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最大lyapunov求法(woLf.pdf

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P h y s i c a 1 6 D ( 1 9 8 5 ) 2 8 5 - 3 1 7 N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r d a m D E T E R M I N I N G L Y A P U N O V E X P O N E N T S F R O M A T I M E S E R I E S A l a n W O L F ~ - , J a c k B . S W I F T , H a r r y L . S W I N N E Y a n d J o h n A . V A S T A N O D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f T e x a s , A u s t i n , T e x a s 7 8 7 1 2 , U S A R e c e i v e d 1 8 O c t o b e r 1 9 8 4 W e p r e s e n t t h e f i r s t a l g o r i t h m s t h a t a l l o w t h e e s t i m a t i o n o f n o n - n e g a t i v e L y a p u n o v e x p o n e n t s f r o m a n e x p e r i m e n t a l t i m e s e r i e s . L y a p u n o v e x p o n e n t s , w h i c h p r o v i d e a q u a l i t a t i v e a n d q u a n t i t a t i v e c h a r a c t e r i z a t i o n o f d y n a m i c a l b e h a v i o r , a r e r e l a t e d t o t h e e x p o n e n t i a l l y f a s t d i v e r g e n c e o r c o n v e r g e n c e o f n e a r b y o r b i t s i n p h a s e s p a c e . A s y s t e m w i t h o n e o r m o r e p o s i t i v e L y a p u n o v e x p o n e n t s i s d e f i n e d t o b e c h a o t i c . O u r m e t h o d i s r o o t e d c o n c e p t u a l l y i n a p r e v i o u s l y d e v e l o p e d t e c h n i q u e t h a t c o u l d o n l y b e a p p l i e d t o a n a l y t i c a l l y d e f i n e d m o d e l s y s t e m s : w e m o n i t o r t h e l o n g - t e r m g r o w t h r a t e o f s m a l l v o l u m e e l e m e n t s i n a n a t t r a c t o r . T h e m e t h o d i s t e s t e d o n m o d e l s y s t e m s w i t h k n o w n L y a p u n o v s p e c t r a , a n d a p p l i e d t o d a t a f o r t h e B e l o u s o v - Z h a b o t i n s k i i r e a c t i o n a n d C o u e t t e - T a y l o r f l o w . C o n t e n t s 1 . I n t r o d u c t i o n 2 . T h e L y a p u n o v s p e c t r u m d e f i n e d 3 . C a l c u l a t i o n o f L y a p u n o v s p e c t r a f r o m d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 4 . A n a p p r o a c h t o s p e c t r a l e s t i m a t i o n f o r e x p e r i m e n t a l d a t a 5 . S p e c t r a l a l g o r i t h m i m p l e m e n t a t i o n * 6 . I m p l e m e n t a t i o n d e t a i l s * 7 . D a t a r e q u i r e m e n t s a n d n o i s e * 8 . R e s u l t s 9 . C o n c l u s i o n s A p p e n d i c e s * A . L y a p u n o v s p e c t r u m p r o g r a m f o r s y s t e m s o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s B . F i x e d e v o l u t i o n t i m e p r o g r a m f o r ~ ' 1 1 . I n t r o d u c t i o n C o n v i n c i n g e v i d e n c e f o r d e t e r m i n i s t i c c h a o s h a s c o m e f r o m a v a r i e t y o f r e c e n t e x p e r i m e n t s 1 - 6 o n d i s s i p a t i v e n o n l i n e a r s y s t e m s ; t h e r e f o r e , t h e q u e s t i o n o f d e t e c t i n g a n d q u a n t i f y i n g c h a o s h a s b e c o m e a n i m p o r t a n t o n e . H e r e w e c o n s i d e r t h e s p e c t r u m o f L y a p u n o v e x p o n e n t s 7 - 1 0 , w h i c h h a s p r o v e n t o b e t h e m o s t u s e f u l d y n a m i c a l d i - a g n o s t i c f o r c h a o t i c s y s t e m s . L y a p u n o v e x p o n e n t s a r e t h e a v e r a g e e x p o n e n t i a l r a t e s o f d i v e r g e n c e o r t P r e s e n t a d d r e s s : T h e C o o p e r U n i o n , S c h o o l o f E n g i n e e r i n g , N . Y . , N Y 1 0 0 0 3 , U S A . * T h e r e a d e r m a y w i s h t o s k i p t h e s t a r r e d s e c t i o n s a t a f i r s t r e a d i n g . c o n v e r g e n c e o f n e a r b y o r b i t s i n p h a s e s p a c e . S i n c e n e a r b y o r b i t s c o r r e s p o n d t o n e a r l y i d e n t i c a l s t a t e s , e x p o n e n t i a l o r b i t a l d i v e r g e n c e m e a n s t h a t s y s t e m s w h o s e i n i t i a l d i f f e r e n c e s w e m a y n o t b e a b l e t o r e s o l v e w i l l s o o n b e h a v e q u i t e d i f f e r e n t l y - p r e d i c - t i v e a b i l i t y i s r a p i d l y l o s t . A n y s y s t e m c o n t a i n i n g a t l e a s t o n e p o s i t i v e L y a p u n o v e x p o n e n t i s d e f i n e d t o b e c h a o t i c , w i t h t h e m a g n i t u d e o f t h e e x p o n e n t r e f l e c t i n g t h e t i m e s c a l e o n w h i c h s y s t e m d y n a m i c s b e c o m e u n p r e d i c t a b l e 1 0 . F o r s y s t e m s w h o s e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e e x - p l i c i t l y k n o w n t h e r e i s a s t r a i g h t f o r w a r d t e c h n i q u e 8 , 9 f o r c o m p u t i n g a c o m p l e t e L y a p u n o v s p e c - t r u m . T h i s m e t h o d c a n n o t b e a p p l i e d d i r e c t l y t o e x p e r i m e n t a l d a t a f o r r e a s o n s t h a t w i l l b e d i s - c u s s e d l a t e r . W e w i l l d e s c r i b e a t e c h n i q u e w h i c h f o r t h e f i r s t t i m e y i e l d s e s t i m a t e s o f t h e n o n - n e g a - t i v e L y a p u n o v e x p o n e n t s f r o m f i n i t e a m o u n t s o f e x p e r i m e n t a l d a t a . A l e s s g e n e r a l p r o c e d u r e 6 , 1 1 - 1 4 f o r e s t i m a t - i n g o n l y t h e d o m i n a n t L y a p u n o v e x p o n e n t i n e x - p e r i m e n t a l s y s t e m s h a s b e e n u s e d f o r s o m e t i m e . T h i s t e c h n i q u e i s l i m i t e d t o s y s t e m s w h e r e a w e l l - d e f i n e d o n e - d i m e n s i o n a l ( l - D ) m a p c a n b e r e - c o v e r e d . T h e t e c h n i q u e i s n u m e r i c a l l y u n s t a b l e a n d t h e l i t e r a t u r e c o n t a i n s s e v e r a l e x a m p l e s o f i t s i m p r o p e r a p p l i c a t i o n t o e x p e r i m e n t a l d a t a . A d i s - c u s s i o n o f t h e 1 - D m a p c a l c u l a t i o n m a y b e f o u n d 0 1 6 7 - 2 7 8 9 / 8 5 / $ 0 3 . 3 0 © E l s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h e r s ( N o r t h - H 0 1 ! a n d P h y s i c s P u b l i s h i n g D i v i s i o n )
