2014年重庆理工大学高等代数考研真题A卷.doc

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2014 年重庆理工大学高等代数考研真题 A 卷一、填空题（每空 3 分，共 18 分） 1. 若多项式 ( ) f x  3 x  3 x  ( k k  有重根，则 k  0) 2. 设行列式 0 1 1 1 2 3 D   1 5 7 ，则 31 A M   A 33  23 。，其中 ijM 、 ijA 分别表示元素 ija 的余子式和代数余子式。    3. 线性方程组的向量组成。 x 1 3 x 1 2 x  2 6 x  2 x  3 3   x 3 0  0 基础解系由个解 4. 设线性变换关于 3 维空间 3V 的基 , 1  3    的矩阵为 , 2 1 1 1 0 1 2      1   3   3  ，向量     3  ，则 ( ) 关于   1 2    3 1 2 , ,  的坐标为。 5. 设 A 为 4 阶方阵且 A   ，则 2 2AA  * 。 6. 若矩阵 A 的全部特征值为 3 、1、2，则 1A 全部特征值为。二、单项选择题（每题 3 分，共 18 分） 1. 设 ( ) f x 是实数域 R 上的 3 次多项式，则（） .A ( ) f x 一定有三个实根； .B ( ) f x 至少有一个有理根； .C ( ) f x 一定有一组非实共轭复根； .D ( ) f x 至少有一个实根.

2. 设 A 为 3 阶方阵且 ( r A  （其中 ( ) 1 r A 表示 A 的秩），则（ ) ） .A .C * ( r A  ； ) 3 .B * ( r A  ； 2 ) * ( r A  ； ) 1 .D * ( ) 0 r A  . 3. 下列集合中，是 3R 的子空间的是（） .A  ( x 1 , x 2 , x 3 ) | x  ； 1 0  .B  ( x 1 , x 2 , x 3 ) | x 1  3 x 2  x 3 .C  ( x 1 , x 2 , x 3 ) | x  ； 2  1  ； 0  .D  ( x 1 , x 2 , x 3 ) | x 1  3 x 2  x 3   1 . 4. 设，是欧式空间的相互正交的向量，则下列等式正确的是（） .A | .C | |     | |    | | ； |     |    | | | 2 2 2 ； .B | .D | |     | |    | | ； |     |    | | | 2 2 2 . 5. 当t 满足（是正定的。）时，二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  x 2 1  x 2 2  x 2 3  2 tx x 1 2 .A 2 t  ； 1 .C 1t  ； .B t  ； 0 .D 1 t   . 6. 设 n 阶方阵 A 与 B 有相同的特征值，则（） .A A 与 B 合同； .B | A | | B ； | .C A 与 B 相似； .D A B .

三、（10 分）设 ( ) f x  4 x  3 2 x  2 x   3 [ ] Z x ，（1）判别 ( ) f x 在Q 上是否可约，若不可约请证明之。（2）若 1 , 2 3 ) 4 x x x x 是 ( ) f x 的四个根，试求 1 ( , f x x x x , , , , 3 2 4   的值（其中 2 2x x 1  2 x x 1 2  2 x x 2 1  2 x x 3 1  2 x x 4 1  2 x x 2 1  2 x x 2 3  2 x x 2 4  2 x x 1 3  2 x x 2 3  2 x x 4 3  2 x x 1 4  2 x x 4 2 2 x x  ）。 4 3 四、（10 分）计算 n 阶行列式 D n  1 a b  1 1 a b 2 1  a b 1 n 1 a b 1 2 a b  2 2  a b 2 n  a b 1 n a b 2 n  1  a b n n 五、（12 分）设 n 阶方阵 A 满足方程 2 2  A A  3 I O  ，其中 I 为 n 阶单位矩阵。（1）求 A 的所有可能的特征值；（6 分）（2）证明 I A 可逆并求其逆矩阵。（6 分）六、（10 分）设V 为 n 维欧氏空间， 1V ， 2V 为V 的子空间，证明：（1） 1 ( V V 2   )   V 1  ;（5 分）  V 2 （2） 1 ( )V    。（5 分） V 1

七、（12 分）讨论当为何值时，线性方程组 y x      1) (2 x       ( y x      2 z y  3) z 1  1 3 z  2    1 无解？有唯一解？有无穷解？并在方程组有无穷解时，求出其结构式通解。八、（20 分）令 4F 表示数域 F 上的四维列空间，取  1   1  0     1     1   1   1     0     1   2   ,  2  ,  2  1     0     1   1   1     2     3   6   ,  3  ,  3  1     1     0   1   1    1   1  1  ,  4        ,  4 1     1     1   0   1     0     5   6    设为 4F 的线性变换，使得 ( , i i   ) i  1,2,3 。（1）证明 1 2     是 4F 的一个基，并求关于这个基的矩阵；（12 分） , , , 3 4 （2）求的核与像的维数。（8 分）

九、（20 分）给定二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  2 2 x 1  2 x 2 2  2 x 3  8 x x 1 2  4 x x 1 3  2 ax x 2 3 已知二次型的三个特征根之积为 28，且 0 5a  。（1）求 a ；（6 分）（2）用正交变换将该二次型化为标准型，并写出所做的变换；（10 分）（3）判断 ( 1 f x x x   为何种二次曲面。（4 分） ) , , 3 1 2 十、（20 分）设 A 为 3 阶实对称矩阵，3 阶正交矩阵U 使 TU AU 3       3      且已知U 的第三列为 1 ( 1 2 ,  1 。 2 T ,0) （1）求矩阵U ；（12 分）（2）求矩阵 A ；（4 分）（3）证明： 2A I 为正定矩阵，其中 I 为 3 阶单位矩阵。（4 分）

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