2013年上海高考理科数学试题及答案.doc-资料库

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2013 年上海高考理综数学试题及答案一、填空题 1．计算： 20 n  lim 3 13 n  n  ______ 【解答】根据极限运算法则， 2．设 m R ， 2 m m 2 (     20 n  lim 3 13 n  n 2 1)i m  是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 1 3 ． m  ________ 【解答】    2 2 0 m m    2 1 0 m      m 2 ． 3．若 2 x 1  2 y 1  x y x y  ，则 x y  ______ 【解答】 2 x  2 y      ． xy x y 2 0 4．已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c，若 2 3 a  2 ab  2 3 b  2 3 c  ，则角 C 的大小 0 是_______________（结果用反三角函数值表示）【解答】 2 3 a  2 ab  2 3 b  2 3 c 5．设常数 a R ，若 2 x    5 a   x     0 c 2 2 a  2 b  2 3 ab ，故 cos C   1 3 , C    arccos 1 3 ．的二项展开式中 7x 项的系数为 10 ，则 ______ a  【解答】 T r   1 5 ( r C x 2 5 )  r ( a x ) ,2(5 r  r )     ，故 1 C a 5 7 1 r r 6．方程 3  1   1 3 x 3 x 1  3 的实数解为________      ． 10 2 a 【解答】原方程整理后变为 2 3 cos  7．在极坐标系中，曲线       2 3 8 0    与 cos 1   的公共点到极点的距离为__________ log 4 3 1  ． 4 x 3 x x x 【解答】联立方程组得  ( 1) 1      5 1  2 ，又 0 ，故所求为 5 ． 1  2 8．盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9 个数 5 个奇数，4 个偶数，根据题意所求概率为 1  2 C 5 2 C 9  ． 13 18 9．设 AB 是椭圆  的长轴，点 C 在  上，且  CBA  ，若 AB=4，  4 BC  ，则  的两个焦点之间 2 的距离为________

【解答】不妨设椭圆  的标准方程为 10．设非零常数 d 是等差数列 1 , x x x 3 , 2 2 2  1 y b  ，于是可算得 (1,1) 2 4 x 4 3 , , x x x x 的公差，随机变量等可能地取值 1 3 ，得 2 b ,2 C   c 19 , , ． 4 6 3 x ，则 , , 19 2 方差 D _______ 【解答】 E x ， 10 D  2 d 19 11．若 cos cos x y  sin sin x y  2 (9  2 8   2 1   2 0 2 1     2 9 )  30 | d | ． 1 2 ,sin 2 x  sin 2 y  ，则sin( 2 3 x y )  ________ 【解答】 cos( x y )  ， 1 2 sin 2 x  sin 2 y  2sin( x  y )cos( x  y )  ，故 2 3 sin( x y )  ． 2 3 12．设 a 为实常数， y  ( ) f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x  时， ( ) 9 f x  对一切 0x  成立，则 a 的取值范围为________ 【解答】 (0) f  ，故 0 0      ；当 0x  时， 1 1 a a ( ) 9 f x  x  2 a x x  2 a x  ，若 ( ) f x 7 a  1    a 7 1 即 6 | a | a  ，又 8 a   ，故 1 a   ． 13．在 xOy 平面上，将两个半圆弧 ( x 2  2 y  1( x 1)  和 8 7 1)  ( x  3) 2  2 y  1( x  、两条直线 1y  和 3) y   围成的封 1 闭图形记为 D，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一周而成 | 1) 的几何体为  ，过 (0, y  作  的水平截面，所得截 )(| y 面面积为 4 y 1  2  ，试利用祖暅原理、一个平放的圆 8  柱和一个长方体，得出  的体积值为__________ 【解答】根据提示，一个半径为 1，高为 2的圆柱平放，一个高为 2，底面面积8的长方体，这两个几何体与  放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即  的体积值为 2 14．对区间 I 上有定义的函数 ( )g x ，记 ( ) { |  ，已知定义域为[0,3] 的函数  ． g I 2   ( ), g x x 2 8   1 2  y y   16  2     } I f f y  有反函数 _____ 1( ) x ( ) f x y x  0x ，则 0 【解答】根据反函数定义，当 [0,1) 的定义域为 [0,3] ，故当 [2,3] ( f x 0 x ，只有 0 x  ． x  x  2 ) 0 ，且 1  ([0,1))  [1,2), f  1 ((2,4])  [0,1) ，若方程 ( ) f x x  有解 0 (2,4] 时， ( ) 时， ( ) ； [1,2) f x  f x 的取值应在集合 ( x  时， ( )   f x  [1,2] ,0) ，而 ( ) [0,1) f x   ，故若 (4, y ) 