2 8 6 A . W o l f e t a l . / D e t e r m i n i n g L y a p u n o v e x p o n e n t s f r o m a t i m e s e r i e s i n r e f . 1 3 . I n r e f . 2 w e p r e s e n t e d a n u n u s u a l l y r o b u s t 1 - D m a p e x p o n e n t c a l c u l a t i o n f o r e x p e r i - m e n t a l d a t a o b t a i n e d f r o m a c h e m i c a l r e a c t i o n . E x p e r i m e n t a l d a t a i n e v i t a b l y c o n t a i n e x t e r n a l n o i s e d u e t o e n v i r o n m e n t a l f l u c t u a t i o n s a n d l i m i t e d e x p e r i m e n t a l r e s o l u t i o n . I n t h e l i m i t o f a n i n f i n i t e a m o u n t o f n o i s e - f r e e d a t a o u r a p p r o a c h w o u l d y i e l d L y a p u n o v e x p o n e n t s b y d e f i n i t i o n . O u r a b i l - i t y t o o b t a i n g o o d s p e c t r a l e s t i m a t e s f r o m e x p e r i - m e n t a l d a t a d e p e n d s o n t h e q u a n t i t y a n d q u a l i t y o f t h e d a t a a s w e l l a s o n t h e c o m p l e x i t y o f t h e d y n a m i c a l s y s t e m . W e h a v e t e s t e d o u r m e t h o d o n m o d e l d y n a m i c a l s y s t e m s w i t h k n o w n s p e c t r a a n d a p p l i e d i t t o e x p e r i m e n t a l d a t a f o r c h e m i c a l 2 , 1 3 a n d h y d r o d y n a m i c 3 s t r a n g e a t t r a c t o r s . A l t h o u g h t h e w o r k o f c h a r a c t e r i z i n g c h a o t i c d a t a i s s t i l l i n i t s i n f a n c y , t h e r e h a v e b e e n m a n y a p - p r o a c h e s t o q u a n t i f y i n g c h a o s , e . g . , f r a c t a l p o w e r s p e c t r a 1 5 , e n t r o p y 1 6 - 1 8 , 3 , a n d f r a c t a l d i m e n - s i o n p r o p o s e d i n r e f . 1 9 , u s e d i n r e f . 3 - 5 , 2 0 , 2 1 . W e h a v e t e s t e d m a n y o f t h e s e a l g o r i t h m s o n b o t h m o d e l a n d e x p e r i m e n t a l d a t a , a n d d e s p i t e t h e c l a i m s o f t h e i r p r o p o n e n t s w e h a v e f o u n d t h a t t h e s e a p p r o a c h e s o f t e n f a i l t o c h a r a c t e r i z e c h a o t i c d a t a . I n p a r t i c u l a r , p a r a m e t e r i n d e p e n d e n c e , t h e a m o u n t o f d a t a r e q u i r e d , a n d t h e s t a b i l i t y o f r e - s u i t s w i t h r e s p e c t t o e x t e r n a l n o i s e h a v e r a r e l y b e e n e x a m i n e d t h o r o u g h l y . T h e s p e c t r u m o f L y a p u n o v e x p o n e n t s w i l l b e d e f i n e d a n d d i s c u s s e d i n s e c t i o n 2 . T h i s s e c t i o n i n c l u d e s t a b l e I w h i c h s u m m a r i z e s t h e m o d e l s y s - t e m s t h a t a r e u s e d i n t h i s p a p e r . S e c t i o n 3 i s a r e v i e w o f t h e c a l c u l a t i o n o f t h e c o m p l e t e s p e c t r u m o f e x p o n e n t s f o r s y s t e m s i n w h i c h t h e d e f i n i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e k n o w n . A p p e n d i x A c o n - t a i n s F o r t r a n c o d e f o r t h i s c a l c u l a t i o n , w h i c h t o o u r k n o w l e d g e h a s n o t b e e n p u b l i s h e d e l s e w h e r e . I n s e c t i o n 4 , a n o u t l i n e o f o u r a p p r o a c h t o e s t i m a t - i n g t h e n o n - n e g a t i v e p o r t i o n o f t h e L y a p u n o v e x p o n e n t s p e c t r u m i s p r e s e n t e d . I n s e c t i o n 5 w e d e s c r i b e t h e a l g o r i t h m s f o r e s t i m a t i n g t h e t w o l a r g e s t e x p o n e n t s . A F o r t r a n p r o g r a m f o r d e - t e r m i n i n g t h e l a r g e s t e x p o n e n t i s c o n t a i n e d i n a p p e n d i x B . O u r a l g o r i t h m r e q u i r e s i n p u t p a r a m e - t e r s w h o s e s e l e c t i o n i s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 6 . S e c - t i o n 7 c o n c e r n s s o u r c e s o f e r r o r i n t h e c a l c u l a t i o n s a n d t h e q u a l i t y a n d q u a n t i t y o f d a t a r e q u i r e d f o r a c c u r a t e e x p o n e n t e s t i m a t i o n . O u r m e t h o d i s a p - p l i e d t o m o d e l s y s t e m s a n d e x p e r i m e n t a l d a t a i n s e c t i o n 8 , a n d t h e c o n c l u s i o n s a r e g i v e n i n s e c t i o n 9 . 2 . T h e L y a p u n o v s p e c t r u m d e f i n e d W e n o w d e f i n e 8 , 9 t h e s p e c t r u m o f L y a p u n o v e x p o n e n t s i n t h e m a n n e r m o s t r e l e v a n t t o s p e c t r a l c a l c u l a t i o n s . G i v e n a c o n t i n u o u s d y n a m i c a l s y s - t e m i n a n n - d i m e n s i o n a l p h a s e s p a c e , w e m o n i t o r t h e l o n g - t e r m e v o l u t i o n o f a n i n f i n i t e s i m a l n - s p h e r e o f i n i t i a l c o n d i t i o n s ; t h e s p h e r e w i l l b e c o m e a n n - e l l i p s o i d d u e t o t h e l o c a l l y d e f o r m i n g n a t u r e o f t h e f l o w . T h e i t h o n e - d i m e n s i o n a l L y a p u n o v e x p o - n e n t i s t h e n d e f i n e d i n t e r m s o f t h e l e n g t h o f t h e e l l i p s o i d a l p r i n c i p a l a x i s p i ( t ) : h ~ = l i m 1 l o g 2 p c ( t ) t - - , o o t p c ( O ) ' ( 1 ) w h e r e t h e ) h a r e o r d e r e d f r o m l a r g e s t t o s m a l l e s t t . T h u s t h e L y a p u n o v e x p o n e n t s a r e r e l a t e d t o t h e e x p a n d i n g o r c o n t r a c t i n g n a t u r e o f d i f f e r e n t d i r e c - t i o n s i n p h a s e s p a c e . S i n c e t h e o r i e n t a t i o n o f t h e e l l i p s o i d c h a n g e s c o n t i n u o u s l y a s i t e v o l v e s , t h e d i r e c t i o n s a s s o c i a t e d w i t h a g i v e n e x p o n e n t v a r y i n a c o m p l i c a t e d w a y t h r o u g h t h e a t t r a c t o r . O n e c a n - n o t , t h e r e f o r e , s p e a k o f a w e l l - d e f i n e d d i r e c t i o n a s s o c i a t e d w i t h a g i v e n e x p o n e n t . N o t i c e t h a t t h e l i n e a r e x t e n t o f t h e e l l i p s o i d g r o w s a s 2 h t t , t h e a r e a d e f i n e d b y t h e f i r s t t w o p r i n c i p a l a x e s g r o w s a s 2 ( x ~ * x 2 ) t , t h e v o l u m e d e - f i n e d b y t h e f i r s t t h r e e p r i n c i p a l a x e s g r o w s a s 2 ( x ' + x 2 + x ~ ) t , a n d s o o n . T h i s p r o p e r t y y i e l d s a n o t h e r d e f i n i t i o n o f t h e s p e c t r u m o f e x p o n e n t s : t W h i l e t h e e x i s t e n c e o f t h i s l i m i t h a s b e e n q u e s t i o n e d 8 , 9 , 2 2 , t h e f a c t i s t h a t t h e o r b i t a l d i v e r g e n c e o f a n y d a t a s e t m a y b e q u a n t i f i e d . E v e n i f t h e l i m i t d o e s n o t e x i s t f o r t h e u n d e r l y i n g s y s t e m , o r c a n n o t b e a p p r o a c h e d d u e t o h a v i n g f i n i t e a m o u n t s o f n o i s y d a t a , L y a p u n o v e x p o n e n t e s t i m a t e s c o u l d s t i l l p r o v i d e a u s e f u l c h a r a c t e r i z a t i o n o f a g i v e n d a t a s e t . ( S e e s e c t i o n 7 . 1 . )
