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数值分析.索尔.习题参考答案.pdf
习 题 选 解
第 0 章
习题 0.1
1.
(a) P (x) = 1 + x(1 + x(5 + x(1 + x(1 + x(6)))), P (1/3) = 2.
(b) P (x) = 1 + x(−5 + x(5 + x(4 + x(−3)))), P (1/3) = 0.
(c) P (x) = 1 + x(0 + x(−1 + x(1 + x(2)))), P (1/3) = 77/81.
3. P (x) = 1 + x2(2 + x2(−4 + x2(1))), P (1/2) = 81/64.
5.
(b) 41/4.
7. n 次乘法及 2n 次加法.
(a) 5;
计算机问题 0.1
1. 由 Q 得到的准确答案是 51.012 752 082 75, 误差 = 4.76 × 10−12.
习题 0.2
(a) 1000000;
1.
3. 11.0010010000111.
(b) 10001;
(c) 1001111;
(d) 11100011.
1.
3.
5.
习题 0.3
(a) 1.0000 · · · 0000 × 2−2;
(c) 1.0101 · · · 0101 × 2−1;
(a) 2εmach;
(a) 4020000000000000;
(c) 3fc000000000000;
(e) 3fe5555555555555;
(g) bfb999999999999a;
(a) 注意在双精度中 (7/3 − 4/3) − 1 = εmach;
(b) 4εmach.
7.
9. 否, 结合律不成立.
11. 在双精度计算机上, 这种计算不可能有精确的数字.
(b) 1.0101 · · · 0101 × 2−2;
(d) 1.11001100 · · · 11001101 × 2−1.
(b) 4035000000000000;
(d) 3fd5555555555555;
(f ) 3bf999999999999a;
(h) bfc999999999999a.
(b) 否,(4/3 − 1/3) − 1 = 0.
1.
习题 0.4
(a) 在 x = 2πn(n 是整数) 附近有效数字损失. 重写为 −1(1 + sec x);
(b) 在 x = 0 附近有效数字损失. 重写为 3 − 3x + x2;
(c) 在 x = 0 附近有效数字损失. 重写为 2x/(x2 − 1).
3. x1 = −(b +
b2 + 4 × 10−12)/2, x2 = (2 × 10−12)/(b +
b2 + 4 × 10−12).
√
√
计算机问题 0.4
1. (a)
2 习 题 选 解
x
0.100 000 000 000 00
0.010 000 000 000 00
0.001 000 000 000 00
0.000 100 000 000 00
0.000 001 000 000 00
0.000 000 100 000 00
0.000 000 010 000 00
0.000 000 001 000 00
0.000 000 000 100 00
0.000 000 000 010 00
0.000 000 000 000 10
0.000 000 000 000 01
原表达式
−0.498 747 913 711 43
−0.499 987 499 790 96
−0.499 999 875 014 29
−0.499 999 993 627 93
−0.500 000 041 336 85
−0.500 044 450 290 84
−0.510 702 591 327 57
0
0
0
0
0
修正后的表达式
−0.498 747 913 711 43
−0.499 987 499 791 66
−0.499 999 874 999 98
−0.499 999 999 875 00
−0.499 999 999 987 50
−0.499 999 999 999 87
−0.500 000 000 000 00
−0.500 000 000 000 00
−0.500 000 000 000 00
−0.500 000 000 000 00
−0.500 000 000 000 00
−0.500 000 000 000 00
(b)
x
原表达式
修正后的表达式
0.100 000 000 000 00
0.010 000 000 000 00
0.001 000 000 000 00
0.000 100 000 000 00
0.000 010 000 000 00
0.000 001 000 000 00
0.000 000 100 000 00
0.000 000 010 000 00
0.000 000 001 000 00
0.000 000 000 100 00
0.000 000 000 010 00
0.000 000 000 001 00
0.000 000 000 000 10
0.000 000 000 000 01
2.710 000 000 000 00
2.970 100 000 000 01
2.997 010 000 000 00
2.999 700 009 999 05
2.999 970 000 083 79
2.999 997 000 152 63
2.999 999 698 660 72
2.999 999 981 767 59
2.999 999 915 154 21
3.000 000 248 221 11
3.000 000 248 221 11
2.999 933 634 839 64
3.000 932 835 561 80
2.997 602 166 487 92
2.710 000 000 000 00
2.970 100 000 000 00
2.997 001 000 000 00
2.999 700 010 000 00
2.999 970 001 000 00
2.999 997 000 001 00
2.999 999 700 000 01
2.999 999 970 000 00
2.999 999 997 000 00
2.999 999 999 700 00
2.999 999 999 970 00
2.999 999 999 997 00
2.999 999 999 999 70
2.999 999 999 999 97
3. 2.233 22 × 10−10.