二、选择题 15．设常数 a R ，集合 A  { | ( x x  1)( x a  ) 0},  B  { | x x   ，若 A B R   ，则 a 的取值 1} a 范围为（） (A) ( ,2)  (B) (  ,2] 【解答】集合 A 讨论后利用数轴可知，或，解答选项为 B． (C) (2, a ) 1      1 1 a  (D) [2, 1      1 a  a a ) 16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选 B． 17．在数列{ }na 中， 2 na  1,2, （ 1,2, 1n a  ，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 ,i ,12  ）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（） ,7;    i j  a a  i j  a i j  ， a j (A)18 (B)28 (C)48 (D)63 a 【解答】 , i j  a a  i j  a i  a j i  j  2 1  ，而 i 18．在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 1 ,19 2,3, j   ，故不同数值个数为 18 个，选 A．      , a a a a a 5 , , , 2 3 4 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 1  a i 的最小值、最大值，其中{ , i , } j k   d r  a k  d s  a j  d t ) (      ( )      , d d d d d 5 , , , 2 3 4 . 若 ,m M 分别为 {1,2,3,4,5} ,{ , r s t  , } {1,2,3,4,5} , 则 ,m M 满足（ M  (A) 0, m 0 ）. 【解答】作图知，只有三、解答题  0 0, m M (B)     AF DE AB DC     0 (C) m 0, M   a d i r  0 (D) m M 0,  0  0 ，故选 D．，其余均有 19.（本题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线 BC1 平行于平面 DA1C，并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离. 【解答】因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体，故 AB C D AB C D 1 // , 1 1 1 ，故 ABC1D1 为平行四边形，故 1 BC AD ，显然 B 不在平面 D1AC 上，于是 // 1 直线 BC1 平行于平面 DA1C；直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h 考虑三棱锥 ABCD1 的体积，以 ABC 为底面，可得 V   1 3 ( 1 2) 1     1 3 而  1AD C 中， AC D C 1   5, AD 1  ，故 2 S AD C 1  1 2 3 2

所以， V       ，即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 h h 1 3 3 2 1 3 2 3 2 3 ． 20．（6 分+8 分）甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1 x  ），每小时 10 可获得利润是 100(5 x 1   元. ) 3 x (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 【解答】(1)根据题意， 200(5 x 1   3 x ) 3000    5 x 14   3 x 0 又1 x  ，可解得3 10 (2)设利润为 y 元，则故 6x  时， max y  10 x  900 x 457500  y  元． 100(5 x 1   3 x ) 9 10 [ 3(    4 1 x  1 6 2 )  61 12 ] 的图像向左平移个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y  ( ) g x ( ) g x 在[ , ]a b 上至少含有 30 个零点，在所有满足  6 y  21．（6 分+8 分）已知函数 ( ) f x 2   ] 4 3 （1）若 ( ) f x 在   y [ , （2）令 2 ，将函数 y  ( ) f x  2sin( x ) ，其中常数 0 ；上单调递增，求的取值范围；的图像，区间[ , ]a b （ ,a b R 且 a b ）满足：上述条件的[ , ]a b 中，求b a 的最小值．【解答】(1)因为 0 ，根据题意有     4 2  2     2 3        0   3 4 (2) ( ) f x  2sin(2 ) x ， ( ) g x  2sin(2( x  )) 1 2sin(2   x   3 ) 1   6  3 ( ) g x   0 sin(2 x   ) 3     x 1 2 k   或 x  , k    7 12 k Z  ，即 ( )g x 的零点相离间隔依次为  3 和 2  3 ，故若 y  ( ) g x 在[ , ]a b 上至少含有 30 个零点，则b a 的最小值为 14  2  3  15    3 43 3  ．

