数学模型——私人汽车保有量预测与调控.pdf-资料库

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2011201120112011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：长江大学参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 王曦王慧陈千指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期： 2012 年 8 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2011201120112011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

基于多元回归对私家车保有量增长及调控的研究摘要本文运用灰色关联度对汽车保有量的影响因素进行分析，并分别用三次曲线拟合、多元回归分析两种方法对 2010 年地区私家车保有量经行了预测；考虑到环境污染问题对汽车排放量提出了严格要求，根据汽车废气国 III 排放标准（欧 III ），结合地区情况，让公交车满足地区需求，根据年度排污限定量对私家车进行调控。问题一：我们利用灰色关联度的方法，对影响私人汽车的影响因素进行了排名，从而分析得出各各因素对私人汽车保有量的影响程度。对于预测 2010 年私家车保有量，本文第一种方案是，按时间顺序直接拟合一条私家车保有量曲线，发现三次曲线拟合得较好。本文第二种方案是用多元回归分析的方法，把几个对汽车保有量影响较大的因素考虑进去，对 2010 年的私人车保有量进行了预测，得出 2010 年该地区私家车保有量为 185.85 万辆。问题二：我们将每辆车每公里废气排放量、年度排污限定量作为主要考虑因素，运用一元回归预测某确定年份的公交车需求量，在确保公交车的基本需求后，再对私家车保有量进行调控。通过研究我们发现，减少每辆车每公里废气排放量，能够有效提高私家车环境饱和量。关键词：灰色关联度回归分析预测私人汽车调控 - 1 -

一、问题重述我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间，在 2006 年，中国已经成为仅次于美国的全球第二大新车市场。据世界银行的研究，汽车保有量 (尤其是私人汽车)与人均国民收入成正比，随着中国人均 GDP 的稳健增长，我国的家用汽车销量以两位数的增速急剧扩大，然而当我们快速迈进以私人汽车为主体的汽车社会的时候，也面临着新的考验，除了能源紧缺、燃油价格上涨、土地资源有限等诸多不利因素对汽车发展带来巨大的压力外，环境污染也对汽车工业的发展提出了严格的要求。据有关资料介绍，在城市交通中，小汽车与公共汽车相比，单位小汽车排放的污染物比公共汽车高 9 倍。如果对这种快速增长不从战略的高度加以科学引导和调整，汽车的迅猛增长将不再单纯体现经济建设成就，巨大的负面效应也将成为社会发展的阻碍因素，这不得不使得汽车保有量的研究和预测在经济发展中显得尤为重要。基于以上背景我们需研究下述问题： 1、根据附表中的相关数据建立数学模型，分析影响该地区私人汽车保有量的因素，并预测到 2010 年该地区私人汽车保有量有多少？ 2、假设私人汽车的年运行公里数是公交车年运行公里数的五分之一。按照汽车废气国 III 排放标准（欧 III）（要求 CO 排放量每公里不超过 2.3 克，HC+NOX 排放量每公里不超过 0.56 克，PM 排放量每公里不超过 0.05 克）, 如何根据该地区的汽车废气的排放情况，来调控公交车和私人汽车保有量？二、问题分析 2.1 问题一：根据经济发展规律，汽车保有量与经济发展程度、居民收入以及道路建设等有着密切的联系，结合附表中数据，要对汽车保有量经行预测，就需建立其与该地区全社会固定资产总额、人均国内生产总值、道路总公里数等因素之间的量化关系，并通过对这些数据的预测，来获取汽车保有量的预测值。 2.1.1 模型假设： a.该地区历年统计数据准确合理； b.在数据统计年限里给地区经济没有很大波动，所得数据均为正常发展结果； c.假设根据变量的已知数据所得的2010年的预测数据可靠有效，能准确反映重要变量的变化； 2.1.2 符号定义与说明： 0X :私人汽车保有量(万辆)； 1X ：人均国内生产总值(元)； 2X ：全社会消费品零售总额(亿元)； - 2 -

3X ：全社会固定资产投资总额(亿元)； 4X ：运营公交车辆数（辆）； 5X ：公交营运总数(亿人次)； 6X ：城市交通干线噪音均值(分贝)； 7X ：公交车营运总里程(万公里)； 8X ：道路总长(公里)； 9X ：居民人均可支配收入（元）； 10X ：居民储蓄款余额(亿元)； 11X ：汽油(93 号)年均价 (元/升)； t：时间年份； y：私人汽车保有量； 2.1.3 模型建立：此问题的关键在于如何有效建立私人汽车保有量与各数据间的量化关系，并利用它做进一步预测。经过对题目给出的十二组数据的分析，我们发现可以用灰色关联度来刻画和分析私人汽车保有量与其影响因素之间的关联程度，并将这些影响因素依据关联程度的大小进行排名，然后选取与私人汽车关联度大的因素作为主因素，利用回归分析的方法，建立起主因素与私人汽车保有量之间的量化关系，再利用时间序列的方法，通过对这些主因素进行预测，得到私人汽车 2010 年的预测量。 2.1.4 模型求解： 1，关联度的求解： (1). 设因变量 0X 构成参考序列 , 这 1n+ 个序列构成一个矩阵 ( 0X , 1X ,… , nX )；为 ( Y Y 0 1 , , (2).变量序列的无量纲化，对数据进行 Z 标准化处理消除量纲，无量纲矩阵 , ⋯ ； Y n ) 其中： − xxky − )( i σ = i (3).求关联度系数：； i=0，1，2，…，n - 3 -

