2015年北京高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2015 年北京高考理科数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．第一部分（选择题共 40 分） 1．复数   i 2 i  A．1 2i B．1 2i C． 1 2i   D． 1 2i   【答案】A 【解析】 i（2－i）＝1＋2i 【难度】容易【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。 2．若 x ， y 满足 x    x  x  0 1 ≥ ， y ≤ ， y ≤ ， 0 则 z   的最大值为 x 2 y A．0 B．1 C． 3 2 D．2 【答案】D 【解析】可行域如图所示

目标直线的斜率为 1 2  ，易知在（0，1）处截距取得最大值，此时 z＝4．【难度】容易【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A． 2 2  ，  B． 4 0  ，  C． 4  ， 4  D． 0 8，  【答案】B 【解析】程序运行过程如下表所示 x y k s t 1 1 0 0 2 0 2 1 -2 -4 2 2 0 3 -2 -4 2

故输出结果为（－4，0）【难度】容易【点评】本题算法初步。在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第 02 讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。 4．设， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂ ．“ m ∥ ”是“ ∥ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行，故“ m ∥ ”是“ ∥ ”的必要条件．若“ m ∥ ”，“ ∥ ”不一定成立，反例如下图所示．【难度】容易【点评】本题考查立体几何中点到直线的距离问题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 1，第一章《立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解。 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 A． 2 5 B． 4 5 C． 2 2 5  D．5 【答案】C

【解析】例题图形如下图所示：过 P 点做 AB 的垂线交 AB 于点 D， S  ABC S  PBC BC  S  PAB 2 1 2 2     2 1 2   PAC S      5 1 5 2 PB PA   6 ,  PD  5 1 , 5 , PC 1 2    2 5  5 . 所以表面积 S   2 5 2   2 5   2 2 5 . 【难度】容易【点评】本题考查圆的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有圆的专题讲解。 6．设 na 是等差数列. 下列结论中正确的是 a A．若 1 a 2 a  ，则 2 0 a 3  0 a B．若 1 a 3 a  ，则 1 0 a 2  0 a  ，则 2 a 2  a a 1 3 D．若 1 a  ，则 0 a 2  a 1  a 2  a 3   0 C．若 0  a 1 【答案】C 【解析】当 d＞0，∴ a1a3＝（a2－d）（a2＋d）＝a2 2－d2 ∵ a2 2＞a2 2－d2 a ∴ 2  a a 1 3 【难度】容易【点评】本题考查等比数列的性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章《数列》有详细讲解，

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对数列相关知识的总结讲解。 7．如图，函数   f x 的图象为折线 ACB ，则不等式   f x ≥ log 2  x   1 的解集是 A． x | 1   ≤ x  0 C． x | 1   ≤ x  1 【答案】C 【解析】 B． x | 1  ≤ ≤ x  1 D． x | 1   ≤ x  2 如图，x＝1 时，f（x）＝log2（x＋1） ∴ f（x）≥log2（x＋1）解集为（－1，1]，需要注意，log2（x＋1）定义域不包含－1，故选 C．【难度】一般【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。 8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D 【解析】 A．问的是纵坐标最大值． B．消耗 1 升油甲走最远，则反过来路程相同甲最省油 C．此时甲走过了 80 千米，消耗 8 升汽油 D．80km/h 以下丙“燃油效率”更高，更省油所以选择 D．【难度】一般【点评】本题考查概率、期望、方差的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章《概率》有详细讲解，其中第 04 讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．在  2 x 的展开式中， 3x 的系数为 5 ．（用数字作答）【答案】40

【解析】  2 x 中 3x 的项为 5 3 2 5 2C 3 x 所以系数为 40．【难度】容易【点评】本题考查二项式的意义。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第九章《排列、组合、二项式》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率、排列、组合相关知识的总结讲解，同时包含概率与立体几何相结合的综合题目。  的一条渐近线为 3 0  x y  ，则 a  0 ． 10．已知双曲线 2 2 x a  2 y   1 a 【答案】 3 3 【解析】渐近线为 3 x y  所以有 0  b a   ，有双曲线的方程 3 2 2 x a  2 y 1  得 b＝1，且 a＞0. 所以 a  ． 3 3 【难度】容易【点评】本题考查双曲线的渐近线方程。在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第 02 讲有相似题目的详细讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对圆锥曲线相关知识的总结讲解。 11．在极坐标系中，点 2    【答案】1 【解析】 ‚ 到直线  π 3       cos 3sin    的距离为 6 ．点 2    π ‚ 对应的直角坐标系为点  1 3    3‚  x  3 y   ，根据点到直线的距离公式 6 0 d    cos ，极坐标方程  1 3 6   2  ． 1.  3sin    对应的直角坐标方程为 6 12．在 ABC△ 中， 4a  ， 5b  ， 6c  ，则 sin 2 A sin C  ．【答案】1 【解析】

由余弦定理可得 cos A  2 b 2 c   2 bc 2 a  由正弦定理和二倍角公式可得， sin 2 A sin C 【难度】一般  25 36 16   2 5 6   2sin cos A sin C  3 4 A ,  2cos aA      c 3 2 4 3 2 1. 【点评】本题考查解三角形及三角函数综合题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第一章《解三角形应用问题》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对解三角形相关知识的总结讲解。 13．在 ABC△ 中，点 M ， N 满足  AM  MC   ， BN NC  2 ．【答案】 1  2 x , y   1 6   ．若 MN x AB y AC    ，则 x  ；y  【解析】    MN AN AM      x 1 2 1 2 1 2 , y  AC  2 3     ( ) AB AC   AC AB  1 6 1   6 . 【难度】中等【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第六章《平面向量》有详细讲解，其中第 01 讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对向量相关知识的总结讲解，在百日冲刺班有向量与三角函数综合类型题目的讲解。 14．设函数   f x     4  x 2 a   x a x  ‚  1 x  x ‚ ≥ ‚ 1. 2 a  ①若 1a  ，则   f x 的最小值为； ②若   f x 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是．【答案】① －1；② 1/2≤a＜1 或 a≥2 【解析】 ① 当 a＝1 时， 2x a ＞－1．

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