2010年上海高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2010 年上海高考理科数学真题及答案一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。 1.不等式 2 x   x 4  0 解析：考查分式不等式的解法的解集是（-4,2）。 2 x   x 4  0 等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4

解析：考查期望定义式 E  =7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2 7. 2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园，20:00 停止入园。在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前 1 个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 S  S+a 。 8.对任意不等于 1 的正数 a，函数 f(x)= log ( a x  的反函数的图像都经过点 P，则点 P 的 3) 坐标是（0，-2）解析：f(x)= log ( a x  的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2） 3) 9．从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 1 张，事件 A 为“抽得红桃 K”，事件 B 为“抽得为黑桃”，则概率 P（A  B）== 7 26 （结果用最简分数表示）解析：考查互斥事件概率公式 P（A  B）=  10．在 n 行 n 列矩阵 1 2 3  n         2 3 4  1 3 4 5  2      n n 1 52 2  1  n  n  3 7 26 n 1 2  n          1 中，  13 52 1 n  n 1  n  2 记位于第 i 行第 j 列的数为 ( , ija i j  1,2 , ) n  。当 9n  时， 11 a  a 22  a 33    a 99  45 。 a 解析： 11  a 22  a 33    a 99  1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 11. 将直线 2 : l nx    、 3 : y n 0 l x ny n    （ 0 n N ， 2 n  ）x 轴、y 轴围成的封闭 * 图形的面积记为 nS ，则 lim n S n   1 。

n  ) 1 解析：B ( nS = 1 2  , n 1 n  2  n n n  所以 BO⊥AC， 2  1 n  1 n 所以 lim n S n   1 2 12．如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O,剪去 AOB  ,将剩余部分沿 OC、OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A、（B）、C、D、O 为顶点的四面体的体积为 8 2 3 解析：翻折后的几何体为底面边长为 4，侧棱长为 22 的正三棱锥，高为 62 3 所以该四面体的体积为 1 3  1 2 16  3 2  62 3  28 3 13 。如图所示，直线 x=2 与双曲线  : 2  4  2 y 1  的渐近线交于 1E , 2E 两点，记  OE 1   e OE 1 2 ,  e 2   ，任取双曲线  上的点 P，若   OP ae 1  ,  的一个等式是 4ab=1  be a b R 2 、  ( ) ，则 a、b 满足 )1,2(  ),1,2( E 解析： 1   OP ae 1  E 2  be 2  = 2( a  ,2 bab  ) ，点 P 在双曲线上 2( a  2 )2 b  4  ( ba  ) 2  1 ，化简得 4ab1 14.以集合 U= a b c d ，，，的子集中选出 2 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：  （1）a、b 都要选出；（2）对选出的任意两个子集 A 和 B，必有 A B B A 或  ，那么共有 36 种不同的选法。解析：列举法共有 36 种二．选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分。 15．“ x   2 k   4  ”是“ tan k Z  1x  ”成立的 [答]（ A ）（A）充分不必要条件. （C）充分条件. （B）必要不充分条件. （D）既不充分也不必要条件. 解析： tan( 2 k   ) 4  tan 但反之不成立，如  4 tan  1 ，所以充分； 5  4  1 ，所以不必要

16.直线 l 的参数方程是 x=1+2t y=2-t    ( t R  ) ，则 l 的方向向量是 d 可以是【答】（C） (A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2) 解析：直线 l 的一般方程是 x 2  y  5 0 ， 1k 2 ，所以 C 正确 17.若 0x 是方程 1 3 x 的解，则 0x 属于区间 1( 2 x ) 【答】（C） (A)( 2 3 ,1) 解析：结合图形    1 2 ) (D)(0, 1 3 ) (B)( ) (C)( , 1 2 2 3 1   3    1 3 1 3    1,   2  , 1 1 3 2 1   2    1 3 1 2    ，∴ 0x 属于区间( , 1 3 1 1 1 , 13 11 5 , 1 2 ) ，则此人能【答】 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为（D）（A）不能作出这样的三角形（C）作出一个直角三角形解析：设三边分别为 a,b,c，利用面积相等可知（B）作出一个锐角三角形（D）作出一个钝角三角形 1 13 a  1 11 b 1 5 2 5 由余弦定理得 cos A  c , : cba :  5:11:13 2 2 11 13   52 11   0 ，所以角 A 为钝角三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。 19.（本题满分 12 分） x    ，化简： 2 x 1 2sin   tan x  已知 0 lg(cos =0 2 x 2 )  lg[ 2 cos( x   )] 4  lg(1 sin 2 ) x  . 20. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题，第一个小题满分 5 分，第 2 个小题满分 8 分。已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 85  ， n N   5 a S n * n n （1）证明： 1na  是等比数列；（2）求数列 nS 的通项公式，并求出 n 为何值时， nS 取得最小值，并说明理由。

