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自动控制原理（程鹏版）复习题.doc
一、试用结构图等效化简或梅逊公式求图 1 所示系统的传递函数
)(
sC
)(
sR
解：结构图等效解：
图 1
4
GGGG
1
3
2
GGGGGGGGGG
1
2
1
2
4
3
3
3
2
4
所以：
)(
sC
)(
sR
1
梅逊公式解：图中有 1 条前向通路，3 个回路，有 1 对互不接触回路
GGGGP
1
3
2
1
，
4
1
1
，
L
1
GG
1
2
，
L
2
GG
3
，
4
L
3
GG
2
，
3
(1
L
1
L
2
L
3
)
LL
1
2
，
)(
sC
)(
sR
1
P
1
1
GGGG
3
1
4
2
GGGGGGGGGG
1
2
1
2
3
3
2
4
3
4
二： 分别用结构图等效变换和梅逊公式求图 2-3 所示系统的传递函数。
)(sC
)(sR
)(1 sG
)(2 sG
)(3 sG
图 2-3
解：
用梅逊公式求取系统传递函数。
由图 2-3 知，系统有 1 个回路，有 2 条前向通路。因此有
)(
sGsGL
1
)(
3
2
1
La
1
)(
sGsG
)(
3
2
)(
sGP
1
1
)(
P
sG
2
2
1
2
1
1
根据梅逊公式，系统的传递函数为
2
k
1
P
k
k
)(
sC
)(
sR
)(
)(
sGsG
1
1
)(
sGsG
)(
2
3
2
三、试用结构图等效化简和梅逊增益公式求图 1 所示各系统的传递函数
)(
sC
)(
sR
解
：
图 1
所以：
)(
sC
)(
sR
G
4
1
GGG
1
2
2
3
1
HGGHGHGG
1
2
3
2
1
2
（e）图中有 2 条前向通路，3 个回路
GGGP
1
2
1
，
3
1
1
，
GP
2
，
4
2
，
L
1
HGG
2
1
，
1
L
2
HG
2
，
1
L
3
HGG
3
2
，
2
(1
L
1
L
2
L
3
)
，
P
1
)(
sC
)(
sR
P
2
1
P
2
1
P
1
G
4
1
GGG
1
2
2
3
1
HGGHGHGG
1
2
3
2
1
2
二、 设图 2（a）所示系统的单位阶跃响应如图 2（b）所示。试确定系统参数 ,1K
2K
和 a 。
图 2（a）系统结构图
图 2（b）系统的单位阶跃响应图
解 由系统阶跃响应曲线有
(
)
3
h
1.0
pt
o
o
3)34(
3.33
o
o
系统闭环传递函数为
)(
s
KK
2
1
as
2
s
K
1
2
s
K
2
2
n
2
2
n
s
n
（1）
由
p
t
o
2
1
n
2
1
e
o
1.0
3.33
o
o
联立求解得
n
33.0
28.33
由式（1）
K
1
a
2
n
2
n
1108
22
另外
h
(
)
lim
0
s
s
1)(
s
s
lim
0
s
2
s
KK
1
2
as
K
1
K
2
3
二、 某典型二阶系统的单位阶跃响应如图 2 所示。试确定系统的闭环传递函数。
图 2 系统的单位阶跃响应
解 依题，系统闭环传递函数形式应为
)(
s
2
s
2
.