2 ) = − 1
习题 0.5
(a) 根据介值定理,f (0)f (1) = −2 < 0, 意味着 f (c) = 0 对于 (0, 1) 中的某个 c 成立;
(b) f (0)f (1) = −9 < 0, 意味着 f (c) = 0 对于 (0, 1) 中的某个 c 成立;
2 < 0, 意味着 f (c) = 0 对于 (0, 1
(c) f (0)f ( 1
2 ) 中的某个 c 成立.
(a) c = 2/3;
(b) c = 1/
(a) P (x) = 1 + x2 + 1/2x4;
(c) P (x) = x − x2/2 + x3/3 − x4/4 + x5/5;
(a) P (x) = (x − 1) − (x − 1)2/2 + (x − 1)3/3 − (x − 1)4/4;
(b) P (0.9) = −0.105 358 ¯3, P (1.1) = 0.095 308 ¯3;
(c) 误差界 = 0.000 003 387 对 x = 0.9, 误差界 = 0.000 002 对 x = 1.1;
(d) 在 x = 0.9 的实际误差 ≈ 0.000 002 18, 在 x = 1.1 的实际误差 ≈ 0.000 001 85.
√
1 + x = 1 + x/2 ± x2/8. 对 x = 1.02,
(b) P (x) = 1 − 2x2 + 2/3x4;
(d) P (x) = x2 − x4/3.
1.02 ≈ 1.01 ± 0.000 05. 精确值是
√
2;
(c) c = 1/(e − 1).
√
1.
3.
5.
7.
9.
习 题 选 解 3
√
1.02 = 1.009 950 5, 误差 = 0.000 049 5.
第 1 章
习题 1.1
(a) [2, 3]; (b) [1, 2]; (c) [6,7].
(a) 2.125; (b) 1.125; (c) 6.875.
(a) [2,3]; (b) 33 步.
计算机问题 1.1
1.
3.
5.
1.
3.
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
17.
(a) 2.080 083; (b) 1.169 726; (c) 6.776 092.
(a) 区间 [−2, −1], [−1, 0], [1, 2], 根 −1.641 783, −0.168 254, 1.810 038;
(b) 区间 [−2, −1], [−0.5, 0.5], [0.5, 1.5], 根 −1.023 482, 0.163 823, 0.788 942;
(c) 区间 [−1.7, −0.7]; [−0.7, 0.3], [0.3, 1.3] 根 −0.818 094, 0, 0.506 308.
(a) [1, 2], 27 步, 1.259 921 05; (b) [1, 2], 27 步, 1.442 249 57;(c) [1, 2], 27 步, 1.709 975 95.
5.
7. 第一个根 −17.188 498, 行列式准确到两位小数; 第二个根 9.708 299, 行列式准确到 3 位小数.
9. H = 635.5 毫米.
习题 1.2
4 , 发散.
1
9 − 1
2 , 局部收敛; 3
3 及 x = ln(x − x3);
3x4 及 x = (x5 − 9x6)/3).
2 , 并且 g(x) = −
(a) 局部收敛; (b) 发散; (c) 发散.
(a) 0, 局部收敛; 1, 发散; (b) 1
(a) 例如, x = x3 + ex, x = (x − ex)
(b) 例如, x = 9x2 + 3/x3, x = 1
(1 − x)/2 局部收敛到 1
g(x) =
1
g(x) = (x + A/x2)/2 收敛到 A
3 .
