2009年江西高考文科数学试题及答案.doc-资料库

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2009 年江西高考文科数学试题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 150 分。考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式如果事件 ,A B 互斥，那么 P A B  ( )  P A ( )  P B ( ) 球的表面积公式 S R 4 2 如果事件 ,A B ，相互独立，那么其中 R 表示球的半径 ( P A B  )  ( ( P A P B )  ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么球的体积公式 V R 4 3 3 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率其中 R 表示球的半径 ( P k n )  C p k n k (1  n k  p ) 第Ⅰ卷一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题是真命题的为 A．若 1 x  1 y ,则 x y B．若 2 x  ,则 1x  1

C．若 x y ,则 x y D．若 x y ,则 2 x 2 y 2．函数 y  x  4  x 2 3  x 的定义域为 A．[ 4,1]  B．[ 4, 0)  C． (0,1] D．[ 4, 0)   (0,1] 3．50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有 30 名，参加乙项的学生有 25 名，则仅参加了一项活动的学生人数为 A．50 B．45 C．40 D．35 4．函数 ( ) f x (1   A． 2 x 的最小正周期为 C． x 3 tan )cos 3  2 ) B． , D．  2 x  ，都有 ( f x 5．已知函数 ( ) f x 是 (   上的偶函数，若对于 0  2 ） ( ) f x ，且当 x  [0,2) 时， ( ) f x  log ( 2 x  ），则 ( 2008) 1  f  f (2009) 的值为 A． 2 B． 1 C．1 D． 2 6．若 1 n 2 C x C x n  2   n n C x n 能被 7 整除，则 ,x n 的值可能为 A． 4, n x  3 B． 4, n x  4 C． 5, n x  4 D． 6, n x  5 7. 设 1F 和 2F 为双曲线 2 2 x a  2 2 y b 1  ( a 0, b  )的两个焦点, 若 1 0 F F，， (0,2 ) b 是正 P 2 三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A． 3 2 B． 2 C． 5 2 D．3 8．公差不为零的等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS .若 4a 是 3 a a与的等比中项, 7 S  8 32 ,则 10S 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 9．如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误．． P 的为 A . AC BD B . AC ∥截面 PQMN B C . AC BD D . 异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 A N D Q M C

10．甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 4 个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A． 1 6 11．如图所示，一质点 ( , B． 1 2 P x y 在 xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不 1 4 ) 1 3 C． D．变，其在 x 轴上的投影点 ( ,0) Q x 的运动速度 ( ) V V t  的图象大致为 ( )V t O ( )V t O t ( )V t t O y O ( )V t t O ( , P x y ) Q x ( ,0) x t A B C D  都相切，则 a 等于 9 2 15 x  4  或 25- C． 7 4 64 D． 7 4  或 7 12．若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y 3 x 和 y  ax A． 1 或 25- 64 B． 1 或 21 4 注意事项：第Ⅱ卷第Ⅱ卷 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。请把答案填在答题卡上 13．已知向量 (3,1)  a   b  ， (1,3) ，  c k ( ,2) ，若 (   a c   )  b 则 k = ． 14．体积为 8 的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于． 15．若不等式 4  2 x  ( k x  的解集为区间 1) ,a b ，且 b a  ,则 1 k  ． 16．设直线系 : cos M x ( y   2)sin   1(0 2 )     ,对于下列四个命题： A ．存在一个圆与所有直线相交 B ．存在一个圆与所有直线不相交 C ．存在一个圆与所有直线相切 D ． M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三.解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17．（本小题满分 12 分）设函数 ( ) f x  3 x  29 x 2  6 x a  （1）对于任意实数 x ， ( )  f x m  恒成立，求 m 的最大值；（2）若方程 ( ) 0 f x  有且仅有一个实根，求 a 的取值范围 18．（本小题满分 12 分）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 1 2 .若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求： (1) 该公司的资助总额为零的概率；（2）该公司的资助总额超过 15 万元的概率． 19．（本小题满分 12 分）在△ ABC 中， , A B C 所对的边分别为 , ,a b c ， , A  ， (1  6  3) c  ． b 2 （1）求C ；（2）若   CB CA 1   3 ，求 a ,b ， c ． 20．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD PA AD  中，底面 ABCD 是矩形， 4 AB  ．以 BD 的  ， 2 PA  平面 ABCD ，中点O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M ． P A M D B O C

（1）求证：平面 ABM ⊥平面 PCD ；（2）求直线 PC 与平面 ABM 所成的角；（3）求点O 到平面 ABM 的距离． 21．（本小题满分 12 分）数列{ }na 的通项 a n  2 n 2 (cos n  3  sin 2 n  ) 3 ，其前 n项和为 nS (1) 求 nS ; S 3 n 4 n  (2) b n  , 求数列｛ nb ｝的前 n 项和 nT . n 22．（本小题满分 14 分）如图，已知圆 :G ( x  2 2)  2 y A 为椭圆的左顶点（1）求圆G 的半径 r ; （2）过点 (0,1) M 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E F， A 两点，证明：直线 EF 与圆G 相切． 2  是椭圆 r 2 x 16 2 y  的内接△ ABC 的内切圆, 其中 1 y M 0 B C F ． G x E

