相位噪声和抖动的功率谱密度-理论数据分析和实验结果.pdf

发布时间：2022-05-30 发布人：admin 分类：说明书资料大小：5.55M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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简介

概述

修订历史

定义

相位噪声

抖动

功率谱密度

示例1

示例2—相位噪声

示例3—抖动

转换器应用

示例1

测试设备

示波器

频谱分析仪

检验

实验结果

信号1

信号2

信号3

高速转换器

结论

参考文献

AN-1067 应用笔记 One Technology Way • P.O. Box 9106 • Norwood, MA 02062-9106, U.S.A. • Tel: 781.329.4700 • Fax: 781.461.3113 • www.analog.com 相位噪声和抖动的功率谱密度：理论、数据分析和实验结果简介作者：Gil Engel 概述模数和数模转换器采样时钟内的抖动会对可实现的最大信噪比造成限制（参见参考文献部分 van de Plassche 著《集成模数和数模转换器》）。本应用笔记阐述了相位噪声和抖动的定义，绘制了其功率谱密度，介绍了时域和频域测量技术，解释了实验室设备的不利因素并提供这些技术的校正要素。所提出的理论有实验结果支持，可用于解决实际问题。电子设备有多种技术可以生成时钟。电路包括 R-C 反馈电路、定时器、振荡器和晶体及晶体振荡器。根据具体电路要求，人们可能接受高相位噪声（抖动）的廉价时钟源。但是，最近的新器件要求更出色的时钟性能，也就是更昂贵的时钟源。人们对转换器采样信号的频谱纯度也提出同样的要求，尤其是在当前高性能转换器测试过程中使用频率合成器作为时钟源时。下面章节介绍了相位噪声和抖动的定义。然后结合相位噪声和抖动，通过数学推导形成其频率表示形式。频域表示法或功率谱密度用来直接衡量相位噪声 / 抖动。所建立的理论和模数和数模转换器相关。各种信号采用频谱分析仪和示波器来测量。最后，结合实验结果，在 AD9235 模数转换器（ADC）上应用理论。 Rev. 0 | Page 1 of 20

AN-1067 目录简介 .................................................................................................... 1 概述 .................................................................................................... 1 修订历史 ........................................................................................... 2 定义 .................................................................................................... 3 相位噪声 ...................................................................................... 3 抖动 ............................................................................................... 3 功率谱密度 ....................................................................................... 5 示例 1 ............................................................................................ 6 示例 2—相位噪声 ...................................................................... 6 示例 3—抖动 ............................................................................... 7 转换器应用 ....................................................................................... 8 示例 1 ............................................................................................ 9 修订历史 2010 年 4 月—修订版 0 ：初始版应用笔记测试设备 ......................................................................................... 10 示波器 ......................................................................................... 10 频谱分析仪 ................................................................................ 10 检验 ............................................................................................. 11 实验结果 ......................................................................................... 12 信号 1 .......................................................................................... 12 信号 2 .......................................................................................... 12 信号 3 .......................................................................................... 13 高速转换器 ..................................................................................... 15 结论 .................................................................................................. 17 参考文献 .................................................................................... 17 Rev. 0 | Page 2 of 20

应用笔记 AN-1067 定义相位噪声和抖动有多种解释。在本应用笔记的背景中，相位噪声和抖动定义如下：假设有正弦信号其中： ω = 2πf。 f为所需频率。 A为恒定相位偏移。 (1) ) t ω ( n s i 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 –0.2 –0.4 –0.6 –0.8 –1.0 0 /2 3 /2 0 ≤ ωt ≤ 2 图1. 归一化正弦信号 2 1 0 0 - 2 3 9 8 0 抖动相位噪声相位噪声定义为任意函数 Φ(t)，这样公式 1 变成 (2) 函数 Φ(t) 可由与ωt, 无关的频率分量所组成，例如热噪声、散粒噪声和 1/f 噪声（闪烁噪声）。但在大多数情况下，它被模型化为高斯噪声（见参考文献部分 Manassewitsch 著《频率合成器理论和设计》第三版）。同样地，采样时钟可视为以固定时间间隔 τ 重复上升沿和下降沿的周期性方波，使得 1.5 1.0 0.5 0 –0.5 0 (3) 0.5 1.0 PERIOD ( ) 1.5 图3. 采样时钟 2.0 3 0 0 - 2 3 9 8 0 抖动可视为固定时间间隔 τ 的加性时间变量 Δ(t)，得出 (4) 1.5 1.0 0.5 0 –0.5 0 0.5 1.0 PERIOD ( ) 1.5 图4. 带抖动的采样时钟 2.0 4 0 0 - 2 3 9 8 0 图2. 带相位噪声的正弦信号同样地，Δ(t) 一般特征化为高斯噪声。 Rev. 0 | Page 3 of 20