(a) 代入并检验; (b) 对 3 个不动点 r, 都有 |g(r)| > 1.
g(r2) > 1.
(a) x = x − x3 意味着 x = 0;
(b) 如果 0 < xi < 1, 那么 xi+1 = xi − x3
(c) 单调有界数列 xi 收敛于必为不动点的极限 L. 因此 L = 0.
(a) c < −2;
i = xi(1 − x2
(b) c = −4.
(1 − x)/2 局部收敛到 −1.
19.
21. 初始估计的开区间 (−5/4, 5/4) 收敛于不动点 1/4, 两个初始估计 −5/4, 5/4 收敛于 −5/4.
i ) < xi, 并且 0 < xi+1 < xi < 1;
计算机问题 1.2
(a) 1.769 292 35;
(a) 1.732 050 81;
1.
(b) 1.672 821 70;
3.
(b) 2.236 067 98.
5. 不动点 r = 0.641 714, S = |g(r)| ≈ 0.959.
7.
(a) 0 < x0 < 1;
(b) 1 < x0 < 2;
(c) 1.129 980 50.
(c) 例如,x0 > 2.2.
习题 1.3
1.
以下各题中 FE 是前向误差, BE 是后向误差.
(a) FE=0.01, BE=0.04;
(c) FE=0.01, BE=0.000 064;
(a) 2;
(b) FE=0.000 1, BE=5 × 10−9.
3.
5. BE=|a|FE.
(b) FE=0.01, BE=0.001 6;
(d) FE=0.01, BE=0.342.
4 习 题 选 解
(b) (−1)j (j − 1)!(20 − j)!.
7.
计算机问题 1.3
(b) xc =FE=2.073 5 × 10−8, BE=0.
(a) m = 3:
(a) xc = FE = 0.000 169, BE = 4.17 × 10−16;
1.
3.
5. 预测根 = r + ∆r = 4 + 46 × 10−6/6 = 4.000 682 ¯6, 实际的根 = 4.000 682 5.
(b) 13 步后终止,xc = −0.000 061 03.
习题 1.4
1.
3.
(a) x1 = 2, x2 = 18/13;
(a) r = −1, ei+1 = 5
2 e2
(b) r = −1/2, ei+1 = 2e2
i ; r = 0, ei+1 = 2e2
i ; r = 1, ei+1 = 2
i ; r = 1, ei+1 = 2
3 ei.
3 ei;
(b) x1 = 1, x2 = 1; (c) x1 = −1, x2 = −2/3.
2 , 对分法.
5. r = 0, Newton 法; r = 1
7. 否, 2
3 .
9. xi+1 = (xi + A/xi)/2
11. xi+1 = (n − 1)xi/n + A(nxn−1
13.
(a) 0.75 × 10−12;
).
i
(b) 0.5 × 10−18.
计算机问题 1.4
(b) 1.672 821 70;
(a) 1.769 292 35;
(a) r = −2/3, m = 3;
r = 3.236 2m.
1.
3.
5.
7. −1.197 624, 二次收敛; 0, 线性收敛, m = 4; 1.530 134, 二次收敛.
0.857 143, 二次收敛, M = −2.414; 2, 线性收敛, m = 3, S = 2/3.
9.
(b) r = 1/6, m = 2.
(c) 1.129 980 50.
11. 初始估计 =1.75, 解 V = 1.70L.
13.
3/4.
习题 1.5
1.
3.
(a) x2 = 8/5, x3 = 1.742 268;
(c) x2 = 1.092 907, x3 = 1.119 357.
(a) x3 = −1/5, x4 = −0.119 960 18;
(c) x3 = 1.139 481, x4 = 1.129 272.
(b) x2 = 1.578 707, x3 = 1.660 16;
(b) x3 = 1.757 713, x4 = 1.662 531;
计算机问题 1.5
(a) 1.769 292 35;
(a) 1.769 292 35;
(b) 1.672 821 70;
1.
3.
(b) 1.672 821 70;
5. fzero收敛于 0, 它不是根, 这与对分法相同.
