26 2014，50（23） Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 区间犹豫模糊熵应用于地方高等教育发展研究 胡冠中，周志刚 HU Guanzhong, ZHOU Zhigang 天津大学 管理与经济学部，天津 300072 College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072, China HU Guanzhong, ZHOU Zhigang. Interval-valued hesitant fuzzy entropy and its application to local higher educa- tion development research. Computer Engineering and Applications, 2014, 50（23）：26-30. Abstract：The new interval-valued hesitant fuzzy entropy and cross-entropy are constructed, and it develops a new approach for interval-valued hesitant fuzzy multi-attribute group decision-making problems, which is applied to the local higher educa- tion development research. The paper constructs a new interval-valued hesitant fuzzy entropy formula, and proves that it satisfies axiomatic requirements of interval-valued hesitant entropy. The axiomatic definition of distance measures between interval-valued hesitant fuzzy elements is proposed, and the relationships among the interval-valued hesitant fuzzy dis- tance measures, interval-valued hesitant fuzzy entropy and interval-valued hesitant fuzzy cross-entropy are studied, and then it develops a new interval-valued hesitant fuzzy cross-entropy formula. Based on interval-valued hesitant fuzzy entropy, cross-entropy and cross-entropy relative closeness, a new method for multi-attribute group decision making problems is proposed under interval-valued hesitant fuzzy environment, which applies it to the local higher education development research to demonstrate its practicality and effectiveness. Key words：interval-valued hesitant fuzzy element; weighted entropy; distance measure; weighted cross-entropy; multi- attribute group decision making 摘 要：构造了新的区间犹豫模糊熵、交叉熵公式，提出了一种新的区间犹豫模糊多属性群决策方法，并将其应用于 地方高等教育发展研究的过程中。构建了一种新的区间犹豫模糊熵公式，并证明其满足区间犹豫模糊熵的公理化 条件；给出了区间犹豫模糊距离测度的公理性定义，研究了区间犹豫模糊距离测度和区间犹豫模糊熵、交叉熵的关 系，并构建了区间犹豫模糊加权交叉熵公式。