K
n
2
2
s
n
n
由阶跃响应曲线有：
h
(
）
lim
0
s
s
)(
)(
sRs
lim
0
s
s
1)(
s
s
K
2
p
t
o
o
联立求解得
2
1
2
1
e
n
2
25.2
2
25
o
o
n
404
.0
717
.1
所以有
)(
s
2
s
.02
2
.12
404
717
.1
717
s
.1
717
2
2
s
9.5
39.1
s
95.2
例 5 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
(
sK
as
2
)(
sHsG
)(
s
3
)1
2
s
1
试确定 K 和 a 的值，使系统以 2 弧度/秒的频率持续振荡。
解：
系统的特征方程为
1
即
列写劳斯表
sHsG
)(
1)(
(
sK
as
2
)1
2
s
1
3
s
0
3
s
2
as
(
K
)2
Ks
01
2K
1K
3s
2s
1s
0s
1
(
a
a
)1
K
a
1K
2
a
1
依题意，系统以 n 2 弧度/秒等幅振荡，故有
01
)1
2
a
a
(
K
a
用 1s 行的上一行的系数构造辅助方程，有
由（3-2）式，有
)(
sF
2
as
K
01
s
Kj
1
a
（3-1）
（3-2）
所以
K
由（3-1）、（3-3）式解得 0a ，
1K
和
1
a
3a
4
2
（3-3）
，
2K 。将两组解分别带入特征方程可
知， 0a ，
1K
不符合题意。故使系统以 2 弧度/秒的频率持续振荡的
3a
4
，
2K 。
例 6 单位负反馈系统的开环传递函数为
)(
sG
K
)(1
s
)1
s
(
Ts
0K 、 0T 。
其中
1. 试确定闭环系统稳定时，参数 K 、T 应满足的关系，在 TK 坐标中画出使系统稳
定的区域
t
)(
tr
2. 计算在输入
解：
1. 系统的特征方程为
)(1
t
作用下系统的稳态误差。
1
sG
0)(
即
列写劳斯表
3
Ts
(
T
)1
s
2
Ks
0
1
K
3s
2s
1s
0s
T
T
1T
1
TK
1
T
K
根据劳斯稳定判据，令劳斯表中第一列各元为正，考虑到
0K 、 0T ，可求得参数 K 、
T 应满足的关系为
使系统稳定的 K 、T 取值范围如图 3-2 中阴影部分。
K
1
1
T
T
3
2
1
0
K
11
T
1
2
3
4
K
图 3-2
2. 求系统稳态误差用静态误差系数法。
因输入信号为单位斜坡信号， 系统静态速度误差系数为
K
v
lim
0
s
sG
)(
s
lim
0
s
s
K
)(1
s
)1
K
s
(
Ts
稳态误差为
e
ss
1
K
v
1
K
例 8 单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的系统响应如图 3-4 所示。要求：
1. 确定系统的开环传递函数。
2. 求出系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差。
)(tc
0.3
1.3
1.0
0
0.1
图 3-4
t
解：
1. 由 图 3-4 所 示 系 统 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线 ， 知 系 统 的 超 调 量 及 峰 值 时 间 分 别 为
%30%
，
s1.0pt
。由超调量及峰值时间的计算公式，有
e
%
2
1
%30%100
pt
1
2
n
1.0
解得
36.0
，
7.33n
rad/s。故系统的开环传递函数为
)(
sG
2
n
2
n
)
(
ss
1135
(
ss
7.
)3.24
2. 单位斜坡输入信号
)(
tr
t
)(1
t
，即
)(
sR
。因二阶系统稳定，故有系统的速度
1
s
2
静态误差系数为
K
v
lim
0
s
sG
)(
s
lim
0
s
s
2
n
2
n
)
n
2
(
ss
7.46
e
ssv
1
K
v
02.0
例 9 系统结构图如图 3-5 所示
)(sR
K
25.0)(1
s
)1
s
1.0(
s
)(sC
图 3-5
求：
1. 为使系统闭环稳定，确定 K 的取值范围。
2. 当 K 为何值时，系统出现等幅振荡，并确定等幅振荡的频率。
3. 为使系统的闭环极点全部位于 s 平面的虚轴左移一个单位后的左侧，试确定 K 的取
值范围。
【分析】
本题是考核劳斯判据的应用。当劳斯表第一列各元均大于零时，系统稳定；当劳斯表出
的左侧，称
现某一行各元全部为零时，可能出现等幅振荡；而系统所有特征根均位于
为稳定度为 1，可先进行坐标轴的平移，然后再用劳斯判据判稳。
1s
【解答】
1. 系统特征方程为
列写劳斯表
3
s
14 2
s
40
s
40
K
0
40
K40
3s
2s
1s
0s
14
1
K
40
14
40
14
K40
根据劳斯判据，令劳斯表第一列各元均大于零，解得使系统稳定的 K 的取值范围为
0
K
14
2. 求 K 为何值时，系统出现等幅振荡，利用劳斯表求解。
令劳斯表中 1s 行各元均为零，解得
以 2s 行各元构造辅助函数，并将
14K
带入，有
14K
)(
sF
14
s
2
40
K
0
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