(c) 1.129 980 50.
(c) 1.129 980 50.
第 2 章
习题 2.1
(a) [4, 2];
(a) [1/3, 1, 1];
1.
3.
5. 大约 27 次多.
7. 大约 10 分钟.
计算机问题 2.1
(b) [5, −3];
(c) [1, 3].
(b) [2, −1/2, −1].
1.
(a) [1, 1, 2];
(b) [1, 1, 1];
(c) [−1, 3, 2].
习题 2.2
; (b)
1
2
0 −2
(b) [−1, 1].
1
2
0
1
1
3
0 −4
; (c)
1
−5/3
0
1
1.
1
3
(a)
0
1
(a) [−2, 1];
3.
5. [1, −1, 1, −1].
7. 5 分钟, 33 秒.
9. 300.
习 题 选 解 5
.
−4
3
0 −14/3
习题 2.3
(a) 7;
1.
3. 以下 EMF 表示误差放大因子.
(b) 8.
(a) FE=2, BE=0.000 2, EMF=20 001;
(c) FE=1, BE=2.000 1, EMF=1;
(e) FE=3.000 1, BE=0.000 2, EMF=30 002.5.
5. 以下 RFE 表示相对前向误差, RBE 表示相对后向误差
(b) FE=1, BE=0.000 1, EMF=20 001;
(d) FE=3, BE=0.000 3, EMF=20 001;
(a) RFE=3, RBE=3/7, EMF=7;
(c) RFE=1, RBE=1/7, EMF=7;
7. 137/60.
13.
(a)
;
(b)
1
−1
1
.
10
15. LU =
0
1
−5 000
0
0
1
20
0 −0.01
0
0
1
1
1
0.1
0
(b) RFE=3, RBE=1/7, EMF=21;
(d) RFE=2, RBE=6/7, EMF=7/3; (e) 21.
, 最大乘子 = −5 000.
1
5.9
29 501
计算机问题 2.3
本节给出的计算机问题的答案仅是说明性的. 结果将随着执行细节稍有变动. 以下 con(A) 表示矩阵
A 的条件数.
1.
3.
(a)
(b)
n
100
200
300
400
500
5. n 13.
习题 2.4
n
6
10
FE
5.35 × 10−10
1.10 × 10−3
EMF
3.69 × 106
9.05 × 1012
cond(A)
7.03 × 107
1.31 × 1014
FE
4.62 × 10−12
4.21 × 10−11
7.37 × 10−11
1.20 × 10−10
2.56 × 10−10
EMF
3 590
23 010
50 447
55 019
91 495
cond(A)
9 900
39 800
89 700
159 600
249 500
;
1.
(a)
0
1
1
0
1
2
3
3
=
1
1
2
0
1
2
0
3
3
2
(b)
(c)
1
0
0
0
0
0
0
0
1
3.
5.
7.
9.
(a)
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
.
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
.
0
0
0
1
0
0
0
1
0
6 习 题 选 解
1
0
0
1
0
1
1
0
2
1
1
5
4
3
5
12
=
=
(d)
0
1
1
0
(a) [−2, 1];
=
1
0
0
1
(b) [−1, 1, 1].
0
1
1
1
2
0
1
1
1
5
2
0
4
1
5
0
1
0
0
1
1
0
0
1
12
13
5
.
;
;
1
0
0
−1
1
0
−1 −1
1
−1 −1 −1
=
1
1
1
1
1
0
0
−1
1
0
−1 −1
1
−1 −1 −1
1
0
0
0
0
0
0
1
;
0
1
0
0
0
0
1
0
1
2
4
8
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
(b) P = I, L 是非对角元素为 −1 的下三角矩阵, U 的非零元素是 uii = 1(1 i n − 1) 以及
uin = 2i−1(1 i n).
习题 2.5
1.
3.
(a) Jacobi, [u2, v2] = [7/3, 17/6]; Gauss-Seidel, [u2, v2] = [47/18, 119/36];
(b) Jacobi, [u2, v2, w2] = [1/2, 1, 1/2]; Gauss-Seidel, [u2, v2, w2] = [1/2, 3/2, 3/4];
(c) Jacobi, [u2, v2, w2] = [10/9, −2/9, 2/3]; Gauss-Seidel, [u2, v2, w2] = [43/27, 14/81, 262/243].