在区间犹豫模糊环境下，基于区间犹豫模糊熵、交叉熵以及交叉熵贴 近度，提出了一种新的属性权重未知的多属性决策方法，并将其应用于对地方高等教育发展研究的过程中，验证该 方法的可行性和有效性。 关键词：区间犹豫模糊元；加权熵；距离测度；加权交叉熵；多属性群决策 文献标志码：A 中图分类号：O22 doi：10.3778/j.issn.1002-8331.1406-0328 1 引言 由于客观世界的复杂性和人类认知能力的有限性， 使得人们在进行决策时常常对信息的认知很模糊和不 确定。于是 Zadeh[1]提出了模糊集理论，该理论在现代 社会的各个领域得到了广泛的应用。文献[2-3]引入了 区间值模糊集、直觉模糊集、粗糙集的概念。然而，当人 们做决定时，通常会犹豫和踌躇不定，这使得决策结果 难以达成一致。通常情况下，为了得到更多合理的决策 结果，使得决策结果更加全面，决策信息通常不是很确 定一个确定的值，而是由几个值构成。于是 Torra[4-5]把 模糊集扩展成犹豫模糊集，它描述了决策时犹豫不决的 情形。陈楠等[6-7]将犹豫模糊集推广至区间的形式，给出 了区间犹豫模糊集的概念。 模糊信息论是利用模糊数学这一工具来研究带有 基金项目：教育部科学研究重大课题攻关项目（No.11JZD038）。 作者简介：胡冠中（1985—），通讯作者，博士研究生，研究方向：管理科学、区域经济；周志刚（1950—），博士，教授，博士生导师，研 究方向：管理科学、人力资源开发与管理。E-mail：shexian19880129@163.com 收稿日期：2014-06-23 修回日期：2014-08-20 文章编号：1002-8331（2014）23-0026-05 CNKI 网络优先出版：2014-08-19, http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1406-0328.html 

胡冠中，周志刚：区间犹豫模糊熵应用于地方高等教育发展研究 2014，50（23） 27 模糊不确定性的信息，熵是模糊信息论中重要的度量方 法。然而信息熵的定义具有客观性，无法描述主观意义 上对事物的判断差别，从而淹没了个别事件的重要性。 加权熵通过引入对事件重要性的权重来体现事件的重 要性。Wu 和 Zhang[8]基于每个元素的重要性程度不同， 提出了直觉模糊加权熵的概念，并将其应用于直觉模糊 多属性决策问题中。Ye[9]提出了一种基于直觉模糊交叉 熵的多属性模糊决策方法。Grzegorzewski[10]与 Hung 和 Yang[11]依据 Hausdorff 测度提出了一系列的直觉模糊相 似度和区间模糊相似度的公式。文献[12]类比于直觉 模糊交叉熵，引入了区间直觉模糊交叉熵的概念。文 献 [13]给出了犹豫模糊熵和犹豫模糊交叉熵的概念，研 究了两者间的相互关系，并提出了两种新的多属性群决 策方法。文献[14]给出了区间犹豫模糊熵的公理化定 义。本文首先构建了一种新的区间犹豫模糊熵公式，并 予以证明；接着，给出了区间犹豫模糊距离测度的公理 性定义，同时研究了区间犹豫模糊距离测度与区间犹豫 模糊熵和交叉熵间的关系，并建立了新的交叉熵公式； 最后，基于区间犹豫模糊熵、交叉熵以及交叉熵贴近度， 提出了一种新的多属性决策方，并将其应用于地方高等 教育发展研究的过程中。 2 基本概念 定义 2.1[6-7] 令 X 为一给定集合，D[01] 表示区间 [01] 上的所有闭子区间构成的集合。集合 X 上的区间 犹豫模糊集形式如下： (x):X ® D[01] 表示元素 x 属于集合 A͂ 的所有可 （1） A͂ ={ xh͂ A͂ (x) |x Î X } A͂ 其中 h͂ 能隶属度区间构成的集合。称 h͂ (x) ={γ͂ |γ͂ Î h͂ 糊元（IVHFE），即 h͂ A͂ A͂ (x) 为一个区间犹豫模 A͂ (x)} ，这里 γ͂ =[γ͂ -γ͂ +] 是 一个区间数，γ͂ - = inf γ͂ 和 γ͂ + = sup γ͂ 分别表示 γ͂ 的下界和 上界。 (x) 的补为： 区间犹豫模糊元 h͂ h͂ c （2） A͂ 为了下文讨论方便，记 Ω͂ 为所有区间犹豫模糊元 (x) ={[1 - γ͂ +1 - γ͂ -]|γ͂ Î h͂ (x)} A͂ A͂ 构成的集合。 3 一种区间犹豫模糊加权熵公式的构造 将 IVHFE ᾶ 中的元素进行降序排列，记 ᾶ ( j) 为 ᾶ 中 ᾶ 第 j 大的元素，记 l 为 ᾶ 中元素的个数。