22 ．（ 3 分 +5 分 +8 分）如图，已知曲线 2 xC 1 : 2 2 y 1  ，曲线 2 :| C y | | x | 1  ，P 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与 1 ,C C 都有公 2 共点，则称 P 为“C1—C2 型点”． (1)在正确证明 1C 的左焦点是“C1—C2 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； (2)设直线 y kx 与 2C 有公共点，求证| k  ，进而证明原点不是“C1—C2 型点”； | 1 (3)求证：圆 2 x 2 y  内的点都不是“C1—C2 型点”． 1 2 【解答】：（1）C1 的左焦点为 ( F  3,0) ，过 F 的直线 x   与 C1 交于 3 (  3,  2 2 ) ，与 C2 交于 ( 3 1))  3, (  （2）直线 y  ，故 C1 的左焦点为“C1-C2 型点”，且直线可以为 kx 与 C2 有交点，则 x   ； 3 y  kx y    | 1 | | | x    kx 与 C2 有交点，则直线 y | 1) |  (| k x | 1  ，若方程组有解，则必须| k  ； | 1 2 x y  kx    2 2 y   故直线 y   2 (1 2 ) k 2 2 x  2 ，若方程组有解，则必须 2 k  1 2 kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点，即原点不是“C1-C2 型点”。（3）显然过圆 2 x 2 y  内一点的直线l 若与曲线 C1 有交点，则斜率必存在； 1 2 根据对称性，不妨设直线l 斜率存在且与曲线 C2 交于点 ( , t t : l y          ( k x t kx 1) (1 kt ( t 0  y ) ) t  1)( t  ，则 0) 直线l 与圆 2 x 2 y  内部有交点，故 1 2 |1 t kt   2 1 k  |  2 2 化简得， (1   t tk ) 2  1 2 2 ( k 1)  。。。。。。。。。。。。① 若直线l 与曲线 C1 有交点，则 y     kx  2 x 2  kt   t 1  2 y  1   k ( 2 1 2 2 ) x  2 (1 k   t ) kt x    (1 t 2 kt ) 1 0     2 4 (1 k   t 2 kt )  4( k 2  1 2 )[(1   t 2 kt ) 1] 0      (1 t 2 kt )  2 2( k  1)

化简得， (1   t kt ) 2  2 2( k 1)  。。。。。② 由①②得， 2 k 2( 1)     (1 t 2 tk )  但此时，因为 t  0,[1  t (1  k 2 )]  1, 1 2 1 2 2 ( k 1)    k 2 1 2 ( k 1) 1   ，即①式不成立；当 2 k  时，①式也不成立 1 2 综上，直线l 若与圆 2 x 2 y  内有交点，则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点， 1 2 即圆 2 x 2 y  内的点都不是“C1-C2 型点” ． 1 2 23．（3 分+6 分+9 分）给定常数 0c  ，定义函数 ( ) f x  2 | x   c 4 |  | x 足 a   1 n ( f a n ), * n N  .  ，数列 1 a a a 满 c 2 3 | , , , c   ，求 2a 及 3a ；（2）求证：对任意 , n N a  *  a n  ，； c n 1  a （1）若 1 （3）是否存在 1a ，使得 1 2 , a a 2 , a  成等差数列？若存在，求出所有这样的 1a ，若不存在，说明理 ,n   c 4 |  | a 1   ， | 2 c ) a    ( c 2) 2 | ( f a 1 a    ，故 2 a 由. 【解答】：（1）因为 0c  ， 1 a | a  3 2   对任意 x R 都成立，（2）要证明原命题，只需证明 ( ) f x | x c      即只需证明 2 |    ( f a 1   x c 10 4 | 2 | 4 | a 1   c x c c c ) | | 2 c x | 4 | x c  ，显然有 2 | x x c  ，则 2 | c 0 0 x 若若 c x 2 | ( ) f x | + c 4 | x     c x          x | x | + c =0 c x c 4 | c x  | 成立； | + x c       显然成立 4 c x c    x c c x   恒成立，即对任意的综上， ( ) f x （3）由（2）知，若{ }na 为等差数列，则公差 )    ( f a 2( 4)    a a c c ) ( * a n N ， 1n   0 d a n   c 8 n n n a n  c c  ，故 n 无限增大时，总有 na  0 a   此时， 1 n 8 c  ( f a  1 即 d a 故 2 2 | a 即 1 )  2 | a 1   c 4 |  | a 1 |   c a 1   ， 8 c 4 | |    c a 1  c | a    ， 1 8 c

c  时，等式成立，且 2n  时， 0        ， 4 | 4 c a 1 0 na  ，此时{ }na 为等差数列，满足题意； c 8 a 当 1 a 若 1 | 0 c  ，则 1 a c 30, a    a 此时， 2 综上，满足题意的 1a 的取值范围是[  8,  a n ( , n  2)( c  8) 也满足题意； c      ． 8} { c ) ,

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