(a) [u2, v2] = [59/16, 213/64];
(c) [u2, v2, w2] = [1, 1/2, 5/4].
(b) [u2, v2, w2] = [9/8, 39/16, 81/64];
计算机问题 2.5
(BE 表示后向误差)
1. n = 100, 36 步, BE= 4.58 × 10−7; n = 100 000, 48 步, BE= 2.70 × 10−6.
5.
(a) 21 步, BE= 4.78 × 10−7;
(b) 16 步, BE= 1.55 × 10−6.
习题 2.6
2 > 0 对 x = 0;
1.
1 + 3x2
(a) xTAx = x2
(b) xTAx = (x1 + 3x2)2 + x2
(c) x2
1 + 2x2
(a) [3, −1];
(b) [−1, 1].
3 > 0 对 x = 0.
2 + 3x2
3.
5. xTAx = (x1 + 2x2)2 + (d − 4)x2
2 > 0 对 x = 0;
2. 如果 d > 4, 仅当 0 = x2 = x1 + 2x2 时表达式可能是 0, 这意
味着 x1 = x2 = 0.
7. d > 4.
计算机问题 2.6
习 题 选 解 7
(b) [3, −1].
1.
3.
(a) [2, 2];
(a) [−4, 60, −180, 140];
(b) [−8, 504, −7 560, 46 200, −138 600, 216 216, −168 168, 51 480].
√
;
;
(b)
(d)
v cos uv
u cos uv
veuv
ueuv
2u
;
1
−2w
vw cos uvw uw cos uvw uv cos uvw
.
√
vw4
(b) (±2/
(b) x3 ≈ [0.490 0, 0.976 8];
5, ±2/
5);
(c) (4(1 +
6/5).
(c) x3 ≈ [1.195 9, 0.759 5].
3 + 8
√
uw4
6)/5, ±
4uvw3
√
习题 2.7
1.
(a)
3u2
v3
0
3uv2
2v
2v
2u
(c)
2(u − 1)
(a) (1/2, ±√
3/2);
(a) x3 = [3/4, 3/4];
计算机问题 2.7
(a) (1/2, ±√
√
√
3/2);
(b) (±2/
5, ±2/
√
5);
6)/5, ±
(c) (4(1 +
3.
5.
1.
3. [u, v] = ±(0.507 992 000 407 95, 0.861 361 786 661 99).
5.
√
(a) 11 步给出根 (1/2,
(b) 13 步给出根 (2/
(c) 14 步给出根 (4(1 +
√
6/5).
3 + 8
√
√
3/2) 到 15 位;
√
5, 2/
√
5) 到 15 位;
6)/5,
3 + 8
6/5) 到 15 位.
第 3 章
(2−0)(2−3) ;
(0−2)(0−3) + 3 x(x−3)
(2+1)(2−3)(2−5) + (x+1)(x−2)(x−5)
习题 3.1
(a) P (x) = (x−2)(x−3)
(b) P (x) = (x+1)(x−3)(x−5)
(c) P (x) = −2 (x−2)(x−4)
(0−2)(0−4) + x(x−4)
(a) 一个, P (x) = 3 + (x + 1)(x − 2);
(c) 无穷多个, 例如, P (x) = 3 + (x + 1)(x − 2) + (x + 1)(x − 1)(x − 2)(x − 3).
(a) P (x) = 4 − 2x;
(b) P (x) = 4 − 2x + A(x + 2)x(x − 1)(x − 3), 其中 A = 0.
(3+1)(3−2)(3−5) + 2 (x+1)(xz−2)(x−3)
(5+1)(5−2)(5−3) ;
(2−0)(2−4) + 4 x(x−2)
4(4−2) .
(b) 无;
1.
3.
5.
7. 4.
9.
(a) P (x) = 10(x − 1) · · · (x − 6)/6!;
(b) 与 (a) 相同.