min s k )( ξ i = − )( min s t kxkx )( i 0 txtx )( 0 )( − + + ρ max s ρ min s max t txtx )( s 0 )( − max t txtx )( s 0 )( − , )1( 为比较数列 iX 对参考数列 0X 在 k 时刻的关联系数，其中 [ ]1,0∈ρ ，为系数。称(1)式中 min s min t txtx )( s 0 )( − , ρ min s max t txtx )( s 0 )( − 分别为两级最小差及两级最大差；一般来讲分辨系数 ρ越大，分辨率越大，本文中取 ρ=0.5； (4)求关联度： r i = ir为数列 ix对参考数列 0x 的关联度。 (5).数据分析： n 1 ∑ n k = 1 ξ i k )( ; 我们取某地区的私家车保有量序列为参考目标序列 0X （单位万辆），将 1X ， 2X ，… 11X 等11个指标的时间序列作为比较序列，按上述方法计算得各因素的灰色关联度及各影响因素的排名，结果如表(1)，表(1) 1r 2r 3r 4r 5r 6r 7r 8r 9r 10r 11r 关联度 0.7717 0.7853 0.7060 0.8329 0.8638 0.5129 0.8310 0.7359 0.7056 0.7601 0.8227 排名 6 5 9 2 1 11 3 8 10 7 4 由上表可知，汽车保有量与各因素因子之间的关联度及其由大到小的排名顺序，依次为公交运营总数、运营公交车辆数、公交车营运总里程、汽油（93号）年均价、全社会消费品零售总额、人均国内生产总值、居民储蓄款余额、道路总长、全社会规定资产投资总额、居民人均可支配收入、城市交通干线噪音均值。可以看出公交车运营总数、公交车数量等十个因素对私人汽车保有影响显著，而城市交 - 4 -

通干线噪音均值对私人汽车保有量影响甚小。影响因素排名前三的公交运营总数、运营公交车辆数、公交车营运总里程都于公交有关，当今时代生活节奏明显加快，在城市交通资源匮乏问题日益突出, 公共交通和轨道交通短期内难以得到快速改善以及交通需求量飞速上升的情况下, 使得私家车需求日益显著[2]。 2.汽车保有量的预测： (1).时间序列模型：为了将数据标准化，将年份1996-2008简化为1-13的时间序列，然后将其与各年对应的私人汽车保有量数据输入 SPSS，画出散点图(如图1)，根据图形变化趋势，可以用三次曲线来对私人汽车保有量与时间进行拟合，并利用 SPSS 将其实现，得到关系式： y =0.106t 3 − 0.708 +1.206 +3.407 t 2 t ; (1) 利用 SPSS 的绘图功能，将所得函数曲线绘出(如图1)，可以发现拟合值与实际值之间吻合很好，说明模型较为理想，并由此得到该地区私人汽车保有量在2010年的预测值为220.41(万辆)；图1 (2).多元回归模型: 利用时间序列模型建立的时间和私人汽车之间量化关系较为理想，但它并未能体现出各主因素与私人汽车保有量之间的关系，为了更好地评价模型效果，并对其进行优化，可以用多元回归分析方法另建一模型，将其与时间序列模型进行比较。因为公交运营总数、运营公交车辆数、公交车营运总里程都于公交，相似程度高，我们选取公交营运总数作为代表，如此选择了七个影响因素，并按表2对其重新 - 5 -

进行定义说明。运用多元回归模型，将关联度分析中确定的各主因素数据输入 SPSS，经标准化处理后，用线性关系来拟合各主元素与私人汽车保有量之间的关系，得到： y =0.4020x +0.4541 1 x 2 − 0.5 x 3 − 1.0259 +0.8248 +1.0398 x 4 x 5 x 6 − 0.3084 x 7 ; (2) 表2 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 居民储蓄款余额全社会消全社会固费品零售定资产投道路总长总额资总额公交营运人均国内汽油(93 号) 总数生产总值年均价 140 120 100 80 60 40 20 0 -20 0 y 2 4 6 8 10 12 14 t 图2 (注：o—实际值，+—预测值) 将各年份主因素数据带入公式(2)，得到预测值，再在 MATLAB 中绘出各年份预测值和实际值，如图(2)，发现拟合程度较好，并且年份越往后，拟合程度越好； (3).模型比较分析：上面已经建立了两种有关私人汽车保有量预测的模型，需要对这两种模型进行综合分析比较，其中，利用两种模型在各年份所得预测值与实际值之间的相对误差如表(3)，表3 年份实际值 1 2 3.1 3.6 多元回归分析时间序列分析预测值 2.36 5.17 相对误差(%) 0.240 0.435 - 6 - 预测值 4.01 3.84 相对误差(%) 0.294 0.066

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