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2009年浙江高考文科数学真题及答案.doc
2009 年浙江高考文科数学真题及答案
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页，选择题部分 1 至 2 页，非选择题部
分 3 至 5 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共 50 分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题
纸上。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式：
球的表面积公式
S
R
4
2
球的体积公式
柱的高
4 R
V
3
3
其中 R 表示球的半径
棱柱的体积公式
V Sh
其中 S 表示棱柱的底面积，h 表示棱
棱台的体积公式
V
1
3
(
Sh
1
SS
21
S
2
)
棱锥的体积公式
其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下
底面积，
V
1
3
Sh
h表示棱台的高
其 中 S 表 示 棱 锥 的 底 面 积 ， h 表 示 棱 锥 的 高
如 果 事 件 ,A B 互 斥 ， 那 么
(
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设U R ， { |
x x
A
A．{ | 0
x
x
1}
， { |
0}
x x
B
1}
B．{ | 0
x
x
，则
1}
A
ð
U
C．{ |
x x
B
0}
（ ）
D．{ |
x x
1}
1． B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识，在集合的运算考查对于
集合理解和掌握的程度，当然也很好地考查了不等式的基本性质．
x x
1
，因此
A
ð
U
B
{ | 0
x
x ．
1}
【解析】 对于
UC B
x ”是“ 0
A．充分而不必要条件
2．“ 0
x ”的（ ）
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2． A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，
考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．
【解析】对于“ 0
充分而不必要条件．
x ” “ 0
x ”；反之不一定成立，因此“ 0
x ”是“ 0
x ”的
3．设 1z
（i 是虚数单位），则
i
2
z
2
z
（ ）
A．1 i
B． 1 i
C．1 i
D． 1 i
3．D 【命题意图】本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直
接考查了对于复数概念和性质的理解程度．
【解析】对于
2
z
2
z
2
i
1
(1
2
i
)
1
i
2
i
1
i
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4．设 ,是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若
C．若
l
l
，则l
/ /
，则l
,
,
/ /
B．若 / /
D．若 / /
l ，则l
l ，则l
,
,
4．C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的
考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系．
【解析】对于 A、B、D 均可能出现 //l ，而对于 C 是正确的．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
5．已知向量 (1,2)
．若向量 c 满足 (
b ， (
c a
a
b
c
)
a b ，则 c （ ）
A．
(
7 7
9 3
,
)
， (2, 3)
7
3
B．
(
,
7
9
)
C．
(
)
D．
(
7
9
,
7
3
)
) / /
7 7
,
3 9
5．D 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系
的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．
【解析】不妨设
b
c a
对 于
//
, )
C m n
(
a c
1
m
,2
，则
， 则 有 3(1
)
m
2(2
； 又
n
)
,
n a b
a b
c
3
m n ，则有
0
m
7
9
,
n
7
3
，
(3, 1)
， 则 有
6．已知椭圆
2
2
x
a
在椭圆上，且 BF
2
2
a
0)
1(
y
b
x 轴， 直线 AB 交 y 轴于点 P ．若
的左焦点为 F ，右顶点为 A ，点 B
b
AP
PB
2
，
则椭圆的离心率是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．
3
2
B．
2
2
C．
1
3
D．
1
2
6．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，
也体现了数形结合的巧妙应用．
【 解 析 】 对 于 椭 圆 ， 因 为
AP
PB
2
， 则
OA
2
OF
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是（ ）
A． 4
C． 6
B．5
D． 7
,
2 ,
c
a
e
1
2
7．A 【命题意图】此题考查了程序语言的概念和基本的应用，通过对程序语言的考查，充
分体现了数学程序语言中循环语言的关键．
【解析】对于 0,
k
，而对于 1,
1,
1
k
s
k
s
，则 2,
3,
2
k
k
s
，
3 8,
3
k
后面是
k
3,
s
，不符合条件时输出的 4
11
3 8 2 ,
k ．
4
k
8．若函数
( )
f x
2
x
a
x
(
a
R ，则下列结论正确的是（ ）
)
) 上是增函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
) 上是减函数
A． a R ， ( )
B． a R ， ( )
C． a R ， ( )
D． a R ， ( )
f x 在 (0,
f x 在 (0,
f x 是偶函数
f x 是奇函数
8．C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的
考查结合函数的性质进行了交汇设问．
【解析】对于 0
a 时有
f x
2
x 是一个偶函数
9．已知三角形的三边长分别为3,4,5 ，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A．3
B． 4
C．5
D． 6
9．C 【命题意图】此题很好地考查了平面几何的知识，全面而不失灵活，考查的方法上面
的要求平实而不失灵动，既有切线与圆的位置，也有圆的移动
【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于
圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现 4 个交点的情况，但 5 个以上的交点不能实现．
10．已知 a 是实数，则函数 ( ) 1
的图象不可能．．．是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
f x
sin
ax
a
10．D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰
