2014年上海高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2014 年上海高考文科数学真题及答案一、填空题（本大题共 14 题,满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1．（4 分）函数 y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是． 2．（4 分）若复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位,则（z+ ）• = ． 3．（4 分）设常数 a∈R,函数 f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|,若 f（2）=1,则 f（1）= ． 4．（4 分）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程． 5．（4 分）某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名,1200 名,800 名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况 ,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取 20 名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为． 6．（4 分）若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2 的最小值为． 7．（4 分）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示） 8．（4 分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于． 9．（4 分）设 f（x）= ,若 f（0）是 f（x）的最小值,则 a 的取值范围为． 10．（4 分）设无穷等比数列{an}的公比为 q,若 a1= （a3+a4+…an）,则 q= ． 11．（4 分）若 f（x）= ﹣ ,则满足 f（x）＜0 的 x 的取值范围是 12．（4 分）方程 sinx+ cosx=1 在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于．． 13．（4 分）为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演

练,则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是（结果用最简分数表示）． 14．（4 分）已知曲线 C:x=﹣ ,直线 l:x=6,若对于点 A（m,0）,存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得 + = ,则 m 的取值范围为．二、选择题（共 4 题,满分 20 分）每题有且只有一个正确答案,选对得 5 分,否则一律得零分 15．（5 分）设 a,b∈R,则“a+b＞4”是“a＞2 且 b＞2”的（） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．（5 分）已知互异的复数 a,b 满足 ab≠0,集合{a,b}={a2,b2},则 a+b=（） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 17．（5 分）如图,四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形,AB 是大正方形的一条边,Pi （i=1,2,…,7）是小正方形的其余顶点,则 • （i=1,2,…,7）的不同值的个数为（） A．7 B．5 C．3 D．1 18．（5 分）已知 P1（a1,b1）与 P2（a2,b2）是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点,则关于 x 和 y 的方程组的解的情况是（） A．无论 k,P1,P2 如何,总是无解 B．无论 k,P1,P2 如何,总有唯一解 C．存在 k,P1,P2,使之恰有两解 D．存在 k,P1,P2,使之有无穷多解三、解答题（共 5 小题,满分 74 分） 19．（12 分）底面边长为 2 的正三棱锥 P﹣ABC,其表面展开图是三角形 P1P2P3,如图,求△P1P2P3

的各边长及此三棱锥的体积 V． 20．（14 分）设常数 a≥0,函数 f（x）= ．（1）若 a=4,求函数 y=f（x）的反函数 y=f﹣1（x）；（2）根据 a 的不同取值,讨论函数 y=f（x）的奇偶性,并说明理由． 21．（14 分）如图,某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD,其中 D 为顶端,AC 长 35 米,CB 长 80 米,设点 A、B 在同一水平面上,从 A 和 B 看 D 的仰角分别为α和β．（1）设计中 CD 是铅垂方向,若要求α≥2β,问 CD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？（2）施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12°,β=18.45°,求 CD 的长（结果精确到 0.01 米）． 22．（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中,对于直线 l:ax+by+c=0 和点 P1（x1,y1）,P2（x2,y2）, 记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c）,若η＜0,则称点 P1,P2 被直线 l 分隔,若曲线 C 与直线 l 没有公共点,且曲线 C 上存在点 P1、P2 被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线．（1）求证:点 A（1,2）,B（﹣1,0）被直线 x+y﹣1=0 分隔；（2）若直线 y=kx 是曲线 x2﹣4y2=1 的分隔线,求实数 k 的取值范围；（3）动点 M 到点 Q（0,2）的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为 E,求 E 的方程, 并证明 y 轴为曲线 E 的分隔线． 23．（18 分）已知数列{an}满足 an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1．（1）若 a2=2,a3=x,a4=9,求 x 的取值范围；（2）若{an}是等比数列,且 am= ,求正整数 m 的最小值,以及 m 取最小值时相应{an}的公比；（3）若 a1,a2,…a100 成等差数列,求数列 a1,a2,…a100 的公差的取值范围．