A . W o l f e t a L / D e t e r m i n i n g L y a p u n o v e x p o n e n t s f r o m a t i m e s e r i e s 2 8 7 t h e s u m o f t h e f i r s t j e x p o n e n t s i s d e f i n e d b y t h e l o n g t e r m e x p o n e n t i a l g r o w t h r a t e o f a j - v o l u m e e l e m e n t . T h i s a l t e r n a t e d e f i n i t i o n w i l l p r o v i d e t h e b a s i s o f o u r s p e c t r a l t e c h n i q u e f o r e x p e r i m e n t a l d a t a . A n y c o n t i n u o u s t i m e - d e p e n d e n t d y n a m i c a l s y s - t e m w i t h o u t a f i x e d p o i n t w i l l h a v e a t l e a s t o n e z e r o e x p o n e n t 2 2 , c o r r e s p o n d i n g t o t h e s l o w l y c h a n g i n g m a g n i t u d e o f a p r i n c i p a l a x i s t a n g e n t t o t h e f l o w . A x e s t h a t a r e o n t h e a v e r a g e e x p a n d i n g ( c o n t r a c t i n g ) c o r r e s p o n d t o p o s i t i v e ( n e g a t i v e ) e x - p o n e n t s . T h e s u m o f t h e L y a p u n o v e x p o n e n t s i s t h e t i m e - a v e r a g e d d i v e r g e n c e o f t h e p h a s e s p a c e v e l o c i t y ; h e n c e a n y d i s s i p a t i v e d y n a m i c a l s y s t e m w i l l h a v e a t l e a s t o n e n e g a t i v e e x p o n e n t , t h e s u m o f a l l o f t h e e x p o n e n t s i s n e g a t i v e , a n d t h e p o s t - t r a n s i e n t m o t i o n o f t r a j e c t o r i e s w i l l o c c u r o n a z e r o v o l u m e l i m i t s e t , a n a t t r a c t o r . T h e e x p o n e n t i a l e x p a n s i o n i n d i c a t e d b y a p o s i - t i v e L y a p u n o v e x p o n e n t i s i n c o m p a t i b l e w i t h m o - t i o n o n a b o u n d e d a t t r a c t o r u n l e s s s o m e s o r t o f f o l d i n g p r o c e s s m e r g e s w i d e l y s e p a r a t e d t r a j e c t o - r i e s . E a c h p o s i t i v e e x p o n e n t r e f l e c t s a " d i r e c t i o n " i n w h i c h t h e s y s t e m e x p e r i e n c e s t h e r e p e a t e d s t r e t c h i n g a n d f o l d i n g t h a t d e c o r r e l a t e s n e a r b y s t a t e s o n t h e a t t r a c t o r . T h e r e f o r e , t h e l o n g - t e r m b e h a v i o r o f a n i n i t i a l c o n d i t i o n t h a t i s s p e c i f i e d w i t h a n y u n c e r t a i n t y c a n n o t b e p r e d i c t e d ; t h i s i s c h a o s . A n a t t r a c t o r f o r a d i s s i p a t i V e s y s t e m w i t h o n e o r m o r e p o s i t i v e L y a p u n o v e x p o n e n t s i s s a i d t o b e " s t r a n g e " o r " c h a o t i c " . T h e s i g n s o f t h e L y a p u n o v e x p o n e n t s p r o v i d e a q u a l i t a t i v e p i c t u r e o f a s y s t e m ' s d y n a m i c s . O n e - d i m e n s i o n a l m a p s a r e c h a r a c t e r i z e d b y a s i n g l e L y a p u n o v e x p o n e n t w h i c h i s p o s i t i v e f o r c h a o s , z e r o f o r a m a r g i n a l l y s t a b l e o r b i t , a n d n e g a t i v e f o r a p e r i o d i c o r b i t . I n a t h r e e - d i m e n s i o n a l c o n t i n u o u s d i s s i p a t i v e d y n a m i c a l s y s t e m t h e o n l y p o s s i b l e s p e c t r a , a n d t h e a t t r a c t o r s t h e y d e s c r i b e , a r e a s f o l l o w s : ( + , 0 , - ) , a s t r a n g e a t t r a c t o r ; ( 0 , 0 , - ) , a t w o - t o m s ; ( 0 , - , - ) , a l i m i t c y c l e ; a n d ( - , - , - ) , a f i x e d p o i n t . F i g . 1 i l l u s t r a t e s t h e e x p a n d i n g , " s l o w e r t h a n e x p o n e n t i a l , " a n d c o n t r a c t i n g c h a r - a c t e r o f t h e f l o w f o r a t h r e e , d i m e n s i o n a l s y s t e m , t h e L o r e n z m o d e l 2 3 . ( A l l o f t h e m o d e l s y s t e m s t h a t w e w i l l d i s c u s s a r e d e f i n e d i n t a b l e I . ) S i n c e L y a p u n o v e x p o n e n t s i n v o l v e l o n g - t i m e a v e r a g e d b e h a v i o r , t h e s h o r t s e g m e n t s o f t h e t r a j e c t o r i e s s h o w n i n t h e f i g u r e c a n n o t b e e x p e c t e d t o a c c u - r a t e l y c h a r a c t e r i z e t h e p o s i t i v e , z e r o , a n d n e g a t i v e e x p o n e n t s ; n e v e r t h e l e s s , t h e t h r e e d i s t i n c t t y p e s o f b e h a v i o r a r e c l e a r . I n a c o n t i n u o u s f o u r - d i m e n - s i o n a l d i s s i p a t i v e s y s t e m t h e r e a r e t h r e e p o s s i b l e t y p e s o f s t r a n g e a t t r a c t o r s : t h e i r L y a p u n o v s p e c t r a a r e ( + , + , 0 , - ) , ( + , 0 , 0 , - ) , a n d ( + , 0 , - , - ) . A n e x a m p l e o f t h e f i r s t t y p e i s R o s s l e r ' s h y p e r - c h a o s a t t r a c t o r 2 4 ( s e e t a b l e I ) . F o r a g i v e n s y s t e m a c h a n g e i n p a r a m e t e r s w i l l g e n e r a l l y c h a n g e t h e L y a p u n o v s p e c t r u m a n d m a y a l s o c h a n g e b o t h t h e t y p e o f s p e c t r u m a n d t y p e o f a t t r a c t o r . T h e m a g n i t u d e s o f t h e L y a p u n o v e x p o n e n t s q u a n t i f y a n a t t r a c t o r ' s d y n a m i c s i n i n f o r m a t i o n t h e o r e t i c t e r m s . T h e e x p o n e n t s m e a s u r e t h e r a t e a t w h i c h s y s t e m p r o c e s s e s c r e a t e o r d e s t r o y i n f o r m a - t i o n 1 0 ; t h u s t h e e x p o n e n t s a r e e x p r e s s e d i n b i t s o f i n f o r m a t i o n / s o r b i t s / o r b i t f o r a c o n t i n u o u s s y s t e m a n d b i t s / i t e r a t i o n f o r a d i s c r e t e s y s t e m . F o r e x a m p l e , i n t h e L o r e n z a t t r a c t o r t h e p o s i t i v e e x p o n e n t h a s a m a g n i t u d e o f 2 . 1 6 b i t s / s ( f o r t h e p a r a m e t e r v a l u e s s h o w n i n t a b l e I ) . H e n c e i f a n i n i t i a l p o i n t w e r e s p e c i f i e d w i t h a n a c c u r a c y o f o n e p a r t p e r m i l l i o n ( 2 0 b i t s ) , t h e f u t u r e b e h a v i o r c o u l d n o t b e p r e d i c t e d a f t e r a b o u t 9 s 2 0 b i t s / ( 2 . 