富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度．
【解析】对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为
T
2 ,
a
a
要求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了 2．
非选择题部分（共 100 分）
注意事项：
1,
T
2
，而 D 不符合
1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2．在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。
11 ． 设 等 比 数 列 { }na 的 公 比
q ， 前 n 项 和 为 nS ， 则
1
2
S
a
4
4
．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
11．15 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知
识点的考查充分体现了通项公式和前 n 项和的知识联系．
4
q
【 解 析 】 对 于
,
(1
q
1
q
1
3
(1
a q
1
15
q
)
a
1
,
a
4
s
4
3
4
)
s
4
a
4
q
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
12．若某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则此几何体
的体积是
3cm ．
12． 18 【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几
何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法．
【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1 3 3 9
，上面的长方体体积为
3 3 1 9
，因此其几何体的体积为 18
13 ． 若 实 数 ,x y 满 足 不 等 式 组
x
y
2
x
y
y
x
2,
4,
0,
则 2
3x
y
的 最 小 值
是
．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
13． 4【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画
线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求
【解析】通过画出其线性规划，可知直线
y
2
3
过点
x Z
2,0 时，
2
x
3
y
min
4
14．某个容量为100 的样本的频率分布直方图如下，
则在区间[4,5) 上的数据的频数．．为
14． 30【命题意图】此题考查了频率分布直方图，
．
通过设问既考查了设图能力，也考查了运用图表解决
实际问题的水平和能力
【解析】对于在区间
4,5 的频率/组距的数值为
0.3 ，而总数为 100，因此频数为 30 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
15．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价
表如下：
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰月用电量
高峰电价
低谷月用电量
低谷电价
（单位：千瓦时）
（单位：元/千瓦
（单位：千瓦时）
（单位：元/千瓦
50 及以下的部分
超过 50 至 200 的部
分
时）
0.568
0.598
50 及以下的部分
超过 50 至 200 的部分
时）
0.288
0.318
超过 200 的部分
若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为100 千瓦
超过 200 的部分
0.668
0.388
时，
则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为
元（用数字作答）．
15． 148.4 【命题意图】此题是一个实际应用性问题，通过对实际生活中的电费的计算，
既考查了函数的概念，更侧重地考查了分段函数的应用 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为50 0.568 150 0.598
，二部分之和为148.4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
部分为50 0.288 50 0.318
；对于低峰
16．设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，则 4S ， 8
S
S ， 12
S
4
S ， 16
S
8
S 成等差数列．类
12
比以上结论有：设等比数列{ }nb 的前 n 项积为 nT ，则 4T ，
，
T
， 16
T
12
成等比数
列．
,T T
16． 8
12
T T
4
8
【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数
列 和 等 比 数 列 的 知 识 ， 也 考 查 了 通 过 已 知 条 件 进 行 类 比 推 理 的 方 法 和 能 力
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
,T T
【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列{ }nb 的前 n 项积为 nT ，则 4T ， 8
12
T T
4
8
T
， 16
T
12
成等比数列．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
17．有 20 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 ,
1
k
k k ，其中 0,1,2,
,19
．
从这 20 张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到
）不小于14 ”为 A ，
标有9,10 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9 1 0 10
则 (
)P A
1
4
【命题意图】此题是一个排列组合问题，既考查了分析问题，解决问题的能力，更
．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
17．
侧重于考查学生便举问题解决实际困难的能力和水平
【 解 析 】 对 于 大 于 14 的 点 数 的 情 况 通 过 列 举 可 得 有 5 种 情 况 ， 即
7,8;8,9;16,17;17,18;18,19 ， 而 基 本 事 件 有 20 种 ， 因 此 (
)P A 1
4
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分 14 分）在 ABC
中，角 ,
,A B C 所对的边分别为 ,
,a b c ，且满足
cos
A
2
2 5
5
，
AB AC
3
． （I）求 ABC
18．解析：（Ⅰ）
cos
A
2
cos
2
A
2
的面积； （II）若 1c ，求 a 的值．
52(21
5
1
3
5
)
2
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又
,0( A
)
，
sin
A
1
cos
2
A
4
5
，而
.
AB
AC
AB
.