绝密★启用前秘密★启用后 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。题号 1 答案 A 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 B 8 C 9 C 10 D 11 B 12 A y ,而由 2 x  得 1 x   ,由 x 1 y , ,x y 不一定有意义,而 x y 得 1. 由 1 x  得 x 1 y 不到 2 x 2 y 故选 A. 2. 由    2 x x  3 x  0   4 0 得 4    或 0 0x 1x  ,故选 D. 3. 仅参加了一项活动的学生人数=50-(30+25-50)=45, 故选 B. 4. 由 ( ) f x (1   3 tan )cos x x  cos x  3 sin x  2sin( x  可得最小正周期为 2,  ) 6 故选 A. 5. f ( 2008)   f (2009)  f (0)  f (1)  log  1 2 log 2 2 1  ,故选 C. 6. 2 C x C x n  1 n 2    n n C x n (1   n x )  1 ,当 5, n x  时, 4 (1 nx ) 1 6   4 1 35 37    能被 7 整除, 故选 C. 7. 由 tan  6  c 2 b  3 3 有 2 3 c  2 4 b  2 4( c  2 a ) ,则 e  c a  ,故选 B. 2 8. 由 2 a 4 a a 3 7 得  3 ) d 2  ( a 1  2 )( d a 1  6 ) d 得 12 a 3 d 0  , ( a 1 56 2 3 S 再由 8  8 a 1  d  得 12 a 32  8 7 d 90 2  则 d 12, a S   ,所以 10  10 a 1 d  60 ,.故选 C 9. 由 PQ ∥ AC ，QM ∥ BD ， PQ ⊥QM 可得 AC ⊥ BD ，故 A 正确；由 PQ ∥ AC 可得 AC ∥截面 PQMN ，故 B 正确；异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 PN 所成的角，故 D 正确；

x  时，由 0 0 当 0 x   时，由当 0 3 2 y y  与 27 4  y  2 15  4 y ax 27 4 x  与 x  9 2 15  4 ax  相切可得 a   ， 3 2 25 64 综上C 是错误的，故选C . 10. 所有可能的比赛分组情况共有 4 2 2 2 C C 4 2! 选 D . 12  种，甲乙相遇的分组情况恰好有 6 种，故 11. 由图可知，当质点 ( , P x y 在两个封闭曲线上运动时，投影点 ( ,0) Q x 的速度先由正到 0、 ) 到负数，再到 0，到正，故 A 错误；质点 ( , P x y 在终点的速度是由大到小接近 0，故 D ) 错误；质点 ( , P x y 在开始时沿直线运动，故投影点 ( ,0) Q x 的速度为常数，因此 C 是 ) 错误的，故选 B . 12. 设过 (1,0) 的直线与 y 3 x 相切于点 ( 3 x x ，所以切线方程为 0 ) , 0 y  3 x 0  2 3 x 0 ( x  x 0 ) 即 y  3 2 x x 0 3  2 x 0 ，又 (1,0) 在切线上，则 0 x  或 0 0 x   ， x  相切可得 9 a   ，所以选 A . 1 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 13. 0 14. 8 6  15. 3 2 16. ABC 13..因为   a c   (3   , 1), k 所以 0 k  . 14.设球的半径为 R ，依题设有 36( 8) 2 4 R 2 ，则 2 R  ，球的体积为 6  4 3 3 R   3 2 4 3     6       8 6  15.由数形结合，半圆 y  4 2  在直线 x y  ( k x 1) x  之下必须 2  12, x  ，则直线 1 y  ( k x  过点 (1, 3) ，则 1) k  3 2 16. 因为 cos x ( y   2)sin  1  所以点 (0,2) P 到 M 中每条直线的距离 d  1   2 cos  1 sin 2  即 M 为圆 C : 2 x ( y  2 2)  的全体切线组成的集合,所以存在圆心在 (0,2) ,半径大于 1 1

的圆与 M 中所有直线相交, 也存在圆心在 (0,2) ,半径小于 1 的圆与 M 中所有直线均不相交, 也存在圆心在 (0,2) ,半径等于 1 的圆与 M 中所有直线相切, 故 ABC 正确, 又因 M 中的边能组成两类大小不同的正三角形,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 ABC 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。 17．解：(1) ' f x ( ) 3  2 x  9 x   6 3( x  1)( x  2) , 因为 ( ) x    , , '( ) f x m , 即 23 x  9 x  (6  m ) 0  恒成立, 所以   81 12(6   ) 0m  , 得 m   ，即 m 的最大值为 3 4 '( ) 0 f x  ; 当 1 x  时 , 2  3 4 '( ) 0 f x  ; 当 x  时 , 2 a  或 2 (2) 因为当 1x  时 , '( ) 0 f x  ; 所以当 1x  时, ( ) f x 取极大值当 2 x  时, ( ) f x 取极小值 (2) f a   ; f (1) 5 2 a   ; 2 故当 (2) 0  或 (1) 0  时 , 方程 ( ) 0 f x  仅有一个实根 . 解得 f f a  . 5 2 18．解：（1）设 A 表示资助总额为零这个事件，则 ( ) P A  61   2      1 64 （2）设 B 表示资助总额超过 15 万元这个事件，则 ( P B ) 15   6    1 2    6   6    1 2     6    1 2     11 32 19．解：（1）由 (1  3) c  2 b 得 sin(   6 C sin  C ) sin  则有 b c 5  6   1 2 3 2  cos  C sin cos C sin B sin C 5  6 sin C = 1 2 cot C  3 2   1 2 3 2

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