1 6 b i t s / s ) , c o r r e s p o n d i n g t o a b o u t 2 0 o r b i t s . A f t e r t h i s t i m e t h e s m a l l i n i t i a l u n c e r t a i n t y w i l l e s s e n - t i a l l y c o v e r t h e e n t i r e a t t r a c t o r , r e f l e c t i n g 2 0 b i t s o f n e w i n f o r m a t i o n t h a t c a n b e g a i n e d f r o m a n a d : d i t i o n a l m e a s u r e m e n t o f t h e s y s t e m . T h i s n e w i n f o r m a t i o n a r i s e s f r o m s c a l e s s m a l l e r t h a n o u r i n i t i a l u n c e r t a i n t y a n d r e s u l t s i n a n i n a b i l i t y t o s p e c i f y t h e s t a t e o f t h e s y s t e m e x c e p t t o s a y t h a t i t i s s o m e w h e r e o n t h e a t t r a c t o r . T h i s p r o c e s s i s s o m e t i m e s c a l l e d a n i n f o r m a t i o n g a i n - r e f l e c t i n g n e w i n f o r m a t i o n f r o m t h e h e a t b a t h , a n d s o m e - t i m e s i s c a l l e d a n i n f o r m a t i o n l o s s - b i t s s h i f t e d o u t o f a p h a s e s p a c e v a r i a b l e " r e g i s t e r " w h e n b i t s f r o m t h e h e a t b a t h a r e s h i f t e d i n . T h e a v e r a g e r a t e a t w h i c h i n f o r m a t i o n c o n - t a i n e d i n t r a n s i e n t s i s l o s t c a n b e d e t e r m i n e d f r o m
2 8 8 A . W o l f e t a l . / D e t e r m i n i n g L y a p u n o v e x p o n e n t s f r o m a t i m e s e r i e s • ° • o • ° ° ° . ° • ° • ° ° • • " . . t " . " : . . . . " . • . • . • . . - . . . . . . . " • . . . . . . , : . ~ " ' . • ' . • . . . . . . . , - - . : - : . : : - : . . . . . . . . . • . • . , : ' . . ~ . . - - . . : ~ : : . - . : . . : ' . . : . . : . . . . . . , ~ . , . : . . : ' . . " • - . . . • . . s t a r t • . ' ~ " . " . - • " " " : ' " : " : : " ' " N ~ " ~ " " " ~ ' " " " " " • " . ' : ' : " ' ( ( , ~ ' . " ~ , m ~ " " " : ' " ' " ' " " . • - ' . : . . " " % V 4 " ; ' : ' " " ' - " . ' . . . " . . . . ~ " . • - . . , . . : / ~ . • : • . . . . " . . . . . . . . . . . . . i I I I I I l l l l t i m e - ~ • • • • • . . ° • . ° . ° ° • • - . . o , - : . . . - . . • . • • . . . . . . . , : , , . : : . " . • . • . ( b ) . . . ' , . < ' . " ~ : : . : . ' : . . " . . . " - . . , . . . ~ . ' ~ : ' - : , ~ : . . ~ " r . . : - : • . ~ . . . . . . : ' ~ . ? ' - , ' , ; ~ " x - ~ i l ~ I - " . . . " " ~ , ~ ' . : ~ ' ~ " , - ~ , ~ ' ~ x x x ~ . ~ ' - . ' . • . : • " : : : , . ! . . . " : " " " - . . . - • " • " . " : : : , . f , ~ , _ , , , ~ . ~ - , . - , , . , . - . . . : . . . . . . • $ : L ~ . . . . . ~ - " ~ . ' . . . _ _ ' • • . ~ . . . . : - . : . . . " . . . . : : . : . . ; : • • . - ' . ~ . . . ~ . ; . ; . , . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . , " " . : , v ' : . : ~ . : " " ~ . ' . " ' " . . . . . " " : ~ s t a r t l , , m , , , , l , , , , , l l l i , , l l l l i , , d l l t i m e - - ~ • . . . - . - . . . . . : ; . . - - - - ~ . . - : . . • . . . ; ; . ~ . . . . . ~ . : : . . . . . . . . . . . s , , , , ~ . ~ , . ~ ; , . . ' : . . : : . ~ : " ~ - : . v • : ' " " , ' , . . . : ~ . ' . - 2 ~ ' W ~ ' " . ~ - . . . " . " . ' . . " ' : : . . . ' : " ' . : - - " " . " - : " • . , , • " • ~ , ' • • • • . • • " • . . . . . . . . . t i m e F i g . 1 . T h e s h o r t t e r m e v o l u t i o n o f t h e s e p a r a t i o n v e c t o r b e t w e e n t h r e e c a r e f u l l y c h o s e n p a i r s o f n e a r b y p o i n t s i s s h o w n f o r t h e L o r e n z a t t r a c t o r , a ) A n e x p a n d i n g d i r e c t i o n ( ~ 1 > 0 ) ; b ) a " s l o w e r t h a n e x p o n e n t i a l " d i r e c t i o n ( ~ ' 2 = 0 ) ; C ) a c o n t r a c t i n g d i r e c t i o n ( X 3 < 0 ) . t h e n e g a t i v e e x p o n e n t s • T h e a s y m p t o t i c d e c a y o f a p e r t u r b a t i o n t o t h e a t t r a c t o r i s g o v e r n e d b y t h e l e a s t n e g a t i v e e x p o n e n t , w h i c h s h o u l d t h e r e f o r e b e t h e e a s i e s t o f t h e n e g a t i v e e x p o n e n t s t o e s t i m a t e t . t W e h a v e b e e n q u i t e s u c c e s s f u l w i t h a n a l g o r i t h m f o r d e - t e r m i u i n g t h e d o m i n a n t ( s m a l l e s t m a g n i t u d e ) n e g a t i v e e x p o - n e n t f r o m p s e u d o - e x p e r i m e n t a l d a t a ( a s i n g l e t i m e s e r i e s e x - t r a c t e d f r o m t h e s o l u t i o n o f a m o d e l s y s t e m a n d t r e a t e d a s a n e x p e r i m e n t a l o b s e r v a b l e ) f o r s y s t e m s t h a t a r e n e a r l y i n t e g e r - d i m e n s i o n a l . U n f o r t u n a t e l y , o u r a p p r o a c h , w h i c h i n v o l v e s m e a - s u r i n g t h e m e a n d e c a y r a t e o f m a n y i n d u c e d p e r t u r b a t i o n s o f t h e d y n a m i c a l s y s t e m , i s u n l i k e l y t o w o r k o n m a n y e x p e r i m e n - t a l s y s t e m s . T h e r e a r e s e v e r a l f u n d a m e n t a l p r o b l e m s w i t h t h e c a l c u l a t i o n o f n e g a t i v e e x p o n e n t s f r o m e x p e r i m e n t a l d a t a , b u t F o r t h e L o r e n z a t t r a c t o r t h e n e g a t i v e e x p o n e n t i s s o l a r g e t h a t a p e r t u r b e d o r b i t t y p i c a l l y b e c o m e s i n d i s t i n g u i s h a b l e f r o m t h e a t t r a c t o r , b y " e y e " , i n l e s s t h a n o n e m e a n o r b i t a l p e r i o d ( s e e f i g . 1 ) . o f g r e a t e s t i m p o r t a n c e i s t h a t p o s t - t r a n s i e n t d a t a m a y n o t c o n t a i n r e s o l v a b l e n e g a t i v e e x p o n e n t i n f o r m a t i o n a n d p e r - t u r b e d d a t a m u s t r e f l ~ t p r o p e r t i e s o f t h e u n p e r t u r b e d s y s t e m , t h a t i s , p e r t u r b a t i o n s m u s t o n l y c h a n g e t h e s t a t e o f t h e s y s t e m ( c u r r e n t v a l u e s o f t h e d y n a m i c a l v a r i a b l e s ) . T h e r e s p o n s e o f a p h y s i c a l s y s t e m t o a n o n - d e l t a f u n c t i o n p e r t u r b a t i o n i s d i f f i c u l t t o i n t e r p r e t , a s a n o r b i t s e p a r a t i n g f r o m t h e a t t r a c t o r m a y r e f l e c t e i t h e r a l o c a l l y r e p e l l i n g r e g i o n o f t h e a t t r a c t o r ( a p o s i t i v e c o n t r i b u t i o n t o t h e n e g a t i v e e x p o n e n t ) o r t h e f i n i t e r i s e t i m e o f t h e p e r t u r b a t i o n .