AN-1067 ) B d ( R E W O P D E Z L A M R O N I 0 –20 –40 –60 –80 –100 –120 –140 –160 –180 100 105 1010 1015 FREQUENCY (MHz) 图5. 振荡器单边带噪声频谱 1020 5 0 0 - 2 3 9 8 0 应用笔记噪声分析直接超过 5 kHz 直到有源器件在高频下受到限制。低于 5 kHz 的噪声超过散粒噪声和热噪声。该噪声和频率成反比并被识别为 1/f 噪声。图 5 所示为振荡器的典型噪声谱（见参考文献部分 Manassewitsch 著文章）。 Rev. 0 | Page 4 of 20

应用笔记 AN-1067 功率谱密度时域信号通过傅里叶变换和频域直接相关（见参考文献部分 Oppenheim 著《离散时间信号处理》）。傅里叶变换可视为信号的幅度和相位谱。信号功率还可在频域中考察。功率谱或功率谱密度由下式得出 (5) 其中Y(ω) 为y(t) 的傅里叶变换。如定义一节所述，Φ(t) 可以是任意干扰信号。为了简化此分析，Φ(t) 设置为单一频率。假设：这样公式 2 变为 (6) (7) 结果获得一个相位调制信号 y(t)，在频率 fm 下最大相位偏差 θd（弧度），其中 ωm = 2πfm，无偏移，A = 0。 Jacobi-Anger 扩展（见参考文献部分 Weisstein 著《简明数学百科》）表明或者可借助欧拉公式转化为和 (8) (9) (10) (11) 其中Jn (z) 系数为第一类贝塞尔函数。使用三角恒等式，可将公式 7、10 和 11 转化为 (12) 从公式 12 中可以看到，y(t) 在载波频率 fc 下具有一阶贝塞尔分量，在偏离载波频率的调制频率 fm 的倍数下具有贝塞尔加权信号。在 fc = 32,768 Hz 且 fm = 1024 Hz 时，相位偏差为 500 mrad（其中 mrad 表示微弧度）时函数 y(t) 的功率谱密度 Syy(ω) 如图 6 所示。图6. 功率谱密度Syy(ω) 图 6 为下式的曲线图 Syy(ω) = Y(ω) × Y’(ω) 其中Y(ω) 为y(t) 的傅里叶变换。 Syy(ω) 显示频率 f 下的功率幅度。通过单一频率 fm 调制的信号 y(t) 的功率谱密度仅在 fc 和 fm 下具有分量，幅度为贝塞尔平方。较高阶贝赛尔系数衰减极快。对数功率坐标提供出色的动态范围，表明较高阶分量同样可视为大载波分量。Syy(ω) 对数计算公式如下： (13) 如图 7 所示。图7. 功率谱密度Syy(ω)的对数附加项现在清晰可见。随着相位偏差增加，载波频率幅度减少且调制项幅度增加。500 mrad 相位偏差将载波功率降低 ~12%。在小幅相位偏差时，θd << 1 rad，J0(θd) ≈ 1, J1(θd) ≈ θd/2，并且J2(θd) … Jn(θd) ≈ 0（见参考文献部分Manassewitsch 文章）。 Rev. 0 | Page 5 of 20