2014 年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 14 题,满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1．（4 分）（2014•上海）函数 y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．【分析】由二倍角的余弦公式化简,可得其周期．【解答】解:y=1﹣2cos2（2x） =﹣[2cos2（2x）﹣1] =﹣cos4x, ∴函数的最小正周期为 T= = 故答案为: 【点评】本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题． 2．（4 分）（2014•上海）若复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位,则（z+ ）• = 6 ．【分析】把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．【解答】解:复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位, 则（z+ ）• = =（1+2i）（1﹣2i）+1 =1﹣4i2+1 =2+4 =6．故答案为:6 【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查． 3．（4 分）（2014•上海）设常数 a∈R,函数 f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|,若 f（2）=1,则 f（1）= 3 ．

【分析】利用 f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|,f（2）=1,求出 a,然后求解 f（1）即可．【解答】解:常数 a∈R,函数 f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|,若 f（2）=1, ∴1=|2﹣1|+|22﹣a|,∴a=4, 函数 f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|, ∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3, 故答案为:3．【点评】本题考查函数值的求法,基本知识的考查． 4．（4 分）（2014•上海）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程 x=﹣2 ．【分析】由题设中的条件 y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合,故可以先求出椭圆的右焦点坐标,根据两曲线的关系求出 p,再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解:由题意椭圆 ,故它的右焦点坐标是（2,0）, 又 y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合, 故 =2 得 p=4, ∴抛物线的准线方程为 x=﹣ =﹣2．故答案为:x=﹣2 【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题,关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题． 5．（4 分）（2014•上海）某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名,1200 名,800 名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况 ,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取 20 名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为 70 ．【分析】根据分层抽样的定义,建立比例关系,即可得到结论．

【解答】解:∵高一、高二、高三分别有学生 1600 名,1200 名,800 名, ∴若高三抽取 20 名学生,设共需抽取的学生数为 x, 则 ,解得 x=90, 则高一、高二共需抽取的学生数为 90﹣20=70, 故答案为:70．【点评】本题主要考查分层抽样的应用,比较基础． 6．（4 分）（2014•上海）若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2 的最小值为 2 ．【分析】由已知可得 y= ,代入要求的式子,由基本不等式可得．【解答】解:∵xy=1, ∴y= ∴x2+2y2=x2+ ≥2 =2 , 当且仅当 x2= ,即 x=± 时取等号, 故答案为:2 【点评】本题考查基本不等式,属基础题． 7．（4 分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与轴所成角的大小为 arcsin （结果用反三角函数值表示）【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,可得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍, 在轴截面中,求出母线与轴所成角的正弦值,进而可得母线与轴所成角．【解答】解:设圆锥母线与轴所成角为θ, ∵圆锥的侧面积是底面积的 3 倍, ∴ = =3, 即圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍, 故圆锥的轴截面如下图所示:

则 sinθ= = , ∴θ=arcsin , 故答案为:arcsin 【点评】本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍, 是解答的关键． 8．（4 分）（2014•上海）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 24 ．【分析】由已知中的三视图,分别判断切割前后几何体的形状,并分别计算出切割前后几何体的体积,相减可得答案．【解答】解:由已知中的三视图,可知: 大长方体的长,宽,高分别为:3,4,5, 故大长方体的体积为:60, 切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面,高为 3 的柱体, 其底面面积为 4×5﹣2×2×2×2=12, 故切去两个小长方体后的几何体的体积为:12×3=36, 故切割掉的两个小长方体的体积之和为:60﹣36=24, 故答案为:24 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知中的三视图分析出几何体的形

状是解答的关键． 9．（4 分）（2014•上海）设 f（x）= ,若 f（0）是 f（x）的最小值,则 a 的取值范围为（﹣∞,2] ．【分析】分别由 f（0）=a,x ≥2,a≤x+ 综合得出 a 的取值范围．【解答】解:当 x=0 时,f（0）=a, 由题意得:a≤x+ , 又∵x+ ≥2 =2, ∴a≤2, 故答案为:（﹣∞,2]．【点评】本题考察了分段函数的应用,基本不等式的性质,是一道基础题． 10．（4 分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为 q,若 a1= （a3+a4+…an）,则 q= ．【分析】由已知条件推导出 a1= ,由此能求出 q 的值．【解答】解:∵无穷等比数列{an}的公比为 q, a1= （a3+a4+…an） = = （ ﹣a1﹣a1q） , ∴q2+q﹣1=0, 解得 q= 或 q= （舍）．故答案为: ．【点评】本题考查等比数列的公比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极限知识的合

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