A . W o l f e t a l . / D e t e r m i n i n g L y a p u n o v e x p o n e n t s f r o m a t i m e s e r i e s 2 8 9 T a b l e I T h e m o d e l s y s t e m s c o n s i d e r e d i n t h i s p a p e r a n d t h e i r L y a p u n o v s p e c t r a a n d d i m e n s i o n s a s c o m p u t e d f r o m t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n L y a p u n o v L y a p u n o v S y s t e m P a r a m e t e r s p e c t r u m d i m e n s i o n * v a l u e s ( b i t s / s ) t H ~ n o n : 2 5 ~ 1 = 0 . 6 0 3 X . + 1 = 1 - a X ; . + Y n { b = 1 . 4 h 2 = - 2 . 3 4 Y . + 1 = b X . = 0 . 3 ( b i t s / i t e r . ) R o s s l e r - c h a o s : 2 6 ) ( = - ( Y + Z ) a = 0 . 1 5 ) k 1 = 0 . 1 3 ) ' = X + a Y I b = 0 . 2 0 ~ 2 = 0 . 0 0 = b + Z ( X - c ) c = 1 0 . 0 h 3 = - 1 4 . 1 L o r e n z : 2 3 ) ( = o ( Y - X ) o = 1 6 . 0 h 1 = 2 . 1 6 ~ ' = X ( R - Z ) - Y I R = 4 5 . 9 2 X 2 = 0 . 0 0 = X Y - b Z b = 4 . 0 ; k 3 = - 3 2 . 4 R o s s l e r - h y p e r c h a o s : 2 4 J r ' = - ( Y + Z ) ( a = 0 . 2 5 A t = 0 . 1 6 ) ' = X + a Y + W b = 3 . 0 X 2 = 0 . 0 3 = b + X Z | c = 0 . 0 5 h 3 = 0 . 0 0 i f " = c W - d Z k d = 0 . 5 h 4 = - 3 9 . 0 M a c k e y - G l a s s : 2 7 ( a = 0 . 2 h t = 6 . 3 0 E - 3 j ( = a X ( t + s ) - b X ( t ) / b = 0 . 1 ) ~ 2 = 2 . 6 2 E - 3 1 + X ( t + s ) c ) c = 1 0 . 0 I X 3 1 < 8 . 0 E - 6 s = 3 1 . 8 ) ' 4 = - 1 . 3 9 E - 2 1 . 2 6 2 . 0 1 2 . 0 7 3 . 0 0 5 3 . 6 4 t A m e a n o r b i t a l p e r i o d i s w e l l d e f i n e d f o r R o s s l e r c h a o s ( 6 . 0 7 s e c o n d s ) a n d f o r h y p e r c h a o s ( 5 . 1 6 s e c o n d s ) f o r t h e p a r a m e t e r v a l u e s u s e d h e r e . F o r t h e L o r e n z a t t r a c t o r a c h a r a c t e r i s t i c t i m e ( s e e f o o t n o t e - s e c t i o n 3 ) i s a b o u t 0 . 5 s e c o n d s . S p e c t r a w e r e c o m p u t e d f o r e a c h s y s t e m w i t h t h e c o d e i n a p p e n d i x A . ~ A s d e f i n e d i n e q . ( 2 ) . T h e L y a p u n o v s p e c t r u m i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e f r a c t i o n a l d i m e n s i o n o f t h e a s s o c i a t e d s t r a n g e a t - t r a c t o r . T h e r e a r e a n u m b e r 1 9 o f d i f f e r e n t f r a c - t i o n a l - d i m e n s i o n - l i k e q u a n t i t i e s , i n c l u d i n g t h e f r a c t a l d i m e n s i o n , i n f o r m a t i o n d i m e n s i o n , a n d t h e c o r r e l a t i o n e x p o n e n t ; t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m i s o f t e n s m a l l . I t h a s b e e n c o n j e c t u r e d b y K a p l a n a n d Y o r k e 2 8 , 2 9 t h a t t h e i n f o r m a t i o n d i m e n s i o n d r i s r e l a t e d t o t h e L y a p u n o v s p e c t r u m b y t h e e q u a t i o n E i - - 1 ~ i d f = J + I ? ~ j + i l ' ( 2 ) w h e r e j i s d e f i n e d b y t h e c o n d i t i o n t h a t j j + l E ) ~ i > 0 a n d E X , < O . ( 3 ) i - - 1 i - - 1 T h e c o n j e c t u r e d r e l a t i o n b e t w e e n d r ( a s t a t i c p r o p e r t y o f a n a t t r a c t i n g s e t ) a n d t h e L y a p u n o v
2 9 0 , 4 . 1 4 / o l f e t a L / D e t e r m i n i n g L y a p u n o v e x p o n e n t s f r o m a t i m e s e r i e s e x p o n e n t s a p p e a r s t o b e s a t i s f i e d f o r s o m e m o d e l s y s t e m s 3 0 . T h e c a l c u l a t i o n o f d i m e n s i o n f r o m t h i s e q u a t i o n r e q u i r e s k n o w l e d g e o f a l l b u t t h e m o s t n e g a t i v e L y a p u n o v e x p o n e n t s . 3 . C a l c u l a t i o n o f L y a p u n o v s p e c t r a f r o m d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s O u r a l g o r i t h m s f o r c o m p u t i n g a n o n - n e g a t i v e L y a p u n o v s p e c t r u m f r o m e x p e r i m e n t a l d a t a a r e i n s p i r e d b y t h e t e c h n i q u e d e v e l o p e d i n d e p e n - d e n t l y b y B e n n e t i n e t a l . 8 a n d b y S h i m a d a a n d N a g a s h i m a 9 f o r d e t e r m i n i n g a c o m p l e t e s p e c - t r u m f r o m a s e t o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . T h e r e - f o r e , w e d e s c r i b e t h e i r c a l c u l a t i o n ( f o r b r e v i t y , t h e O D E a p p r o a c h ) i n s o m e d e t a i l . W e r e c a l l t h a t L y a p u n o v e x p o n e n t s a r e d e f i n e d b y t h e l o n g - t e r m e v o l u t i o n o f t h e a x e s o f a n i n f i n i - t e s i m a l s p h e r e o f s t a t e s . T h i s p r o c e d u r e c o u l d b e i m p l e m e n t e d b y d e f i n i n g t h e p r i n c i p a l a x e s w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n s w h o s e s e p a r a t i o n s a r e a s s m a l l a s c o m p u t e r l i m i t a t i o n s a l l o w a n d e v o l v i n g t h e s e w i t h t h e n o n l i n e a r e q u a t i o n s o f m o t i o n . O n e p r o b l e m w i t h t h i s a p p r o a c h i s t h a t i n a c h a o t i c s y s t e m w e c a n n o t g u a r a n t e e t h e c o n d i t i o n o f s m a l l s e p - a r a t i o n s f o r t i m e s o n t h e o r d e r o f h u n d r e d s o f o r b i t a l p e r i o d s t , n e e d e d f o r c o n v e r g e n c e o f t h e s p e c t r u m . T h i s p r o b l e m m a y b e a v o i d e d w i t h t h e u s e o f a p h a s e s p a c e p l u s t a n g e n t s p a c e a p p r o a c h . A " f i d u - c i a l " t r a j e c t o r y ( t h e c e n t e r o f t h e s p h e r e ) i s d e f i n e d b y t h