一般情况下， 不同的区间犹豫模糊元中元素个数可能是不同的。假 设 区 间 犹 豫 模 糊 元 ᾶ 和 β͂ 中 元 素 的 个 数 分 别 为 l 和 l ，则可通过在元素个数少的区间犹豫模糊 。若 l ¹ l ᾶ β͂ ᾶ β͂ 元中添加若干个元素，使得两个区间犹豫模糊元中的元 素个数相同。为了方便讨论，本文假设区间犹豫模糊元 中元素的个数都为 l 。 定义 3.1[10] 设 ᾶ ={ᾶ ᾶ (2) β͂ ]β͂ } 为 两 个 IVHFE，其 中 ᾶ (l) ( j) j = 12l 。如果 E 满足如下四个条件： (l) ᾶ + =[ᾶ - ( j) ( j)  β͂ + β͂ =[β͂ - }和 β͂ ={β͂ ᾶ (1) ] ( j) ( j) ( j) (2) (1) （1）E(ᾶ ) = 0 当且仅当 ᾶ =[00] 或 ᾶ =[11] 。 （2）E(ᾶ ) = 1当且仅当 ᾶ - ( j) + ᾶ + (l - j + 1) = 1j = 12l。 （3）E(ᾶ ) = E(ᾶ c) 。 （4）E(ᾶ )  E(β͂ ) ，如果当 β͂ - + β͂ + (l - j + 1) j = 12l ；或 者 当 β͂ - ( j)  1 时，有 ᾶ - ( j) + β͂ +  1 时 ，  (l - j + 1) ( j)  β͂ + j = 12l 则 称 映 射 E(ᾶ ) 为 区 ( j) β͂ - ᾶ + ( j) ( j) 有 ᾶ - ( j)  β͂ +  β͂ - ( j) ᾶ + ( j) ( j) 间犹豫模糊元 ᾶ 的熵。 区间犹豫模糊元中的每个元素是由不同的决策者 给出的，在决策过程中不同的决策者的重要性程度通常 是不同的，因此在计算区间犹豫模糊元的熵时，应根据 决 策 者 的 作 用 大 小 赋 予 其 所 提 供 的 信 息 不 同 的 权 重 > 0) 。据此，设 ᾶ 为一个区间犹豫模糊元，构建如 w (w j j 下新的区间犹豫模糊加权熵公式： E(ᾶ ) = å l j = 1 × w j 1 21 - s - 1 ᾶ - ( )j æ çç è æ çç è + ᾶ + ( 2 ) l - j + 1 s ö ÷÷ ø + ᾶ - ( )j æ çç è 1 - + ᾶ + ( 2 ) l - j + 1 s ö ÷÷ ø ö ÷÷ ø - 1 （3） 其中，s ¹ 1s > 0å l j = 1 w j = 1w j > 0j = 12l 。 定理 3.1 设 ᾶ ={ᾶ ]å ᾶ + =[ᾶ - ( j) ( j) ( j) l 糊元，ᾶ j = 1 ᾶ (1) ᾶ (2) } 是一个区间犹豫模 (l) w j = 1w j > 0j = 12l 则公 式（3）中的 E(ᾶ ) 为区间犹豫模糊元 ᾶ 的熵。 证明 要证明 E(ᾶ ) 为区间犹豫模糊元 ᾶ 的熵，须证 E(ᾶ ) 满足定义 3.1 中的四个条件。为此，首先构造二元 函数如下： g(xy) = 其中 xy Î[ s æ ç è 1 æ èç x + y ö ø÷ 21 - s - 1 01 。令 z = x + y ] 2 2 + æ èç Î[ 1 - x + y 2 s ö ø÷ - 1 ö ÷ ø （4） 01 则二元函数 g(xy) ] 转化为 g(z) = 1 21 - s - 1 (z s + (1 - z)s - 1) 。对 g(z) 求导得： dg(z) dz = 1 21 - s - 1 (s × z s - 1 - s ×(1 - z)s - 1) 下面将依据 s 的大小进行分情况讨论： 情形 1 当 s > 1 时， 1 < 0 ，且 y = z s - 1 关于单调 21 - s - 1 01 ù 递增，所以当 z < 1 - z即 z Î é û ë 2 时，s × z s - 1 < s ×(1 - z)s - 1 