11. 无
13.
15.
(b) 465.
(a) 316;
(a) (2n + 1)(n − 1) 次加法及 n(2n − 2) 次乘法;
(b) 2n − 2 次加法及 n − 1 次乘法.
计算机问题 3.1
1.
(a) 4 494 564 854;
(b) 4 454 831 984;
(c) 4 472 888 288.
8 习 题 选 解
习题 3.2
1.
π x − 4
(a) P2(x) = 2
(c) π3/128 ≈ 0.242;
(a) 7.06 × 10−11;
π2 x(x − π/2);
2/2 − 3/4| ≈ 0.043.
(b) 由于 7.06 × 10−11 < 0.5 × 10−9, 因此至少 9 位小数.
(b) P2(π/4) = 3/4;
(d) |√
3.
5. 在 x = 0.35 处的预期误差将更小; 在 x = 0.55 处的误差大小近似于 5/21.
计算机问题 3.2
(a) P4(x) = 1.433 329 + (x − 0.6)(1.989 87 + (x − 0.7)(3.258 9 + (x − 0.8)(3.680 667 + (x −
1.
0.9)(4.000 417))));
(b) P4(0.82) = 1.958 91, P4(0.98) = 2.612 848;
(c) 在 x = 0.82 处的误差上界是 0.000 053 7, 实际误差是 0.000 023 4. 在 x = 0.98 处的误差上
界是 0.000 217, 实际误差是 0.000 107.
3. −1.952 × 1012bbl/ 天. 由于 Runge 现象, 这一估计没有意义.
习题 3.3
1.
(a) cos π/12, cos π/4, cos 5π/12, cos 7π/12, cos 3π/4, cos 11π/12;
(b) 2 cos π/8, 2 cos 3π/8, 2 cos 5π/8, 2 cos 7π/8;
(c) 8 + 4 cos π/12, 8 + 4 cos π/4, 8 + 4 cos 5π/12, 8 + 4 cos 7π/12, 8 + 4 cos 3π/4, 8 + 4 cos 11π/12;
(d) 1/5 + 1/2 cos π/10, 1/5 + 1/2 cos 3π/10, 1/5, 1/5 + 1/2 cos 7π/10, 1/5 + 1/2 cos 9π/10.
3. 0.000 118, 3 位准确数字.
5. 0.005 21.
7. d = 14.
9.
(a) −1;
(b) 1;
(c) 0;
习题 3.4
(d) 1;
(e) 1;
(f ) −1/2.
(a) 不是三次样条;
(a) c = 9/4, 自然;
1.
3.
5. 一条, S1(x) = S2(x) = x.
(b) 三次样条.
(b) c = 4, 末端抛物线和非结点;
(c) c = 5/2, 非结点.
(a) 一条, S1(x) = S2(x) = 2 − 4x + 2x2;
(b) 无数条, S1(x) = S2(x) = 2 − 4x + 2x2 + cx(x − 1)(x − 2), 对任意 c.
13. 可以. 样条的最左边和最右边部分必须是线性的.
15. S2(x) = 1 + dx3, 对任意 d.
17. 当 x1 = x2 时有无穷多条抛物线经过任意两点; 每一条都是末端抛物线的三次样条.
计算机问题 3.4
3 + 8
5 + 2
4 − 7
1.
(a)
3 x3,
3 x − 2
3 (x − 1) − 2(x − 1)2 + 1
3 (x − 2) − (x − 2)2 + 1
3 (x − 1)3,
3 (x − 2)3,
x ∈ [0, 1],
x ∈ [1, 2],
x ∈ [2, 3],
7.
(a)
(b)
9. −3, −12.
11.
1
2 x3,
2 x + 1
1 + 2(x − 1) + 3
1 − (x + 1) + 1
1 + 2(x − 1) + 3
2 (x − 1)2 − 1
4 (x + 1)3,
2 (x − 1)2 − 1
2 (x − 1)3,
2 (x − 1)3,
x ∈ [0, 1],
x ∈ [1, 2];
x ∈ [−1, 1],
x ∈ [1, 2].
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