e a c t i o n o f t h e n o n l i n e a r e q u a t i o n s o f m o t i o n o n s o m e i n i t i a l c o n d i t i o n . T r a j e c t o r i e s . o f p o i n t s o n t h e s u r f a c e o f t h e s p h e r e a r e d e f i n e d b y t h e a c t i o n o f t h e l i n e a r i z e d e q u a t i o n s o f m o t i o n o n p o i n t s i n f i n i t e s i m a l l y s e p a r a t e d f r o m t h e f i d u c i a l t r a j e c - t o r y . I n p a r t i c u l a r , t h e p r i n c i p a l a x e s a r e d e f i n e d b y t h e e v o l u t i o n v i a t h e l i n e a r i z e d e q u a t i o n s o f a n i n i t i a l l y o r t h o n o r m a l v e c t o r f r a m e a n c h o r e d t o t h e f i d u c i a l t r a j e c t o r y . B y d e f i n i t i o n , p r i n c i p a l a x e s d e f i n e d b y t h e l i n e a r s y s t e m a r e a l w a y s i n f i n i t e s i m a l r e l a t i v e t o t h e a t t r a c t o r . E v e n i n t h e l i n e a r s y s t e m , p r i n c i p a l a x i s v e c t o r s d i v e r g e i n m a g n i t u d e , b u t t h i s i s a p r o b l e m o n l y b e c a u s e c o m p u t e r s h a v e a l i m i t e d d y n a m i c r a n g e f o r s t o r i n g n u m b e r s . T h i s d i v e r g e n c e i s e a s i l y c i r c u m v e n t e d . W h a t h a s b e e n a v o i d e d i s t h e s e r i o u s p r o b l e m o f p r i n c i p a l a x e s f i n d i n g t h e g l o b a l " f o l d " w h e n w e r e a l l y o n l y w a n t t h e m t o p r o b e t h e l o c a l " s t r e t c h . " T o i m p l e m e n t t h i s p r o c e d u r e t h e f i d u c i a l t r a j e c - t o r y i s c r e a t e d b y i n t e g r a t i n g t h e n o n l i n e a r e q u a - t i o n s o f m o t i o n f o r s o m e p o s t - t r a n s i e n t i n i t i a l c o n d i t i o n . S i m u l t a n e o u s l y , t h e l i n e a r i z e d e q u a - t i o n s o f m o t i o n a r e i n t e g r a t e d f o r n d i f f e r e n t i n i - t i a l c o n d i t i o n s d e f i n i n g a n a r b i t r a r i l y o r i e n t e d f r a m e o f n o r t h o n o r m a l v e c t o r s . W e h a v e a l r e a d y p o i n t e d o u t t h a t e a c h v e c t o r w i l l d i v e r g e i n m a g n i - t u d e , b u t t h e r e i s a n a d d i t i o n a l s i n g u l a r i t y - i n a c h a o t i c s y s t e m , e a c h v e c t o r t e n d s t o f a l l a l o n g t h e l o c a l d i r e c t i o n o f m o s t r a p i d g r o w t h . D u e t o t h e f i n i t e p r e c i s i o n o f c o m p u t e r c a l c u l a t i o n s , t h e c o l - l a p s e t o w a r d a c o m m o n d i r e c t i o n c a u s e s t h e t a n - g e n t s p a c e o r i e n t a t i o n o f a l l a x i s v e c t o r s t o b e c o m e i n d i s t i n g u i s h a b l e . T h e s e t w o p r o b l e m s c a n b e o v e r c o m e b y t h e r e p e a t e d u s e o f t h e G r a m - S c h m i d t r e o r t h o n o r m a l i z a t i o n ( G S R ) p r o c e d u r e o n t h e v e c t o r f r a m e : L e t t h e l i n e a r i z e d e q u a t i o n s o f m o t i o n a c t o n t h e i n i t i a l f r a m e o f o r t h o n o r m a l v e c t o r s t o g i v e a s e t o f v e c t o r s { v 1 . . . . . V n ) . ( T h e d e s i r e o f e a c h v e c t o r t o a l i g n i t s e l f a l o n g t h e ~ 1 d i r e c t i o n , a n d t h e o r i e n t a t i o n - p r e s e r v i n g p r o p e r t i e s o f G S R m e a n t h a t t h e i n i t i a l l a b e l i n g o f t h e v e c t o r s m a y b e d o n e a r b i t r a r i l y . ) T h e n G S R p r o v i d e s t h e f o l l o w i n g o r - t h o n o r m a l s e t { ~ . . . . . v , ' } : 1 D 1 v ~ = I I v , l l ' v 2 - < v 2 , ~ > ~ v ~ = t l v ~ - < v ~ , ~ > ~ l l ' t S h o u l d t h e m e a n o r b i t a l p e r i o d n o t b e w e l l - d e f i n e d , a c h a r a c t e r i s t i c t i m e c a n b e e i t h e r t h e m e a n t i m e b e t w e e n i n t e r - s e c t i o n s o f a P o i n c a r 6 s e c t i o n o r t h e t i m e c o r r e s p o n d i n g t o a d o m i n a n t p o w e r s p e c t r a l f e a t u r e . v . - < ~ . , ~ . _ , > ~ . _ , . . . . . < v . , ~ > ~ ( 4 )
A . W o l f e t a l . / D e t e r m i n i n g L y a p u n o o e x p o n e n t s f r o m a t i m e s e r i e s 2 9 1 w h e r e ( , ) s i g n i f i e s t h e i n n e r p r o d u c t . T h e f r e q u e n c y o f r e o r t h o n o r m a l i z a t i o n i s n o t c r i t i c a l , s o l o n g a s n e i t h e r t h e m a g n i t u d e n o r t h e o r i e n t a - t i o n d i v e r g e n c e s h a v e e x c e e d e d c o m p u t e r l i m i t a - t i o n s . A s a r u l e o f t h u m b , G S R i s p e r f o r m e d o n t h e o r d e r o f o n c e p e r o r b i t a l p e r i o d . W e s e e t h a t G S R n e v e r a f f e c t s t h e d i r e c t i o n o f t h e f i r s t v e c t o r i n a s y s t e m , s o t h i s v e c t o r t e n d s t o s e e k o u t t h e d i r e c t i o n i n t a n g e n t s p a c e w h i c h i s m o s t r a p i d l y g r o w i n g ( c o m p o n e n t s a l o n g o t h e r d i r e c t i o n s a r e e i t h e r g r o w i n g l e s s r a p i d l y o r a r e s h r i n k i n g ) . T h e s e c o n d v e c t o r h a s i t s c o m p o n e n t a l o n g t h e d i r e c t i o n o f t h e f i r s t v e c t o r r e m o v e d , a n d i s t h e n n o r m a l i z e d . B e c a u s e w e a r e c h a n g i n g i t s d i r e c t i o n , v e c t o r v 2 i s n o t f r e e t o s e e k o u t t h e m o s t r a p i d l y g r o w