AN-1067 应用笔记随着相位偏差逼近零，载波功率也逼近 100%。此外，小幅相位偏差有更小比例的载波频率功率分布在调制项中。这进而导致调制项和更精确地与 Φ(t) 功率近似。贝赛尔函数具有以下属性： rms 调制可采用多种方式表示。弧度（如公式 19 所示） (20) 公式 20 以度表示相位偏差。 (14) 为了将相位噪声和时间抖动相关联，使用下列公式：利用小相位偏差属性，Φ(t) 的均方根（rms）功率（针对单音正弦调制）约为或者该相位偏差还可用均方根幅度来表示。示例 1 对于 100 mrad 的相位偏差 θd， (15) (16) (17) (21) 其中 τ = 1/fc 以时间表示相位偏差。示例 2—相位噪声假设使用理想时钟对噪声正弦信号进行采样其中： ωc = 2π26,2144。 N(t) 为标准偏差的高斯噪声，σ = 10 mrad。以每秒 4 百万采样点对所构造的信号进行持续 15 ms 的采样，获得 65,000 个采样点。功率谱密度对数归一化为 0 dB 并如图 8 所示。将此结果与正弦信号功率进行比较，当 A = 0.1 时，均方根功率为 Pe = 0.005 且 Arms = A/√2 = 0.0707107，证实对于小相位偏差，调制项和可提供均方根功率的出色近似。该自变量可扩展到更复杂的调制信号。更复杂的调制函数可作为许多频率项的叠加来处理，每一项都会影响频谱。功率谱密度具有额外项，其和可表示调制信号的均方根功率。对于小幅度 (θd << 1 rad)，任意函数的均方根功率 Φ(t) 由下式给出 (18) 公式 18 表明相位调制信号的均方根功率等于所有分量的和减去基频（或载波频率）下的功率。对于正弦信号 y(t)，相位调制产生一个对称的功率谱密度，使得均方根功率还可表示为图 8. 260 kHz, 10 mrad相位噪声基频在约 260 kHz 附近，在频谱范围内没有噪声。使用公式 18 的离散形式， (22) 在 0 至奈奎斯特范围所有频率的功率幅度相加，不包括基频的功率。所得噪声功率为 (19) Prms = 1.0017 × 10-4 这称为单边带测量技术，通常按 Hz 进行（见参考文献部分 Manassewitsch 文章）。均方根幅度为 Arms = 0.010008 rad。注意，0.008 mrad 差异为小于 10 mrad 的精确 rms 噪声幅度数个数量级，从而获得一个极出色的渐近。 Rev. 0 | Page 6 of 20

应用笔记在时间 t0，相位偏差 Φ(t0) = 0 时，输入信号具有振幅 A0。在 t0 时具有相位偏差 Φ(t0) = ΔΦmrad 的噪声输入信号具有幅度 AΦ。同样地，在时间偏差 t1 = t0 + Δt 时采样的输入信号具有幅度 Aτ。 AN-1067 图 9. 时序和相位偏差对正弦信号的影响图 9 显示存在时间偏差 Δt 和相位偏差 ΔΦ 产生相同的幅度 AΔ。不论如何，在相位偏差 ΔΦ 等于抖动 Δt 时，rms 时间偏差产生相同的结果。示例 3—抖动在示例 2 中，带相位噪声的信号的功率谱信号 N(t) 具有一个高斯分布和标准偏差 σ = 10 mrad。现在考虑使用具有高斯噪声 η(t) 的抖动时钟进行采样的信号。公式 21 可用来确定 rms 抖动以产生和 10 mrad 相位噪声相同的效果。所得输出位其中载波频率同样为 260 kHz 而 η(t) 为具有标准偏差 6.0713 ns 的高斯噪声。以每秒4 百万采样点对所构造的信号进行持续15 ms 的采样，获得 65,000 个采样点。功率谱密度的对数归一化为 0 dB。图10.以4 MSPS采样的一个相位噪声调制260 kHz音的10. 65k FFT 使用公式 22，在 0 至奈奎斯特范围所有频率的功率幅度相加，不包括基频的功率。所得噪声功率为 Prms = 1.0031 × 10-4 且均方根幅度为 Arms = 0.010016 rad 将结果代入公式 21 以获得该等结果和示例 2 中所获得结果一致。宽带噪声调制时钟或输入信号导致带分散噪声的功率谱。此外，噪声调制输入信号或时钟产生在载波附近对称的噪声。功率频谱密度可用来确定和指定频率分量或频率范围相关的相位噪声或抖动。大对称项可突显调制信号及 / 或时钟的特定频率。和特定频率相关的均方根功率可直接从功率谱密度中提取。对于频率范围，可使用下列公式。或对于单边带 (23) (24) Rev. 0 | Page 7 of 20

