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信息光学习题答案第一章线性系统分析 1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）   （2）   xg xg   ;xf  d dx    dxxf ;     xh  f  2  d ;   （3）   xg    ;xf （4）   xg      （5）  f    exp   2 j   d 解：（1）线性、平移不变；（2）线性、平移不变；（3）非线性、平移不变；（4）线性、平移不变；（5）线性、非平移不变。 1.2 证明 comb    x 2    comb )( x exp( xj  )  comb )( x 证明：左边＝ comb    x 2      n  x     2  n      n     1 2 ( x  )2 n   2   n  (  x  )2 n 右边  comb )( x  comb )( x exp( xj  )    (  n  nx  )    n  exp( () xj  nx  )     (  n    (  n  nx  )  nx  )  n      n  exp( jn ()  nx  ) )1(  n (  nx  ) 当 n 为奇数时，右边＝0，当 n 为偶数时，右边＝  2  ( n  x  )2 n 所以当 n 为偶数时，左右两边相等。 )( x x  1.3 证明 comb (sin ) 证明：根据复合函数形式的δ函数公式 n ([ xh  )]   i 1  ) ( x    ( xh x i ) i ,  ( xh i )  0 式中 ix 是 h(x)=0 的根， ( ixh 表示 )(xh 在 ) x  处的导数。于是 ix  (sin  x )  n  (  nx  )  comb )( x  1

1.4 计算图题 1.1 所示的两函数的一维卷积。解：设卷积为 g(x)。当-1≤x≤0 时，如图题 1.1(a)所示， )( xg  1   0  d )  1 3 1 2 x  1 6 3 x x 1(   1)(  x 图题 1.1 当 0 < x ≤1 时，如图题 1.1(b)所示， 1)( )( xg 1(  x  d )  1 3 1 2 x  1 6 3 x 即 )( xg    1  x 1 1  x   3 2  1 1   3 2  ,0      1 x 6 1  6 x 3 , 1  x 0 x 3 , 0  1 x 其它 1.5 计算下列一维卷积。 x    2  2( x rect )3 （1）   1    （2） rect 1 x    2     rect x    2  1    （3） comb )( x  rect )( x 解：（1）  2( x  )3  rect 1 x    2     1 2   x    3 2    rect 1 x    2     1 2 rect 5.2 x    2     （2）设卷积为 g(x)，当 x≤0 时，如图题 1.2(a)所示，    )( xg 0 2 x  d  x 2 当 0 < x 时，如图题 1.2(b)所示 2

图题 1.2   )( xg 2  d  2 x x  1    1  2   x 2 x 2 , , x  0 x  0 exp( 2 ) ，试求 2 2 x 2/   ?  （2）   exp   )  2 y exp( 2   ) )( xg  即 )( xg  2   x 2    （3） comb )( x  rect 1)( x  exp( 1.6 已知   exp  （1） 2x )   ? 2  x 的傅立叶变换为解：设 y  x  , z   即  exp(    由坐标缩放性质   f ( ax , by  )  1 ab F    ,   ba  得（1）（2）   exp    exp    2 x 2 x 2/ 2  exp(     /    y   exp 2  2/  y 2 exp(    2  2 z )   exp( 2 2   )  2  exp(  2 2  z 2 )  2  exp(  2 2  2 ) 1.7 计算积分 . （ 1 ） sin 2 c   x cos xdx   ? sin 4 c   dxx  ? （ 2 ）       解：应用广义巴塞伐定理可得（1） sin c 2 sin)( x c 2 )( x dx )(   )( d        0  1  1(  2  d )  1  0 1(  2  d )  2 3 （2）    sin 2 c )( x cos xdx   1 2          )(    1 2    d        )(    1 2     d     1 2       1 2      1 2        1 2 1.8 应用卷积定理求   xf sin   xc sin  2 x c 的傅里叶变换. 3

解：   sin sin)( xc  )2( x c  sin   )( xc  sin   )2( x c  1 2 rect )(  rect        2  当  当  当 1 2 3 2 1 2   1 2 时，如图题 1.3(a)所示，   时，如图题 1.3(b)所示， 1 2 G )(  G )(   1    2 1  1 2 du  3 2    1    2   1 2 1 2 du  1   时，如图题 1.3(c)所示， 3 2 G )(  1 1    2   1 du 2 3 2   2G(ξ)的图形如图题 1.3(d)所示，由图可知 )( G    3 4  2/3      1 4  2/1    图题 1.3 4

1.9 设   xf  exp   x ， 0 ，求      xf  ?   dxxf  ?    解：   exp(   x  )  0   exp( x  ) exp(  j 2 x  ) dx    0 exp( x   ) exp(  j 2 x  ) dx  2  2  ) 2(   2    exp(   x ) dx  2  ) 2(   2 2   2    0 1.10 设线性平移不变系统的原点响应为   xh  exp    step  x x ，试计算系统对阶跃函数 step 的响应.  x 解：由阶跃函数定义 step )( x  ,1   ,0  x x   0 0 得线性平移不变系统的原点响应为   xh  exp    step   x x  exp    , x x  0 所以系统对解阶跃函数 )( xg   x step 的响应为  )( xh )( x step   0 exp[ (  x  )] d 1  exp(  x ), x  0 1.11 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为   xh 1  sin  xc 和   xh 2  sin  xc 3 .试计算各自对输入函数   xf  cos 2 x 的响应  xg1 和  xg 2 . 解： 1.12 已知一平面波的复振幅表达式为试计算其波长λ以及沿  ,( exp[ ), zyxU j , 方向的空间频率。 , zyx A 2( x  3 y  )]4 z 解：设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式 ), zyxU ,(  a exp( kj  r )  a exp[ jk ( x cos   y cos   z cos )]  5