此时 dg(z) dz 1 > 0 ；同理可证，当 z Î é ë 2 情形 2 当 0 < s < 1 时， 1 21 - s - 1 > 0且 y = z s - 1 关于 z 01 ù 单 调 递 减 ，所 以 当 z < 1 - z 即 z Î é ë û 2 时 ，s × z s - 1 > s × (1 - z)s - 1 此 时 dg(z) dz 1 > 0 ；同 理 可 证 ，当 z Î é ë 2 1 时 ， ù û dg(z) dz < 0 。 dg(z) 时， 1 时， dz dg(z) 上 01 ù > 0 即 g(z) 在 é û ë 2 1 ù < 0即 g(z) 在 é 1 ë û 2 (z) = dz (z) = g(0) = g(1) = 0g max min 01 ù 综上，当 z Î é û ë 2 1 是单调递增的；当 z Î é ë 2 ù û 上是单调递减的。注意到 g gæ è = 1g(z)Î[01] 。 1 ö ø 2 （1）若 E(ᾶ ) = 0 由 于 E(ᾶ ) = å n w j ᾶ + × g(ᾶ - ( j) (l - j + 1) ) 且 j = 1 w j ᾶ + > 0 则 g(ᾶ - ( j) + ᾶ + 2 + ᾶ + ᾶ - ( j) 质 可 得 ： (l - j + 1) (l - j + 1) = 0 或 ᾶ - (l - j + 1) ( j) = 0 或 ᾶ - ( j) = ᾶ + (l - j + 1) ᾶ + (l - j + 1) 以 ᾶ - ( j) [11] 。 ) = 0j = 12l 。由 g(z) 的性 = 0 或 (l - j + 1) ᾶ - ( j) + ᾶ + 2 = 2 因 为 ᾶ - ᾶ + ( j) = 1 即 ᾶ - ( j) + Î[01] 所 (l - j + 1) = ᾶ + (l - j + 1) = 1 即 ᾶ =[00] 或 ᾶ = 显然，当 ᾶ =[00] 或 ᾶ =[11] 时，有 E(ᾶ ) = 0 。 （2）若 E(ᾶ ) = 1，由 于 E(ᾶ ) = å ᾶ + × g(ᾶ - ( j) w n j (l - j + 1) j = 1 ) = 1j = 12l 。由 g(z) 性质 = 1 2 j = 12l 即 ᾶ - ( )j + ᾶ + ( ) l - j + 1 = w j ᾶ + > 0 ，则 g(ᾶ - ( j) + ᾶ + ( 2 ᾶ - ( )j ) l - j + 1 可 得 ： (l - j + 1) 1j = 12l 。 另一方面，若 ᾶ - ( j) 式（3）可得：E(ᾶ ) = 1 。 + ᾶ + (l - j + 1) β͂ - ( j) + β͂ + 2 (l - j + 1)  1 2 01 ù 。由前面分析可知，g(z) 在 é û ë 2 )j = 1 )  g(β͂ - 上是 (l - j + 1) ᾶ + 单 调 递 增 的 ，所 以 g(ᾶ - ( j) 2l 。 由 于 E(ᾶ ) = å w n ᾶ + × g(ᾶ - ( j) j (l - j + 1) j = 1 ( j) (l - j + 1) β͂ + )E(β͂ ) = å n × w j j = 1 g(β͂ - ( j) (l - j + 1) )且 w β͂ + 同 理 可 知 ，当 β͂ - j > 0j = 12l于是有 E(ᾶ )  E(β͂ ) 。 + β͂ + (l - j + 1)  1 时 ，有 ᾶ - ( j)  β͂ - ᾶ + ( j) ( j)  ( j) β͂ + j = 12l有 E(ᾶ )  E(β͂ ) 。 ( j) 4 区间犹豫模糊距离测度 本章将给出区间犹豫模糊距离测度的公理化条件， 并探讨了区间犹豫模糊距离测度分别与区间犹豫模糊 熵和区间犹豫模糊交叉熵之间的关系。 定义 4.1 对于任意两个区间犹豫模糊元 ᾶ 和 β͂ ，称 D(ᾶ β͂ ) 为 ᾶ 和 β͂ 间的距离测度，若 D(ᾶ β͂ ) 满足以下四 个条件： （1）D(ᾶ β͂ ) = 0 Û [ᾶ - ]j = 12l。 （2）D(ᾶ β͂ ) = 1 Û ᾶ =[00] β͂ =[11] 或 ᾶ =[11] β͂ = ᾶ + ( j) ( j) ] =[β͂ - β͂ + ( j) ( j) [00] 。 （3）D(ᾶ β͂ ) = D(β͂ᾶ ) 。 （4）D(ᾶ γ͂ )  max{D(ᾶ β͂ )D(β͂γ͂ )}如果有|ᾶ - ( j) - β͂ + ||β͂ - - β͂ - |  max{|ᾶ + ( j) |}|ᾶ + ( j) - γ͂ - ( j) - γ͂ + ( j) ( j) ( j) ( j) max{|ᾶ - ( j) )，且 - γ͂ - ( j) ||β͂ + ( j) |  - |}j = 12l 。 γ͂ + ( j) 定 理 4.1 设 ᾶ 为 一 区 间 犹 豫 模 糊 元 ，则 θ(ᾶ ) = 1 - D(ᾶ ᾶ c) 为区间犹豫模糊元 ᾶ 的熵。 