AN-1067 转换器应用如今，高速转换器在 12 位以上的分辨率下采样速率超过 100 MSPS，一般可以提供 70 dBc 以上的信杂比（SNR）、 100 dBc 以上的无杂散动态范围（SFDR）。数模转换器（DAC）的性能直接受采样时钟抖动影响。DAC 使用噪声时钟进行采样所产生的音调可产生带相位噪声的信号。ADC 同时受到来自采样时钟和输入信号两方面的噪声干扰。在示例 3— 抖动中所推导的结果可应用于转换器。将该等结果关联到 ADC，考察图 11 中所示的配置。应用笔记利用公式 17，此噪声功率可关联到 rms 相位偏差。对于一个 10 MHz 输入信号，这对应于下列的抖动表 1 所列为由于量化噪声和相对相位噪声均方根幅度所产生的转换器 SNR 限值。表 1 转换器 SNR 限值测试设置 10 dB (mrad) 1.005 0.251 0.063 0.016 0.004 6 dB (mrad) 1.592 0.398 0.1 0.025 0.006 理论 SNR 限值（dB） 49.96 62 74.04 86.08 98.12 对应相位噪声（mrad） 3.177 0.794 0.199 0.0497 0.0124 位号 8 10 12 14 16 表 1 还提供了在比转换器好 10 dB 和 6dB 时测试设置相应的相位噪声幅度。在某些情况下，可以接受比转换器好 6dB 的测试设置（尤其在 10 dB 难以获得时）。根据公式 21 可以轻松获得等效抖动幅度。转换器 SNR 性能一般由功率谱密度决定。采样频率和数据采样点数目直接确定频率分辨率。对于以 32 MHz 采样的转换器而言，4k FFT 可以累积足够的数据，使最小频率分辨率达到 8 kHz。因此，功率谱密度以 8 kHz 间隔显示信息。每个 8 kHz 区间提供在该间隔内频率和其混叠频率的功率和。在这些情况下无法确定距离载波 1kHz 的分量的大小。利用更大 FFT 可以提高频率分辨率。在 32 MHz 下采样的转换器利用 1M FFT 可将低频相位噪声（例如 1/f 噪声）分辨率提高到 32 Hz。图11. ADC功能框图 ADC 以时间常数t（周期为τ）对输入信号Asin(ωt) 进行采样，产生一个 N 位量化输出。假设输入信号内的噪声和采样时钟内的噪声无关，则由方和根（RSS）可得到总噪声。如果噪声足够大，则转换器的最高性能会受到影响。量化噪声直接和位数成正比。一个采样点在 ADC 范围内的最大误差为最低有效位分辨率 QN 除以 2 (QN/2)（见参考文献部分 van de Plassche、Oppenheim 文章以及 Norsworthy, Schreier 著《Δ-Σ数据转换器理论设计和仿真》）。该误差由采样中的信号所决定。对于随机变化的信号，量化误差是不相关的，因此在 ±QN/2 范围内的任意处。如果该误差在统计上无采样中信号无关，则可以发现最大 SNR 可由下列公式导出 (25) 对于一个 12 位转换器，理论最大 SNR 为 ~74 dBc。74 dBc 的总量化噪声功率相当于在测试时最好使测试设置比被测转换器好 10 dB。要测试一个 12 位转换器，所需测试设置噪声功率为 84 dBc。 Rev. 0 | Page 8 of 20

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