由题可知， k cos   ,2 k cos   ,3 k cos   4 又因为 2 cos   2 cos   2 cos   1 所以 k 29 波长为   2 2  k 29  沿 , 方向的空间频率为 , zyx ,1  cos  1.13 单色平面波的复振幅表达式为 cos         3 2  ,    2 cos    , zyxU ,   A exp    j    1 14 x  2 14 y  3 14 z       求此波在传播方向的空间频率以及在 , , 方向的空间频率. zyx 解：设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式 ), zyxU ,(  a exp( kj  r )  a exp[ jk ( x cos   y cos   z cos )]  由题可知， k cos   1 14 , k cos   2 14 , k cos   3 14 又因为波长为沿 2   1 所以 1k 2 2 cos cos   cos   2   k , , 方向的空间频率为 zyx   2     cos   1 2  14 ,   cos    1 14 ,   cos    3 2  14 第三章光学成像系统的传递函数 3.1 参看图 3.1.1，在推导相干成像系统点扩散函数(3.1.5)式时，对于积分号前的相位因子 exp    kj 2 d 0  x 2 0  y 2 0     exp     kj 2 d 0    x 2 i  M 2 i y 2        试问：（1）物平面上半径多大时，相位因子    exp 相对于它在原点之值正好改变π弧度？ kj 02 d  x 2 0  2 y 0    （2）设光瞳函数是一个半径为 a 的圆，那么在物平面上相应 h 的第一个零点的半径是多少？（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么 a , λ和 do 之间存在什么关系 6

时可以弃去相位因子 exp    kj 02 d  x 2 0  2 y 0    解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点相位差为π的条件是 k d 2 o ( x 2 o  y 2 o )  2 kr o 2 d o  ,  r o  d  o （2）根据 ( xh , y o ; , yx i i ) o  2  i 1 dd o 1 dd o i          2  ,( yxP ) exp  j ,( yxP ) exp  j       2  d  i 2  d  i [( x i  ) xMx o  ( y i   ]) yMy   o dxdy [( x i  )~ x o x  ( y i   ])~ y y   o dxdy 相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点 )~,~( o y x o ( xh , y o ; , yx i i ) o   2  式中 r  2 x  2 y ，而 2  i 1 dd o 1 dd o i     ~  B circ   ,( yxP ) exp  j    2  d     r a        1 dd o i 2  i aJ 1 2( ) a   [( x i  )~ x o 2  ( y i  2  ])~ y   o dxdy 2    2     x  i d  ~ x o i 2       y  i d  ~ y o i 2    在点扩散函数的第一个零点处 J ，此时应有 2 oa 83.3 ，即将(2)式代入(1)式，并注意观察点在原点 y  i  )0 ，于是得 ) 2(1 0 oa  61.0 a x ( o i r o 61.0 d a o （1） (2) (3) （3）根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献 ( xh , o y o )0,0; 。按照上面的分析，如果略去 h 第一个零点以外的影响，即只考虑 h 的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近 r o 范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子 61.0  d exp[ 变化不 2 jkr o 2/ a d ] / o o 大，而降它弃去。假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如π/16)就满足以上要求， 7

则 2 kr o 2/ d o   16 , 2 r o  d  o 16/ ，也即 a 44.2 od （4）例如λ ＝600nm , do = 600mm，则光瞳半径 a≥1.46mm，显然这一条件是极易满足的。 3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为  xt , y o o   1 2  1 2 cos 2 xf o o 放在图 3.1.1 所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在 zxo 平面内，与 z 轴夹角为θ。透镜焦距为 f ,孔径为 D。（1）求物体透射光场的频谱；（2）使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；（3）若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ＝0 时的截止频率比较，结论如何？解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为 A exp( jkx ) sin, 0  ，为确定起见设θ> 0，则物平面上的透射光场为 ( xU o o , y o )   A A 2 exp(  exp   jkx    j , () xt  o sin      y o 1 2 ) exp    j 2 x  o    f o  sin         1 2 exp     j 2 x  o    f o  sin            sin, o 2 x  o 其频谱为 ,( ) A  o o { ( , xU   A      2    )} y o sin      1 2         f o  sin         1 2         f o  sin            由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了 sinθ/λ距离。（ 2 ）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。系统的截至频率 Dc   4/ f  ，于是要求 sin    D 4 f  ,  D 4 f   f o  sin    D 4 f  由此得 θ角的最大值为 f o   D 4 f  sin   D 4 f max  arcsin    D 4 f    此时像面上复振幅分布和强度分布为 8 （1）（2）

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