证明 要证明 θ(ᾶ ) 是 ᾶ 的熵，即证其满足定义 3.1 中 28 2014，50（23） Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 1 时， ù û dg(z) dz < 0 。 2l则 ᾶ - ( j) + ᾶ + (l - j + 1)  β͂ - ( j) + β͂ + (l - j + 1)  1那么 ᾶ - ( j) + ᾶ + 2 (l - j + 1)  = 1j = 12l 代入公 的四个条件。 1 - ᾶ - （1）因 为 ᾶ c ={[1 - ᾶ + (l) (l) ][1 - ᾶ + 1 - ᾶ - ] (l - 1) (l - 1) 1 - ᾶ - （3）因 为 ᾶ c ={[1 - ᾶ + (l) (l) ]}代入公式（3）有： 1 - ᾶ - [1 - ᾶ + (1) (1) ][1 - ᾶ + 1 - ᾶ - (l - 1) (l - 1) E(ᾶ c) = å n j = 1 × w j 1 21 - s - 1 æ çç è æ çç è 1 - ᾶ + ( ) l - j + 1 2 + 1 - ᾶ - ( )j s ö ÷÷ ø + ] 1 - ᾶ - [1 - ᾶ + (1) (1) ᾶ =[11] 。 ]}所以 θ(ᾶ ) = 0 Û D(ᾶ ᾶ c) = 1 Û ᾶ =[00]或 （2）θ(ᾶ ) = 1 Û D(ᾶ ᾶ c) = 0 Û [ᾶ - ᾶ + 1 - ( j) ( j) = 1j = 12l 。 ]j = 12l Û ᾶ - ( j) ] =[1 - ᾶ + + ᾶ + (l - j + 1) (l - j + 1) ᾶ - (l - j + 1) （3）θ(ᾶ c) = 1 - D(ᾶ c(ᾶ c)c) = 1 - D(ᾶ c ᾶ ) = 1 - D(ᾶ  ᾶ c) = 1 - ᾶ + ( + 1 - ᾶ - ( )j æ çç è 1 - s ö ÷÷ ø ö ÷÷ - 1 = ø ) l - j + 1 2 æ çç è 1 21 - s - 1 (l - j + 1) n å j = 1 × w j ᾶ - ( j) æ ç è + ᾶ + 2 + β͂ + ö ÷÷ ø s - 1 = E(ᾶ ) ö ÷ ø  1 时，有 ᾶ - ( j) ᾶ - ( )j æ çç è 1 - + ᾶ + ( 2 ) l - j + 1 s ö ÷÷ ø + （4）当 β͂ - ( j) (l - j + 1)  β͂ - ᾶ + ( j) ( j)  β͂ + j = 1 ( j) θ(ᾶ ) 。 （4）因为当 β͂ - ( j) + β͂ +  β͂ +  β͂ - ( j)  1 - β͂ - (l - j + 1)  β͂ -  1 时，有 ᾶ - ᾶ + ( j) ( j) ( j)  1 - β͂ + ᾶ +  1 - ᾶ + ( j) )|  |β͂ - j = 12l因此，ᾶ - ( j) β͂ +  1 - ᾶ - (1 - β͂ + )| 则由定 义4.1可得：D(ᾶ ᾶ c)  D(β͂β͂ c)那么 1 - D(ᾶ ᾶ c)  1 - D(β͂ β͂ c)即 θ(ᾶ )  θ(β͂ ) 。 ( j) 。于是|ᾶ - ( j) )|  |β͂ + - (1 - ᾶ + - (1 - β͂ - (l - j + 1) )||ᾶ + ( j) - (1 - ᾶ -  ( j)  (l - j + 1) (l - j + 1) (l - j + 1) (l - j + 1) (l - j + 1) (l - j + 1) (l - j + 1) - ( j) ( j) 

胡冠中，周志刚：区间犹豫模糊熵应用于地方高等教育发展研究 2014，50（23） 29 同理可证，当 β͂ - ( j) + β͂ + (l - j + 1)  1 且 ᾶ - ( j)  β͂ - ᾶ + ( j) ( j)  β͂ +  ( j) 步骤 2 根据信息决策矩阵 H = (ᾶ ) ij m ´ n 及已知的专 w 家权重向量 w = (w 1 w 2 l )Τ计算属性权重如下： j j = 12n （6） = ω j 其中，E j 1 - E å (1 - E n ) j j = 1 m må = 1 i = 1 j = 12l 时，有 θ(ᾶ )  θ(β͂ ) 。 