2001年湖南高考理科数学真题及答案.doc-资料库

第1页 / 共11页

第2页 / 共11页

第3页 / 共11页

第4页 / 共11页

第5页 / 共11页

第6页 / 共11页

第7页 / 共11页

第8页 / 共11页

2001 年湖南高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页．第Ⅱ卷 3 至 8 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式          sin      sin          cos     sin a sin   cos      cos     sin a cos cos a sin   cos a cos     sin  sin 1 2 1 2 1  cos 2 1  2  正棱台、圆台的侧面积公式 S台侧  1 2 ( c  ) lc 其中 c′、c分别表示上、下底面周长， l表示斜高或母线长台体的体积公式 V 台体  1 3 ( S   SS ) hS 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的新疆王新敞奎屯 1．若 siniθcosθ＞0，则θ在 ( ) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 2．过点 A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线 x＋y－2 = 0 上的圆的方程是 ( ) A．(x－3) 2＋(y＋1) 2 = 4 B．(x＋3) 2＋(y－1) 2 = 4 C．(x－1) 2＋(y－1) 2 = 4 D．(x＋1) 2＋(y＋1) 2 = 4

3．设｛an｝是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是 ( ) A．1 B．2 C．4 D．6 4．若定义在区间(－1，0)的函数 ( ) f x  log ( a 2 x  满足 ( ) 0 1) f x  ，则 a的取值范围是 ( ) A．( 10， ) 2 B． 5．极坐标方程   2 sin(       ) 4 10， 2   C．( 的图形是 ( ，＋∞) D．(0，＋∞) 1 2 ) 6．函数 y = cos x＋1(－π≤x≤0)的反函数是 ( ) A．y =－arc cos (x－1)(0≤x≤2) B．y = π－arc cos (x－1)(0≤x≤2) C．y = arc cos (x－1)(0≤x≤2) D．y = π＋arc cos (x－1)(0≤x≤2) 7．若椭圆经过原点，且焦点为 F1 (1，0)， F2 (3，0)，则其离心率为 ( ) A． 3 4 8．若 0＜α＜β＜  4 B． 2 3 C． 1 2 D． 1 4 ，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则( ) A．a＜b B．a＞b C．ab＜1 D．ab＞2 9．在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若 AB  2BB 1 ，则 AB1 与 C1B所成的角的大小为( ) A．60° B．90° C．105° D．75° 10．设 f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题： ① 若 f (x)单调递增，g (x)单调递增，则 f (x)－g (x)单调递增； ② 若 f (x)单调递增，g (x)单调递减，则 f (x)－g (x)单调递增； ③ 若 f (x)单调递减，g (x)单调递增，则 f (x)－g (x)单调递减； ④ 若 f (x)单调递减，g (x)单调递减，则 f (x)－g (x)单调递减．其中，正确的命题是 ( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为 P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) A．P3＞P2＞P1 B．P3＞P2 = P1 C．P3 = P2＞P1 D．P3 = P2 = P1 12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点 A向结点 B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ( ) A．26 B．24 C．20 D．19 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 注意事项： 1．第Ⅱ卷共 6 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线上． 13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3 ，则这个圆锥的侧面积是新疆王新敞奎屯 14．双曲线 2 x 9 2  y 16  1 的两个焦点为 F1、F2，点 P在双曲线上．若 PF1⊥PF2，则点 P到 x 轴的距离为新疆王新敞奎屯 15．设｛an｝是公比为 q的等比数列，Sn是它的前 n项和．若｛Sn｝是等差数列，则 q = 新疆王新敞奎屯 16．圆周上有 2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为新疆王新敞奎屯三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17． (本小题满分 12 分) 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S—ABCD中，∠ABC= 90°， SA⊥面 ABCD，SA = AB = BC = 1， (Ⅰ)求四棱锥 S—ABCD的体积； 1AD 2 ． (Ⅱ)求面 SCD与面 SBA所成的二面角的正切值． 18． (本小题满分 12 分) 已知复数 z1 = i (1－i) 3． (Ⅰ)求 arg z1 及 1z ； (Ⅱ)当复数 z满足 1z =1，求 z  的最大值． 1z 19． (本小题满分 12 分) 设抛物线 y2 =2px(p＞0)的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于 A、B两点，点 C在抛物线的准线上，且 BC∥x轴．证明直线 AC经过原点 O． 20． (本小题满分 12 分) 已知 i，m，n是正整数，且 1＜i≤m＜n． (Ⅰ)证明 i i Pn m  i i Pm n ； (Ⅱ)证明(1＋m) n＞ (1＋n) m． 21． (本小题满分 12 分) 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 1 5 ．本年度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 1 4 (Ⅰ)设 n年内(本年度为第一年)总投入为 an万元，旅游业总收入为 bn万元．写出 an，bn的．表达式； (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 22． (本小题满分 14 分) 设 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，其图像关于直线 x= 1 对称．对任意 x1，x2∈[0，都有 f (x1＋x2) = f (x1) · f (x2)．且 f (1) = a＞0． 1 2 ]

