DCT离散余弦变换pdf.pdf-资料库

2．2 离散余弦变换（DCT） There are many other transforms that are used quite often by engineers and mathematicians.. Hilbert transform, short-time Fourier transform (more about this later), Wigner distributions, the Radon Transform, and of course our featured transformation, the wavelet transform, constitute only a small portion of a huge list of transforms that are available at engineer's and mathematician's disposal. Every transformation technique has its own area of application, with advantages and disadvantages. –R. Polikar, the Wavelet Totorial 2.2.1 离散图像变换的一般表达式[4] 离散图像变换的代数表达式对于 2－D 离散函数 yxf ,( ) x = 0,1,2, , M − ;1 y = ,2,1,0 L , N − 1 L 有变换对 T u v ( , ) = = ⎛ ⎜ ⎝ 1 − M N 1 − ∑∑ x = 0 y = 0 1 − M N 1 − ∑∑ x = 0 y = 0 f x y g x u y v u ) ( , , ( , ) 正变换核 uuuuuuuuuuuuru , = 0,1,2, L , M − v 1 = 0,1,2, , N − 1 L g x u f x y g y v ( , 1 ( , ) ( , ) 2 ) ⎞ ⎟ ⎠ f x y ( , ) = T u v h x u y v ( , ) ( , , ) 反变换核 uuuuuuuuuuuur , x = 0,1,2, , L M y 1 − = 0,1,2, , L N 1 − 1 − M N 1 − ∑∑ v 0 0 = = M N 1 − u ⎛ =⎜ ⎝ 1 − ∑∑ u 0 = v 0 = h x u T u v h y v ( , ) ( , ) 1 ( , ) 2 ⎞ ⎟ ⎠ 上两式已经考虑了可分离性（Separability），变换核可分离的离散图像变换表示为 1

vuT ),( = M 1 − 1 − N ∑∑ 0 y x 0 = = N M 1 − 1 − ) = ∑∑ 0 u v 0 = = yxf ,( ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ vygyxfuxg ),( 1 ),( ,( ) 2 = = u v ,2,1,0 ,2,1,0 , L , L vyhvuTuxh ),( 1 ),(),( M N 2 1 − 1 − x y = = ,2,1,0 ,2,1,0 , , M N 1 − 1 − L L 如此，二维离散变换就可以用两次一维变换实现。对傅里叶变换，正变换核 g = exp − ⎡ ⎢ ⎣ j ⎛ π2 ⎜ ⎝ ux M + vy N ⎞ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎦ ，实际是由正弦和余弦函数组成；反（或说是逆）变换核 h = exp ⎡ ⎢ ⎣ j ⎛ π2 ⎜ ⎝ ux M + vy N ⎞ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎦ 。矩阵表达式在二维离散傅里叶变换式（可分离变换） vuF ),( = 1 MN 1 M N 1 − ∑∑− x = 0 y = 0 yxf ,( ) exp − ⎡ ⎢ ⎣ j ⎛ 2 π ⎜ ⎝ ux M + vy N ⎞ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎦ 中，令 exp F (0,0) F (1,0) ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ N j j = − = ⎡ ⎢ ⎣ W M , exp ，则上式用矩阵可表示为 2 2 π⎡ Wπ ⎤ ⎤ − ⎥ ⎢ ⎥ N M ⎦ ⎣ ⎦ x=0 1 2 ..... M-1 u= W 0 0 M W 1 M 1) ( − M W 2 1) 2( − M F N (0, F N (1, F (0,1) F (1,1) W 0 M W 2 M W 4 M W 0 M W 1 M W 2 M 1) − 1) − L L = M L L L ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1 MN ⎡ W 0 M ⎢ W 0 ⎢ M ⎢ W 0 M ⎢ ⎢ M ⎢ W W ( ⎢ ⎣ M 0 M ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦－ M M 1) − M W M 2( M 1) − L 2 1) − M W ( M M M 1 W 0 N W 1 N W 2 N y=0 1 2 ..... N-1 v= ⎡ W 0 N ⎢ W 0 ⎢ N ⎢ W 0 N ⎢ ⎢ M M ⎢ W W N ( ⎢ ⎣ N ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ N 1 － ⎥ ⎥ ⎦ W 0 0 N W 1 N ( 1) − N W 2 2( N W 0 N W 2 N W 4 N M W N 2( N L L L W ( N L M N 0 N 1) − 1) − 1) − 1) − N 2 × M − F M ( 1,0) F M ( 1,0) L M − M 1, − F M N ( − 1) f f (0,0) (1,0) f f (0,1) (1,1) M − 1,0) f M ( M f M ( − 1,1) L L L f N ( 0, f N (1, 1) − 1) − M 1, − f M N ( − 1) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ × ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2

简写为 M fWWF = N ，式中，的矩阵元为；的矩阵元为。 MW ux NW vy MW NW 傅里叶逆变换矩阵式可如下获得 WfWWWf = 1 − M M N 1 − N = FWW 1 − M 1 − N 。易得（上式与二维离散傅里叶逆变换式对比） W 1 − M = 1 M ⎡ W ⎢ W ⎢ ⎢ W ⎢ ⎢ M ⎢ W ⎢ ⎣ 0 M 0 M 0 M 0 M 易知 W 1 − N = 1 N W 0 ⎡ N ⎢ W 0 ⎢ N ⎢ W 0 N ⎢ M ⎢ W ⎢ ⎣ 0 N ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ W W W 0 M 1 − M − M 2 W W W 0 M 2 − M − M 4 L L L 0 M M − 1) 2( M − 1) W ( − M − M W W M M ( − 1) W − M M 2 ( M − 1) W − M M M ( 2 − 1) L W − M W 0 N W 1 − N W − N M N ( 2 W − N )1 − W 0 N W 2 − N W − N M (2 N 4 W − N L L L L )1 − 0 N N W ( − N (2 − N W W )1 − N )1 − M N ( 2)1 − W − N ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ W T * M = 1 W − M , W T * N = 1 − WN ，故，和是酉矩阵，所对应的傅里叶变换是一种酉变换。 MW NW 普遍情况下，假如一个变换（或反变换）的变换核是可分离的，均可写成对 yxf ,( ) ⎧ ⎨ ⎩ x y = = 方阵。 ,2,1,0 ,2,1,0 , , L L T f = AfB 1 −= TBA ， 1 − M N 1 − 1 − ，矩阵 A 为 MM × 方阵；矩阵 B 为 NN × 3

