A.3
x
11
B. 4
x
7
C. 3
x
11
D. 3
x
6.(2011 德阳)下列计算正确的是( D )
A.
(
a b
)
2
2
a
2
b
B. 2
x
3
3
4
x
12
x
6
C. 6
a
2
a
3
a
D. 3 2
)x
(
6
x
7.(2011 德阳)两条平行线被第三条直线所截,如果一对同旁内角的度数之比为 3:7,那么
这两个角的度数分别是( C )
A. 30°,70°
B. 60°,l40°
C.54°,l26° D. 64°.ll6°
8.(2011 德阳)顺次连接菱形各边中点得到的四边形一定是( C )
A.菱形
B.正方形
C.矩形
D.等腰梯形
9.(2011 德阳)随机安排甲、乙、丙 3 人在 3 天节日中值班,每人值班一天,则按“乙、甲、
丙,,的先后顺序值班的概率是( D )
A.
B.
C.
D.
5
6
2
3
1
6
10.(2011 德阳)如图,在平面直角坐标系中,已知点 A( a ,0),B(0,b ),如果将线段 AB
绕点 B 顺时针旋转 90°至 CB,那么点 C 的坐标是( B )
1
3
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A. (
b b a
,
)
B. (
b b a
,
)
C. (
a b a
,
)
D. (
b b a,
)
11 .(2011 德阳)如图,有一块△ABC 材料,BC=10,高 AD=6,把它加工成一个矩形零件,使
矩形的一边 GH 在 BC 上,其余两个顶点 E,F 分别在 AB,AC 上,那么矩形 EFHG 的周长l 的
取值范围是( C )
A. 0
l
20
B. 6
l
10
C.12
l
20
D.12
l
26
12.(2011 德阳)下面是一个按某种规律排列的数阵:
根据规律,自然数 2 000 应该排在从上向下数的第 m 行,是该行中的从左向右数的第 n
个数,那么 m+n 的值是( B )
A. 110
B. 109
C. 108 D. 107
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.请把答案填在题中横线上)
13. (2011 德阳)化简:
1
a
a
2
1
2
a
4
2
a
1
2
a
____________
答案:
1
2a
14.(2011 德阳)在平面直角坐标系中,函数
y
的图象不动,将 x 轴、 y 轴分别向下、
23
x
向右平移 2 个单位,那么在新坐标系下抛物线的顶点坐标是_________.
答案: ( 2
)
,2
15.(2011 德阳)在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,腰 AB 的高 CD 与腰 AC 的夹角为 30°,且
CD= 2 3 ,则底边 BC 的长为_________.
答案:4 或 4 3
16.(2011 德阳)如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,如果 BD=9,DC=5,cosB=
点,那么 sin∠EDC 的值为____________
3
5
,E 为 AC 的中
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答案:
12
13
17.(2011 德阳)已知 2,3,5,m,n 五个数据的方差 是 2,那么 3,4,6, 1m , 1n 五
个数据的方差是____________
答案:2
18.(2011 德阳)如图,在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,AC=12.BC=16,点 0 为△ABC 的内
心,点 M 为斜边 AB 的中点,则 OM 的长为____________
答案: 2 5
三、解答题(本大题共 6 小题,共 66 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2011 德阳)(本小题满分 7 分)
计算:
48 (2011 19 )
0
2cos30
( 1)
2
1
解:原式= 4 3 1
3 2 1 4 3 1 2
3 1 3 3
20.(2011 德阳)(本小题 满分 l0 分)
从某校参加科普知识竞赛的学生试卷中,抽取一个样本考查竞赛成绩的分布情况,将样本
分成 A,B,C,D,E 五个组,绘制成如下频数分布直方图,图中从左到右 A,B,C,D,E
各小组的长方形的高的比是 l:4:6:3:2,且 E 组的频数是 10,请结合直方图提供的信息,
解答下列问题:
(1)样本的容量是多少?