AC
.
cos
A
3
5
bc
3
，
所以
5bc ，所以 ABC
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
的面积为：
1
2
5bc ，而 1c ，所以 5b
45
A
5
sin
1
2
bc
2
所以
a
2
b
2
c
2
bc
cos
A
25
321
52
19．（本题满分 14 分）如图， DC 平面 ABC ， / /
AC BC EB
,AE AB 的中点．（I）证明： / /
平面 ABE 所成角的正弦值．
EB DC ，
， ,P Q 分 别 为
PQ 平面 ACD ；（II）求 AD 与
ACB
，
120
DC
2
2
19．（Ⅰ）证明：连接
AE, 的中点，所以
AB
PQ
DP, ， 在 ABE
CQ
1//
1//
2
2
DC
， 又
BE
中， QP, 分别是
BE
，所以
PQ
//
DC
，又
PQ 平面 ACD ，
中，
BC
DC 平面 ACD， 所以 //PQ 平面 ACD
,2
（Ⅱ）在 ABC
而 DC 平面 ABC，
而 EB 平面 ABE， 所以平面 ABE 平面 ABC， 所以
CQ
由（Ⅰ）知四边形 DCQP 是平行四边形，所以
，所以 EB 平面 ABC
AC
EB //
DP //
，所以
DC
BQ
AQ
CQ
AB
CQ 平面 ABE
DP 平面 ABE， 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP，
所以
所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 DAP
在 APD
Rt
中，
AD
2
AC
DC
2
2
2
2
2
1
5
，
DP
CQ
sin2
CAQ
1
所以
sin
DAP
DP
AD
1
5
5
5
20．（本题满分 14 分）设 nS 为数列{ }na 的前 n 项和，
nS
2
kn
，
n
n N ，其中 k 是
*
*
m N ， ma ， 2ma ， 4ma 成等比数列，求 k 的值．
,1
，
1
S
k
a
1
n
,2
a
S
S
n
n
1
2
n
([
nk
)1
2
(
n
)]1
2
kn
k
1
（ ）
常数．
（I） 求 1a 及 na ；
（II）若对于任意的
20、解析：（Ⅰ）当
n
1
kn
n
,1n
经验，
（ ）式成立，
2
kn
k
1
（Ⅱ）
,
aa
m
,
a
4
m
2
m
成等比数列，
a
2
m
.
aa
m
4
m
，
an
2
即
4(
km
k
)1
2
2(
km
k
8)(1
km
k
)1
，整理得：
kmk
(
)1
0
，
对任意的
Nm
成立，
k 或
0
k
1
2
21．（本题满分 15 分）已知函数
3
x
( )
f x
(1
)
f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 3 ，求 ,a b 的值；
f x 在区间 ( 1,1) 上不单调．．．，求 a 的取值范围．
x b
(
a a
)
a x
( ,
a b R ．
2)
2
（I）若函数 ( )
（II）若函数 ( )
解析：（Ⅰ）由题意得
f
)(
x
2
3
x
1(2
)
(
aaxa
)2
又
)0(
f
0
)2
（Ⅱ）函数 )(xf 在区间
b
(
aa
)0(
f
，解得 0b ，
3a
或 1a
3
)1,1( 不单调，等价于
导函数
即函数
f
)1(
f 在
)1,1( 既能取到大于 0 的实数，又能取到小于 0 的实数
)(x
f 在
)1,1( 上存在零点，根据零点存在定理，有
)(x
1(23)][2
)1(
0
f
1(23[
， 即：
(
aa
(
aa
a
a
)
)
)]2
0
整理得：
(
a
)(5
a
)(1
a
)1
2
0
，解得
a
5
1
22．（本题满分 15 分）已知抛物线C ： 2
x
2
(
py p
到其焦点的距离为
17
4
．
上一点 (
A m
0)
,4)
2
（I）求 p 与 m 的值；
（II）设抛物线C 上一点 P 的横坐标为 (
t
t ，过 P 的直线交C
于另一点Q ，交 x 轴于点 M ，过点Q 作 PQ 的垂线交C 于另
一点 N ．若 MN 是C 的切线，求t 的最小值．
0)
22．解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：
y
p
2
，根据抛物线定义
点
(mA
)4,
到焦点的距离等于它到准线的距离，即
4
p
2
17
4
，解得
1p
2
抛物线方程为：
x 2
y
，将
(mA
)4,
代入抛物线方程，解得
2m
（Ⅱ）由题意知，过点
2ttP
,(
)
的直线 PQ 斜率存在且不为 0，设其为 k 。
则
lPQ
:
y
t
2
(
xk
t
)
，当
y
,0
x
t
kt
,
2
2
k
tM
(
则
kt
2
k
)0,
。
联立方程
即：
(
x
2
t
y
)[
xt
2
x
(
k
(
xk
y
)]
t
t
)
，整理得：
2
x
kx
(
kt
t
)
0
0
，解得
x 或
,t
x
k
t
(
kQ
(,
kt
2t
))
，而
QN ，直线 NQ 斜率为
QP
1
k
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