定理 4.2 对于区间犹豫模糊元 ᾶ 和 β͂ ，它们的距离 测度 D(ᾶ β͂ ) 是 ᾶ 与 β͂ 的区间犹豫模糊交叉熵[15]。 证明 为了证明 D(ᾶ β͂ ) 为区间犹豫模糊交叉熵，须 证 D(ᾶ β͂ ) 满足文献[15]中定义 3.1 的两个条件。 （1）由定义 4.1 易知，D(ᾶ β͂ )  0 。 （2）D(ᾶ β͂ ) = 0 Û [ᾶ - β͂ + ]j = 12l。 假设 ᾶ 和 β͂ 为两个区间犹豫模糊元，构造如下区间 ᾶ + ( j) ( j) ] =[β͂ - ( j) ( j) 犹豫模糊加权交叉熵公式： C(ᾶ β͂ ) = 1 - å n j = 1 × w j 1 21 - s - 1 æ çç è æ ç è 1 + ᾶ - ( j) 2 - β͂ - ( j) s ö ÷ ø + + β͂ + ( j) æ ç è 1 - ᾶ + ( j) 2 s ö ÷ ø ö ÷÷ ø - 1 E(ᾶ ij ) E(ᾶ ij ) 为公式（3）中的区间犹豫模 糊加权熵。 步 骤 3 利 用 公 式（5），计 算 每 个 备 选 方 案 x (i = 1 2m) 在属性集 U 下分别与正理想方案 ᾶ + =[11] 和 负理想方案 ᾶ - =[00] 间的正交叉熵 C + ： i 和负交叉熵 C - i i C + i C - i （5） n = å j = 1 ω j ×C(ᾶ ᾶ +)i = 12m ij n = å ω j ×C(ᾶ ᾶ -)i = 12m ij 其中，C(ᾶ j = 1 ᾶ +) 和 C(ᾶ ij ᾶ -) 依据公式（5）计算得出。 ij （7） （8） 5 基于区间犹豫模糊加权熵的多属性决策方法 本章将讨论在专家权重已知条件下，基于区间犹豫 模糊加权熵，处理属性权重信息完全未知的多属性群决 策问题。运用备选方案与理想方案间的区间犹豫模糊 加权交叉熵以及交叉熵贴近度，提出一种新多属性群决 策方法，并且将提出的方法运用于地方高等教育发展研 究过程中。 x 2 e 2 x 假设现有 m 个方案 X ={x 1 u } 一组专家 e ={e e 1 2 n }n 个属性 U = m u } 依据属性集 X {u l 1 给出各个备选方案的偏好值。由于这组专家来自不同 的领域，因此在进行决策时的每个专家的重要程度，假 w 设 w = (w )Τ 为这组专家的已知权重向量，并 1 且每个专家提供的决策信息是以区间犹豫模糊数的形 式给出的。令 H = (ᾶ 为这组专家提供的决策矩阵， w 2 ) l ij m ´ n 其中 ᾶ ij 为一个区间犹豫模糊元，表示专家们在属性 u j 的偏好值的集合。属性权重信息是完 )Τ 满 下对备选方案 x 全未知的，假设属性权重向量为 ω = (ω 足 å = 1ω  0j = 12n 。 由 于 属 性 权 重 完 全 ω 2 ω 1 ω n n i j j = 1 j 步 骤 4 计 算 各 备 选 方 案 的 交 叉 熵 贴 近 度 T (i = 1 i 2m) ： = T i C - i + C + i C - i i = 12m （9） 对各备选方案 x 步骤 5 依据交叉熵贴近度 T (i = 12m) 的大小 (i = 12m) 的优劣顺序进行排列。 越大，对应的备选方案就越好，最终选出最优的方案。 i i T i 3 3 2 和 x 是就 是人才培养；u 是对当地社会经济的促进作用；u 例 为了响应十八大提出的要努力办好人民满意的 教育的号召，某一省份教育主管部门对其所属的三所高 校 x 的高等教育发展综合满意度进行评估，将 、x 1 分别从以下几个方面进行评估：u 1 业率；u 的稳定，最终选择出满意度最高的地方高校。为了决策 的民主性和权威性，当地教育主管部分聘请了三个不同 领域的专家，从上述四个方面分别对这三所地方性高校 的满意度进行评估，三个专家的权重向量为 w = (0.25 0.450.30)Τ 。决策信息以区间犹豫模糊数的形式给出， 整理得到区间犹豫模糊信息（表 1）。接下来，基于提出 的决策方法选择满意度最高的高校。 是社会政治 2 4 未知，接下来将运用上文所构造的加权熵和加权交叉熵 公式，提出一种新的决策方法： 步骤 1 依据决策者所提供的决策信息用，构建决策 矩阵 H = (ᾶ ) ij 如表 1 所示。 3 ´ 4 步骤 1 依据专家组提供的决策信息，构造区间犹豫 步骤 2 根据信息决策矩阵 H = (ᾶ ) ij 3 ´ 4 及三个专家 模糊决策矩阵 H = (ᾶ ) ij m ´ n 。 