(2)通过计算说明样本数据中,中位数落在哪个组,并求该小组的频率;
(3)估计全校在这次竞赛中,成绩高于 70 分的 学生人数占参赛人数的百分率。
解:(1)设样本容量为 x ,
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2
x
10
由题意得
1 4 6 3 2
x
解得: 80
答:样本的容量是 80。
(2)A、B、C、D 各组的频数分别为
A:
1
16
80 5
,B:
4
16
80
,C:
20
6
16
80 30
,D:
3
16
80 15
。
由以上频数知:中位数落在 C 组;
C 组的频数为 30,频率为
30
80
(或 0.375).
3
8
(3)样本中成绩高于 70 的人数为 30+15+10=55,
估计学校在这次竞赛中成绩高于 70 的人数占参赛人数的百分率为
55
80
×l00%=68.75%。
21.(2011 德阳)(本小题满分 10 分)
如图,已知一次函数
y
x 与反比例函数
1
y
坐标为(2,t ).
(1)求反比例函数的解析式和点 B 的坐标;
的图象相交于 A,B 两点,且点 A 的
k
x
(2)直线
y
x 与 x 轴相交于点 C,点 C 关于 y 轴的对称点为 C' ,求△ BCC' 的外接圆
1
的周长.
解:(1)∵点 A(2,t )在直线
y
x 上,
1
2 1
t ,
1
∴
∴点 A(2, 1 )。
又∵点 A(2, 1 )在函数
y
的图象上,
k
x
∴ 2 ( 1)
k ,
2
∴反比例函数的解析式为
y
。
2
x
解方程组
1
y
y
x
2
x
x
,得 1
y
1
2
1
x
, 2
y
2
1
2
,
∴点 B 的坐标为 ( 1 2)
, 。
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(2)∵直线
y
x 与 x 轴的交点 C 的坐标为(1,0),
1
∴点 C 关于 y 轴的对称点 C' 的坐标为 ( 1 0)
, ,
连接 BC' ,
∵B ( 1 2)
, ,C' ( 1 0)
, ,C(1,0),
∴ BC' ⊥ x 轴于 C' ,且 BC' =2,CC' =2,
∴△ BCC' 是直角三角形,
∴BC=
2
2
2
2
2 2
,
∴△ BCC' 的外接圆的半径为
BC
2
,
2
∴△ BCC' 的外接圆的周长= 2 2。
22.(2011 德阳)(本小题满分 11 分)
某商场分两批购进同一种电子产品,第二批单价比第一批单价多 l0 元,两批购进的数量和
所用资金见下表:
(1)该商场两次共购进这种电子产品多少件? ·
(2)如果这两批电子产品每件售价相同,除产品购买成本外,每天还需其他销售成本 60 元,
第一批产品平均每天销售 I0 件.售完后,因市场变化,第二批电子产品比第一批平均每天
少销售 2 件,商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于 20%,那么该商场每件电
子产品的售价至少应为多少元?
3400 16000
2x
解:(1)由题意得
,
10
x
解这个方程得 x =100,
经检验 x =100 是原方程的根且符合题意,
2x =200,
∴ 2x
x
答:该商场两次共购进这种电子产品 300 件.
(2)设该商场每件电子产品的售价为 y 元,
100+200=300.
∵第一批产品共销售
第二批产品共销售需
天,
100 10
10
200
10 2
25
天,
由题意得
300
y
16000 34000 10 60 25 60 (16000 34000)
20
100
解这个不等式得 207
y
。
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答:该商场每件电子产品的售价至少应为 207 元。
23.(2011 德阳)(本小题满分 14 分)
如图,AB 是⊙0 的直径,AC 切⊙0 于点 A,AD 是⊙0 的弦,OC⊥AD 于 F 交⊙0 于 E,连接
DE,BE,BD.AE.
(1)求证:∠C=∠BED;
(2)如果 AB=10,tan∠BAD=
3
4
,求 AC 的长;
(3)如果 DE∥AB,AB=10,求四边形 AEDB 的面积 .
解:(1)证明;∵AB 是⊙O 的直径,CA 切⊙O 于 A,
又∵0C⊥AD,
∴∠OFA=90°,
∴∠ AOC+∠BAD=90°,
∴∠C=∠BAD.