(Ⅰ)求 f ( 1 2 ) 及 f ( 1 4 )； (Ⅱ)证明 f (x) 是周期函数； (Ⅲ)记 an = f (2n＋ 1 n2 )，求  lim n  aln n ．参考答案：说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分．（1）B （6）A （2）C （7）C （11）D （12）D （3）B （8）A （4）A （9）B （5）C （10）C 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 4 分，满分 16 分．（13）2π （14） 16 5 （15）1 （16）2n (n－1)

三．解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分 12 分．解：（Ⅰ）直角梯形 ABCD的面积是 5.01  2 AD BC M底面 AB      1 2  1  3 4 ， ……2 分 ∴ 四棱锥 S—ABCD的体积是 M底面 V  1 SA  3 1 31  3 4 1 ． 4 ……4 分（Ⅱ）延长 BA、CD相交于点 E，连结 SE则 SE是所求二面角的棱． ……6 分 ∵ AD∥BC，BC = 2AD， ∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB， ∵ SA⊥面 ABCD，得 SEB⊥面 EBC，EB是交线，又 BC⊥EB，∴ BC⊥面 SEB，故 SB是 CS在面 SEB上的射影， ∴ CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角． ……10 分 ∵ SB  SA 2 AB  2 2 ，BC =1，BC⊥SB， ∴ tan∠BSC  BC SB 2 2 ．即所求二面角的正切值为 2 2 ． ……12 分（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分 12 分．解：（Ⅰ）z1 = i (1－i) 3 = 2－2i，将 z1 化为三角形式，得 z 1  22 cos    7  4  i sin 7    4  ，

∴ arg 1 z 7  4 ， 1 z 22 ．（Ⅱ）设 z= cos α＋i sin α，则 z－z1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i， z  z 1 2   cos   2  2   sin   2 2 sin249   (  4 )，当 sin(   4 ) = 1 时， 2 z  1z 取得最大值 249  ．从而得到 z  的最大值为 1z 122  ． ……6 分 ……9 分 ……12 分（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分 12 分．证明一：因为抛物线 y2 =2px (p＞0)的焦点为 F ( p 2 ，0)，所以经过点 F的直线的方程可设为代入抛物线方程得 y2 －2pmy－p2 = 0， x  my  p 2 ； ……4 分若记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2 是该方程的两个根，所以 y1y2 = －p2． ……8 分因为 BC∥x轴，且点 c在准线 x= － p 2 上，所以点 c的坐标为（－ p 2 ，y2），故直线 CO 的斜率为 k  y  2 p 2  2 p y 1  y 1 x 1 ．即 k也是直线 OA的斜率，所以直线 AC经过原点 O． ……12 分证明二：如图，记 x轴与抛物线准线 l的交点为 E，过 A作 AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC．连结 AC，与 EF相交于点 N，则 ……2 分

EN AD NF BC   CN AC AF AB  BF AB ，， ……6 分根据抛物线的几何性质， AF  AD ， BF  BC ， ……8 分 ∴ EN  AD BF  AB  AF BC  AB  NF ，即点 N是 EF的中点，与抛物线的顶点 O重合，所以直线 AC经过原点 O． ……12 分（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分 12 分．（Ⅰ）证明：对于 1＜i≤m有 i mp = m·…·(m－i＋1)， i p m i m  m m  1 m  m  …  1 im m ，同理 i n i p n  n n n  1  n  …  1 in n ，由于 m＜n，对整数 k = 1，2…，i－1，有 kn  n  km  m ，所以 i n i p  n i p m i m ，即 i pm i n  i pn i m ．（Ⅱ）证明由二项式定理有 ……4 分 ……6 分 n  1  n  m   i  0 i Cm i n ，  1  m m  n   i  0 i Cn i m ， ……8 分由 (Ⅰ)知 i pm ＞ i i pn m i n (1＜i≤m＜n＝，而 C i m  i p m !i ， C i n  ， i p n !i ……10 分

资料库

2001年湖南高考理科数学真题及答案.doc

相关推荐

高考

热门标签

最新资料