的权重向量 w = (0.250.450.30)Τ利用公式（6）（取 s = 2）， 表 1 区间值犹豫模糊集决策矩阵 H = (ᾶ ) ij 3 ´ 4 u 1 u 2 u 3 u 4 x 1 x x 2 3 {[0.2，0.2]，[0.3，0.4]，[0.5，0.6]} {[0.1，0.2]，[0.3，0.3]，[0.4，0.6]} {[0.2，0.3]，[0.5，0.5]，[0.6，0.6]} {[0.3，0.5]，[0.4，0.6]，[0.7，0.8]} {[0.4，0.5]，[0.4，0.6]，[0.5，0.6]} {[0.4，0.5]，[0.6，0.8]，[0.7，0.9]} {[0.4，0.5]，[0.5，0.6]，[0.6，0.7]} {[0，0.1]，[0.2，0.2]，[0.3，0.4]} {[0.5，0.6]，[0.6，0.7]，[0.6，0.8]} {[0.3，0.5]，[0.5，0.6]，[0.6，0.7]} {[0.1，0.1]，[0.2，0.2]，[0.2，0.3]} {[0，0.2]，[0.1，0.3]，[0.3，0.4]} 

30 2014，50（23） Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 表 2 区间值犹豫模糊集决策矩阵 H ′ = (ᾶ ′ ij ) 3 ´ 4 及正、负理想方案 u 1 u 2 u 3 u 4 {[0.5，0.6]，[0.3，0.4]，[0.2，0.2]} {[0.4，0.6]，[0.3，0.3]，[0.1，0.2]} {[0.6，0.6]，[0.5，0.5]，[0.2，0.3]} {[0.6，0.6]，[0.5，0.5]，[0.2，0.3]} {[0.4，0.6]，[0.3，0.3]，[0.1，0.2]} {[0.7，0.8]，[0.4，0.6]，[0.3，0.5]} {[0.5，0.6]，[0.4，0.6]，[0.4，0.5]} {[0.7，0.9]，[0.6，0.8]，[0.4，0.5]} {[0.7，0.9]，[0.6，0.8]，[0.4，0.5]} {[0.5，0.6]，[0.4，0.6]，[0.3，0.5]} {[0.6，0.7]，[0.5，0.6]，[0.4，0.5]} {[0.3，0.4]，[0.2，0.2]，[0，0.1]} {[0.6，0.8]，[0.6，0.7]，[0.5，0.6]} {[0.6，0.8]，[0.6，0.7]，[0.5，0.6]} {[0.3，0.4]，[0.2，0.2]，[0，0.1]} {[0.6，0.7]，[0.5，0.6]，[0.3，0.5]} {[0.2，0.3]，[0.2，0.2]，[0.1，0.1]} {[0.3，0.4]，[0.1，0.3]，[0，0.2]} {[0.6，0.7]，[0.5，0.6]，[0.3，0.5]} {[0.2，0.3]，[0.1，0.2]，[0，0.1]} x 1 2 x x 3 x+ x- 计算得到属性权重如下： ω = (0.297 40.308 00.282 20.112 4)T 步骤 3 运用公式（7）和（8），计算三所高校的正交叉 和负交叉熵 C - i = 0.452 0C + 2 = 0.487 9C - 2 熵 C + i C + 1 C - 1 步骤 4 基于公式（9），计算三所地方性高校的交叉 ： = 0.680 2C + 3 = 0.548 0C - 3 = 0.712 0 = 0.619 8 熵贴近度 T i (i = 123) ： = 0.465 4 = 0.519 1T T 1 2 步骤 5 由于 T 1 = 0.446 2T > T 3 合满意度优劣顺序为：x 1 发展综合满意度最高，综合表现最优。  x 3  因此对应的三所高校的综 > T 2  x 的高等教育 即高校 x 1 2 3 为了研究本文所提出的区间犹豫模糊多属性群决 策方法的可行性和有效性，将采用文献[15]中的决策方 法对实例进行处理，并进行对比分析。基于文献[15]中 提出的决策方法选择满意度最高的高校步骤如下： 步 骤 1 构 造 区 间 犹 豫 模 糊 信 息 矩 阵 H ′ = (ᾶ ′ ij )  3 ´ 4 中的元素均按 如表 2 所示，表 2 中的区间犹豫模糊元 ᾶ ′ ij 降序进行排列。 