i n g d i r e c t i o n . B e c a u s e o f t h e m a n n e r i n w h i c h w e a r e c h a n g i n g i t , i t a l s o i s n o t f r e e t o s e e k o u t t h e s e c o n d m o s t r a p i d l y g r o w i n g d i r e c - t i o n t . N o t e h o w e v e r t h a t t h e v e c t o r s ~ a n d i f 2 s p a n t h e s a m e t w o - d i m e n s i o n a l s u b s p a c e a s t h e v e c t o r s v x a n d v 2 . I n s p i t e o f r e p e a t e d v e c t o r r e p l a c e m e n t s , t h e s p a c e t h e s e v e c t o r s d e f i n e c o n t i n u - a l l y s e e k s o u t t h e t w o - d i m e n s i o n a l s u b s p a c e t h a t i s m o s t r a p i d l y g r o w i n g . T h e a r e a d e f i n e d b y t h e s e v e c t o r s i s p r o p o r t i o n a l t o 2 ( x ~ + x 2 ) t 8 . T h e l e n g t h o f v e c t o r v t i s p r o p o r t i o n a l t o 2 x ~ t s o t h a t m o n i t o r - i n g l e n g t h a n d a r e a g r o w t h a l l o w s u s t o d e t e r m i n e b o t h e x p o n e n t s . I n p r a c t i c e , a s ~ a n d i f 2 a r e o r t h o g o n a l , w e m a y d e t e r m i n e h 2 d i r e c t l y f r o m t h e m e a n r a t e o f g r o w t h o f t h e p r o j e c t i o n o f v e c t o r v 2 o n v e c t o r 4 . I n g e n e r a l , t h e s u b s p a c e s p a n n e d b y t h e f i r s t k v e c t o r s i s u n a f f e c t e d b y G S R s o t h a t t h e l o n g - t e r m e v o l u t i o n o f t h e k - v o l u m e d e f i n e d b y t h e s e v e c t o r s i s p r o p o r t i o n a l t o 2 ~ w h e r e # = ~ . k i _ 1 ~ i t . P r o j e c t i o n o f t h e e v o l v e d v e c t o r s o n t o t h e n e w o r t h o n o r m a l f r a m e c o r r e c t l y u p d a t e s t h e r a t e s o f g r o w t h o f e a c h o f t h e f i r s t k - p r i n c i p a l a x e s i n t T h i s i s c l e a r w h e n w e c o n s i d e r t h a t w e m a y o b t a i n d i f f e r e n t d i r e c t i o n s o f v e c t o r 0 2 a t s o m e s p e c i f i e d t i m e i f w e e x e r c i s e o u r f r e e d o m t o c h o o s e t h e i n t e r m e d i a t e t i m e s a t w h i c h G S R i s p e r f o r m e d . T h a t i s , b e g i n n i n g w i t h a s p e c i f i e d v 1 a n d 0 2 a t t i m e t i , w e m a y p e r f o r m r e p l a c e m e n t s a t t i m e s t ~ + x a n d t i + 2 , o b t a i n i n g t h e v e c t o r s ~ , t ~ a n d t h e n v ~ ' , v ~ ' o r w e m a y p r o p a g a t e d i r e c t l y t o t i m e t i + 2 , o b t a i n i n g v l * , v ~ . t ~ ' a n d v ~ a r e n o t p a r a l l e l ; t h e r e f o r e , t h e d e t a i l s o f p r o p a g a t i o n a n d r e p l a c e m e n t d e t e r m i n e t h e o r i e n t a t i o n o f 0 2 . t u r n , p r o v i d i n g e s t i m a t e s o f t h e k l a r g e s t L y a p u n o v e x p o n e n t s . T h u s G S R a l l o w s t h e i n t e g r a t i o n o f t h e v e c t o r f r a m e f o r a s l o n g a s i s r e q u i r e d f o r s p e c t r a l c o n v e r g e n c e . F o r t r a n c o d e f o r t h e O D E p r o c e d u r e a p p e a r s i n a p p e n d i x A . W e i l l u s t r a t e t h e u s e o f t h i s p r o c e d u r e f o r t h e R o s s l e r a t t r a c t o r 2 6 . T h e s p e c t r a l c a l c u l a - t i o n r e q u i r e s t h e i n t e g r a t i o n o f t h e 3 e q u a t i o n s o f m o t i o n a n d 9 l i n e a r i z e d e q u a t i o n s f o r o n t h e o r d e r o f 1 0 0 o r b i t s o f m o d e l t i m e ( a f e w c p u m i n u t e s o n a V A X 1 1 / 7 8 0 ) t o o b t a i n e a c h e x p o n e n t t o w i t h i n a f e w p e r c e n t o f i t s a s y m p t o t i c v a l u e . I n p r a c t i c e w e c o n s i d e r t h e a s y m p t o t i c v a l u e t o b e a t t a i n e d w h e n t h e m a n d a t o r y z e r o e x p o n e n t ( s ) a r e a f e w o r d e r s o f m a g n i t u d e s m a l l e r t h a n t h e s m a l l e s t p o s i t i v e e x p o n e n t . T h e c o n v e r g e n c e r a t e o f z e r o a n d p o s i t i v e e x p o n e n t s i s a b o u t t h e s a m e , a n d i s m u c h s l o w e r t h a n t h e c o n v e r g e n c e r a t e o f n e g a t i v e e x p o n e n t s . N e g a t i v e e x p o n e n t s a r i s e f r o m t h e n e a r l y u n i f o r m a t t r a c t i v e n e s s o f t h e a t t r a c t o r w h i c h c a n o f t e n b e w e l l e s t i m a t e d f r o m a f e w p a s s e s a r o u n d a n a t t r a c t o r , n o n - n e g a t i v e e x p o n e n t s a r i s e f r o m a o n c e - p e r - o r b i t s t r e t c h a n d f o l d p r o c e s s t h a t m u s t b e s a m p l e d o n t h e o r d e r o f h u n d r e d s o f t i m e s ( o r m o r e ) f o r r e a s o n a b l e c o n v e r g e n c e . T h e m e t h o d w e h a v e d e s c r i b e d f o r f i n d i n g L y a p u n o v e x p o n e n t s i s p e r h a p s m o r e e a s i l y u n d e r - s t o o d f o r a d i s c r e t e d y n a m i c a l s y s t e m . H e r e w e c o n s i d e r t h e H 6 n o n m a p 2 5 ( s e e t a b l e I ) . T h e l i n e a r i z a t i o n o f t h i s m a p i s , s x . = L / B y . , ( 5 ) w h e r e 1 0 , 6 , a n d X ~ i s t h e ( n - 1 ) s t i t e r a t e o f a n a r b i t r a r y i n i t i a l c o n d i t i o n X 1 . A n o r t h o n o r m a l f r a m e o f p r i n c i p a l a x i s v e c t o r s s u c h a s ( ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) ) i s e v o l v e d b y a p p l y i n g t h e p r o d u c t J a c o b i a n t o e a c h v e c t o r . F o r e i t h e r v e c t o r