又∵∠BED=∠BAD,
∴∠C=∠BED。
(2)由(1)知∠C=∠BAD,tan∠BAD=
3
4
,
∴ta n∠ C=
3
4
。
在 Rt△OAC 中,tan∠C=
∴
5
3
AC 4
,解得
AC
,且 OA=
1
2
AB=5,
OA
AC
20
3
。
(3)∵OC⊥AD,∴ AE=ED ,∴ AE=ED ,
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又∵DE∥AB,∴∠BAD=∠EDA,∴ AE=BD ,∴AE=BD
∴AE=BD=DE,
∴
AE=BD DE
,
∴∠BAD=30°,
又∵AB 是直径,∴∠ADB=90°,
∴BD=
1
2
AB=5,DE=5,
在 Rt△ABD 中,由勾股定理得:AD=5 3 ,
过点 D 作 DH⊥AB 于 H,
∵∠HAD=30°,∴DH=
1
2
AD=
5 3
2
,
∴四边形 AEDB 的面积=
1
2
(DE+AB) DH=
1
2
(5 10)
5 3
2
75 3
4
.
24.(2011 德阳)(本小题满分 14 分)
如图,已知抛物线经过原点 O,与 x 轴交于另一点 A,它的对称轴 2
线 2
x
3m , ),且与 y 轴、直线 2
1
经过抛物线上一点 B(
y
x 与 x 轴交于点 C,直
x 分别交于点 D,E.
(1) 求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成
y
(
a x h
)
2
的形式;
k
(2) 求证:CD⊥BE;
(3) 在对称轴 2
标,并求出△PAB 的面积;如果不存在,请说明理由。
x 上是否存在点 P,使△PBE 是直角三角形,如果存在,请求出点 P 的坐
解:(1)∵已知抛物线的对称轴为 2
2
2)
∴设抛物线的解析式为
x ,
k
(
a x
y
,
又∵直线
y
2
x
1
经过点 B(
3m , ),
,解得,
m ,
2
∴ 3 2
∴点 B( 2
1m
3
, ),
y
又∵二次函数
(
a x
2
2)
的图象经过 0(0,0)
k
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3
B( 2
, ),
0= (0 2)
a
3= ( 2 2)
a
2
k
2
k
解得
1
4
a
1
k
,
∴抛物线的解析式为
y
(2)由题意解方程组
y
x
1 (
4
2
2
x
x
2
2)
1
.
1
, 得
x
y
2
5
∴点 E 的坐标为(2,5),∴CE=5.
过点 B 作 BF 垂直于 x 轴于 F,
作 BH 垂直于直线 2
x 于 H,交 y 轴于点 Q,
3
, ),D(0,1),
∵点 B( 2
∴BF=3,BH=4,CH=BF=3,OD=1,EH=8,DQ=4.
在 Rt△BHE,Rt△BQ0,Rt△BHC 中
有勾股定理得 BE=
2
4
2
8
4 5
,BD=
2
4
2
2
2 5
,BC=
2
4
2
3
5
∴BD=
1
2
BE
又∵EC=5,∴BC=CE,∴CD⊥BE .
(3)结论:存在点 P,使△PBE 是直角三角形.
①当∠BPE=90°时,点 P 与(2)中的点 H 重合,
∴此时点 P 的坐标为 (2
3), ;
延长 BH 与过点 A(4,0)且与 x 轴垂直的直线交于 M,
S
S
S
ΔHAB
1
则 ΔPAB
2
②当∠EBP=90°时,设点 P(2, y ),
3)
∵E(2,5),H(2, 3 ),B(( 2
ΔAHM
ΔABM
S
, ),
2 3 6
6 3
1
2
∴BH=4,EH=8,PH= 3 y
.
在 Rt△PBE 中,BH⊥PE,
可证得△BHP∽△EHB,
y
,即
HP BH=
BH EH
3
4
,
4
8
解得
y ,
5
此时点 P 的坐标为 (2
5), .
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