步骤 2 根据得到的决策信息矩阵，运用文献[15]中 的公式（2）和熵公式（4），计算属性权重向量，结果如下： ω = (0.269 30.323 60.304 70.102 4)Τ 步骤 3 构建正、负理想方案 x+ ={β͂ β͂ γ͂ 2 }和 x- = 4 } 结果如表 2 所示。利用文献[15]中的公式 4 (i = 123) 与正、 γ͂ {γ͂ 1 （1）、（5）和（6）计算三所地方性高校 x 负理想方案的区间犹豫模糊三角相似度，可得： γ͂ 3 β͂ β͂ 1 2 3 i x+) = 0.845 1S(x x+) = 0.603 7 S(x 2 1 x+) = 0.772 8 S(x x-) = 0.690 5 S(x 1 3 x-) = 0.752 2 x-) = 0.861 3S(x 3 2 S(x 步骤 4 运用文献[15]中的公式（7）计算三所地方性 (i = 123) 为： 高校 x i (i = 123) 与理想方案的贴近度 C = 0.550 3C C 1 步骤 5 由于 C 1 = 0.412 1C > C i = 0.506 8 3 2 3 序为 x 1  x 3  x > C 则这三所地方性高校的排 2 最优方案为 x 2 。 3 分析以上两种决策过程可知，分别采用本文的决策 方法和文献[15]提出的决策方法，得到的决策结果是一 致的。但是会发现，本文提出的决策方法过程更加简 单，计算过程更加简洁。因此本文提出的决策方法是可 行的和有效的。 6 结束语 本文首先构造了一种新的区间犹豫模糊熵的公式， 并证明其满足熵的四个公理化定义；接着，给出了区间 犹豫模糊元间距离测度的公理化定义，并研究了距离测 度与熵、交叉熵之间的关系，进而构建了区间犹豫模糊 加权交叉熵公式；最后对于属性权重信息完全未知，属 性值为区间犹豫模糊数的多属性决策问题给出了一种 新的决策方法，通过算例进行实例分析，并与其他决策 方法进行对比分析，结果表明本文提出的决策方法是有 效可行的，该方法有效地推广了信息熵在区间犹豫模糊 多属性决策问题中的应用。 参考文献： [1] Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control，1965， 8：338-353. [2] Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，20（1）：87-96. [3] Turksen I B.Interval valued fuzzy sets based on normal forms[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，20：191-210. [4] Torra V，Narukawa Y.On the hesitant fuzzy sets and deci- sion[C]//Proceedings of the 18th IEEE International Con- ference on Fuzzy Systems，Jeju Island，Korea，2009： 1378-1382. [5] Torra V.Hesitant fuzzy sets[J].International Journal of Intel- ligent Systems，2010，25：529-539. [6] Chen N，Xu Z S，Xia M M.Interval-valued hesitant pref- erence relations and their applications to group decision making[J].Knowledge-Based Systems，2013，37：528-540. [7] Chen N，Xu Z S，Xia M M.Correlation coefficients of fuzzy sets and their applications to clustering hesitant analysis[J].Applied Mathematical Modelling，2013，37： 2197-2211. [8] Wu J Z，Zhang Q.Multicriteria decision making method based on intuitionistic fuzzy weighted entropy[J].Expert Systems with Applications，2011，38：916-922. （下转 86 页）