（2） nS = n  575( 6 n 1  )  90 n=15 取得最小值解析：(1) 当 n1 时，a114；当 n≥2 时，anSnSn15an5an11，所以 a n 1   5 6 ( a  1 n 1)  ，又 a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列； (2) 由(1)知： na 1    15 n 1      5 6    ，得 na   1 15 n 1      5 6    ，从而 nS  75  n 1     5 6      n 90 (nN*)；解不等式 Sn

若实数 x 、 y 、 m 满足 x m  ＞ y m ，则称 x 比 y 远离 m . （1）若 2 1 x  比 1 远离 0，求 x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数 a 、b ，证明： 3 a 3 b 比 2 a b ab 远离 2ab ab ； 2 （3）已知函数 ( ) k π π 2 4 于sin x 和 cos x 中远离 0 的那个值.写出函数 ( ) f x 的定义域 D= x|x ｛ ≠ + ， ∈ ， ∈ ｝.任取 x D ， ( ) k Z x R f x 等 f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）. 解析：(1) , x    ( 2)  ( 2.   ) ； (2) 对任意两个不相等的正数 a、b，有 3 a  3 b  2 ab ab ， 2 a b ab  2  2 ab ab ，因为 3 a |  3 b  2 ab ab |  | 2 a b ab  2  2 ab ab |  ( a b a b  )(  2 )  ， 0 所以 3 a |  3 b  2 ab ab | |  2 a b ab  2  2 ab ab | ，即 a3b3 比 a2bab2 远离 2ab ab ； (3) ( ) f x      sin , x x  ( k   cos x , x  ( k    , 4  , 4 k   k   3  ) 4  ) 4 ，性质：1f(x)是偶函数，图像关于 y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期 T  ，  2 3函数 f(x)在区间 ( k k    ] 2 2 4  , 单调递增，在区间[ k k   ) 4 2 2 ,  单调递减，kZ， 4函数 f(x)的值域为 2( 2 ,1] ． 23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分. 已知椭圆  的方程为 2 2 x a  2 2 y b  1( a   ，点 P 的坐标为（-a，b）. 0) b （1）若直角坐标平面上的点 M、A(0,-b)，B(a，0)满足  PM = ( PA + PB)   1 2 ,求点 M 的坐标； :l （ 2 ）设直线 1 y  k x 1  交椭圆  于 C 、 D 两点，交直线 2 l p : y  k x 2 于点 E . 若 k k  1 2   ，证明： E 为CD 的中点； 2 2 b a （3）对于椭圆  上的点 Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆  上存在不同的两个交点 1P 、 2P 满足 1    PP + PP = PQ 2 ,写出求作点 1P 、 2P 的步骤，并求出使 1P 、 2P 存在的θ

的取值范围. 解析：(1) M ( a 2 ,  ； ) b 2 (2) 由方程组     y x a  2 2 p k x  1 2 y b 2  ，消 y得方程 2 2 a k 1 (  2 ) b x 2  2 1 2 ( a k px a p  2 1 2  2 b ) 0  ，  :l 因为直线 1 y  k x 1  交椭圆  于C 、 D 两点， p 所以>0，即 2 2 a k 1  2 b  2 p  ， 0 设 C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， x 0  x 1 x 2  2   y 0  k x 1 0   p 则        2 a k p 1 2 2 b a k  1 2 b p 2 2 a k  1 b 2 2 ，由方程组  p y     y k x 1 k x 2 ，消 y得方程(k2k1)xp， x        y   p  k 1 k 2   2 a k p 1 2 2 a k b  1 2  x 0 k x 2  2 b p 2 2 a k  1 2 b  y 0 ，又因为 k 2   2 b 2 a k 1 ，所以故 E为 CD的中点； (3) 求作点 P1、P2 的步骤：1求出 PQ的中点 E (  k 2求出直线 OE的斜率 2   (1 sin ) b  (1 cos ) a    ， a (1 cos )   2 , b (1 sin )   2 ) ，   PP PP 3由 1 2   PQ  知 E为 CD的中点，根据(2)可得 CD的斜率 k 1   2 b 2 a k 2  (1 cos ) b  (1 sin ) a    ， 4从而得直线 CD的方程： y  b (1 sin )   2  (1 cos ) b  (1 sin ) a    ( x  a (1 cos )   2 ) ， 5将直线 CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点 P1、P2 的坐标．欲使 P1、P2 存在，必须点 E在椭圆内，所以 (1 cos )   2 4  (1 sin )   2 4 1  ，化简得 sin   cos  ， 1 2 sin(   ) 4  ， 2 4 又 0< <，即     4 3   4 4  ，所以     4  4  arcsin 2 4 ，故 的取值范围是 (0,  4  arcsin 2 4 ) ．

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