2 9 2 A . W o l f e t a l . / D e t e r m i n i n g L y a p u n o v e x p o n e n t s f r o m u t u n e s e r i e s t h e o p e r a t i o n m a y b e w r i t t e n i n t w o d i f f e r e n t w a y s . F o r e x a m p l e , f o r t h e v e c t o r ( 0 , l ) w e h a v e o r , b y r e g r o u p i n g t h e t e r m s , I n e q . ( 7 ) t h e l a t e s t J a c o b i m a t r i x m u l t i p l i e s e a c h c u r r e n t a x i s v e c t o r , w h i c h i s t h e i n i t i a l v e c t o r m u l t i p l i e d b y a l l p r e v i o u s J a c o b i m a t r i c e s . T h e m a g n i t u d e o f e a c h c u r r e n t a x i s v e c t o r d i v e r g e s , a n d t h e a n g u l a r s e p a r a t i o n b e t w e e n t h e t w o v e c - t o r s g o e s t o z e r o . F i g . 2 s h o w s t h a t d i v e r g e n t b e h a v i o r i s v i s i b l e w i t h i n a f e w i t e r a t i o n s . . G S R c o r r e s p o n d s t o t h e r e p l a c e m e n t o f e a c h c u r r e n t a x i s v e c t o r . L y a p u n o v e x p o n e n t s a r e c o m p u t e d F i g . 2 . T h e a c t i o n o f t h e p r o d u c t J a c o b i a n o n a n i n i t i a l l y o r t h o n o r m a l v e c t o r f r a m e i s i l l u s t r a t e d f o r t h e H & n o n m a p : ( 1 ) i n i t i a l f r a m e ; ( 2 ) f i r s t i t e r a t e ; a n d ( 3 ) s e c o n d i t e r a t e . B y t h e s e c o n d i t e r a t i o n t h e d i v e r g e n c e i n v e c t o r m a g n i t u d e a n d t h e a n g u l a r c o l l a p s e o f t h e f r a m e a r e q u i t e a p p a r e n t . I n i t i a l c o n d i - t i o n s w e r e c h o s e n s o t h a t t h e a n g u l a r c o l l a p s e o f t h e v e c t o r s w a s u n c o m m o n l y s l o w . f r o m t h e g r o w t h r a t e o f t h e l e n g t h o f t h e f i r s t v e c t o r a n d t h e g r o w t h r a t e o f t h e a r e a d e f i n e d b y b o t h v e c t o r s . I n e q . ( 8 ) t h e p r o d u c t J a c o b i a n a c t s o n e a c h o f t h e i n i t i a l a x i s v e c t o r s . T h e c o l u m n s o f t h e p r o d u c t m a t r i x c o n v e r g e t o l a r g e m u l t i p l e s o f t h e e i g e n v e c - t o r o f t h e b i g g e s t e i g e n v a l u e , s o t h a t e l e m e n t s o f t h e m a t r i x d i v e r g e a n d t h e m a t r i x b e c o m e s s i n g u - l a r . H e r e G S R c o r r e s p o n d s t o f a c t o r i n g o u t a l a r g e s c a l a r m u l t i p l i e r o f t h e m a t r i x t o p r e v e n t t h e m a g - n i t u d e d i v e r g e n c e , a n d d o i n g r o w r e d u c t i o n w i t h p i v o t i n g t o r e t a i n t h e l i n e a r i n d e p e n d e n c e o f t h e c o l u m n s . L y a p u n o v e x p o n e n t s a r e c o m p u t e d f r o m t h e e i g e n v a l u e s o f t h e l o n g - t i m e p r o d u c t m a t r i x ? . W e e m p h a s i z e t h a t L y a p u n o v e x p o n e n t s a r e n o t l o c a l q u a n t i t i e s i n e i t h e r t h e s p a t i a l o r t e m p o r a l s e n s e . E a c h e x p o n e n t a r i s e s f r o m t h e a v e r a g e , w i t h r e s p e c t t o t h e d y n a m i c a l m o t i o n , o f t h e l o c a l d e - f o r m a t i o n o f v a r i o u s p h a s e s p a c e d i r e c t i o n s . E a c h i s d e t e r m i n e d b y t h e l o n g - t i m e e v o l u t i o n o f a s i n g Z e v o l u m e e l e m e n t . A t t e m p t s t o e s t i m a t e e x p o - n e n t s b y a v e r a g i n g l o c a l c o n t r a c t i o n a n d e x p a n - s i o n r a t e s o f p h a s e s p a c e a r e l i k e l y t o f a i l a t t h e p o i n t w h e r e t h e s e c o n t r i b u t i o n s t o t h e e x p o n e n t s a r e c o m b i n e d . I n f i g . 3 a w e s h o w v e c t o r v i a t e a c h r e n o r m a l i z a t i o n s t e p f o r t h e L o r e n z a t t r a c t o r o v e r t h e c o u r s e o f s e v e r a l h u n d r e d o r b i t s [ 3 2 ] . T h e a p p a r e n t m u l t i v a l u e d n e s s o f t h e m o s t r a p i d l y g r o w i n g d i r e c t i o n ( i n s o m e r e g i o n s o f t h e a t t r a c - t o r ) s h o w s t h a t t h i s d i r e c t i o n i s n o t s i m p l y a f u n c t i o n o f p o s i t i o n o n t h e a t t r a c t o r . W h i l e t h i s d i r e c t i o n i s o f t e n n e a r l y p a r a l l e l t o t h e f l o w o n t h e L o r e n z a t t r a c t o r ( s e e f i g . 3 b ) i t i s u s u a l l y n e a r l y t r a n s v e r s e t o t h e f l o w f o r t h e R o s s l e r a t t r a c t o r . W e c o n c l u d e t h a t e x p o n e n t c a l c u l a t i o n b y a v e r a g i n g l o c a l d i v e r g e n c e e s t i m a t e s i s a d a n g e r o u s p r o c e - d u r e . + W e a r e a w a r e o f a n a t t e m p t t o e s t i m a t e L y a p u n o v s p e c t r a f r o m e x p e r i m e n t a l d a t a t h r o u g h d i r e c t e s t i m a t i o n o f l o c a l J a c o b i a n m a t r i c e s a n d f o r m a t i o n o f t h e l o n g t i m e p r o d u c t m a t r i x [ 3 1 ] . T h i s c a l c u l a t i o n i s e s s e n t i a l l y t h e s a m e a s o u r s ( w e a v o i d m a t r i x n o t a t i o n b y d i a g o n a l i z i n g t h e s y s t e m a t e a c h s t e p ) a n d h a s t h e s a m e p r o b l e m s o f s e n s i t i v i t y t o e x t e r n a l n o i s e , a n d t o t h e a m o u n t a n d r e s o l u t i o n o f d a t a r e q u i r e d f o r a c c u r a t e e s t i m a t e s .
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