假如一个变换的变换核是不可分离的，有 T = f = Af TA 1− ，其中 A 和 1A− 均是 M × M 方阵,这时无法通过两次一维变换来实现二维变换。 2.2.2 One-D离散余弦变换（DCT） [4,5] DFT 供了频谱分析最重要的工具。但 DFT 运算是复数域运提算，在实时处理中并不方便。但傅立叶变换的实部只含有余弦项，可以构造 DCT，这是一种实数域的变换，是简化傅里叶变换的重要方法，在一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把|DCT 作为一个基本处理模块，已经在图像压缩编码中得到广泛应用。离散余弦变换的正变换核 xg )0,( = uxg ),( = 1 N 2 N ⎫ ⎪⎪ ( ⎬ u )1 π + ⎪ ⎪⎭ N 2 2( x cos 对应的离散余弦变换 x = 0,1,2, L , N u 1;- = ,2,1 , N − )1 L F )0( = uF )( = ∑ x = 0 N 1 − ∑ x N = 0 1 − 1 N 2 N xf )( ( x = ,2,1,0 , N − )1 L 2( x f x )( cos u )1 + π N 2 u ( = ,2,1 L , N − )1 其中是时域 N 点序列；为第 u 个余弦变换系数；u 为广义频 )(uF )(xf 率变量。取反变换核＝正变换核，有 xf )( = 1 N F )0( + 2 N 1 N ∑− u 1 = uF )( cos 2( x u )1 + π N 2 ( x = ,2,1,0 , N − )1 L 4

2.2.3 Two-D 离散余弦变换正变换 yxf ,( ) = F )0,0( F v ),0( uF )0,( = vuF ),( = 1 − y N y N N N = 0 x = 0 = 0 1 − 1 − 1 − 1 N = ∑∑ ∑∑ x 2 N 2 N 2 N ∑∑ ∑∑ x 0 = N 1 − y 0 = 1 − 1 − 1 − N N = 0 N x = 0 = 0 y yxf ,( ) cos yxf ,( ) cos yxf ,( ) cos v π u π )1 )1 2( y + N 2 x 2( + N 2 u x )1 + π N 2 2( cos 2( y v π )1 + N 2 其中， yxf ,( ) 是空间域二维向量之元素， yx , = ,2,1,0 L , N − 1 ； vuF ),( 是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为 NN × 。 2.2.4 正弦变换[1] DST 的原始结果是由奇函数 ( , f x y 得到。可以如下定义变换核 ) A u x ( , ) = 2 + 1 N sin ( x + ) 1 π ( 1) N u + + 1 x u ( , = 0,1,2, , N -1) L One －D 对应的一维离散正弦变换与反变换公式分别为 F u ( ) = f x ( ) = 2 N 1 ＋ 2 1 ＋ N N 1 − ∑ x = N 0 1 − ∑ u = 0 f x ( )sin F u ( )sin ( x + ( x + ( 1) N ( 1) N u + u + + 1 + 1 ) 1 π 0 ) 1 π 0 ≤ ≤ u N − 1 ≤ ≤ x N − 1 )(xf 是时域 N 点序列； )(uF 为第 u 个余弦变换系数；u 为广义频率变量。 Two-D 正变换与反变换分别为 5

F u v ( , ) = f x y ( , ) = 2 N 1 ＋ 2 N ＋ N 1 − N 1 − ∑∑ x = 0 y = 0 N 1 − 1 − N ∑∑ 1 u = 0 v = 0 f x y ( , )sin F u v ( , )sin ( x + ( x + ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ( 1) N ( 1) N u + u + + 1 + 1 ) 1 π ⎤ ⎥ ⎦ ) 1 π ⎤ ⎥ ⎦ sin sin ( y + ( y + ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ( v 1) N + ( v 1) N + + 1 + 1 ) 1 π ⎤ ⎥ ⎦ ) 1 π ⎤ ⎥ ⎦ 其中， yxf ,( ) 是空间域二维向量之元素， yx , = ,2,1,0 L , N − 1 ； vuF ),( 是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为 NN × 。余弦变换与正弦变换的性质 1）它们的正变换核与反变换核是相同的； 2） DCT 和 DST 分别是 DFT 的对称和非对称扩展式； 3） DCT 和 DST 均有快速算法； 4） DCT 和 DST 对图像均有把能量集中在低频的特征。关这些性质的较详细讨论可以参于考教学参考书，如本章参考文中献[1] pp. 81- 83；参考文献[3]中pp. 83- 84。 Examp le I To compute the discrete cosine transform for the autumn i mage. RGB = imread('autumn.tif'); figure, imshow('autumn.tif'); I = rgb2gray(RGB); % 将彩图转成灰度图像进行以进行 D CT 变换 J = dct2(I); figure, imshow(log(abs(J)),[]), colormap(jet(64)), colorbar 6