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2012年安徽高考理科数学试题及答案.doc
2012 年安徽理科数学试题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第Ⅱ卷第
3 页至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考生注意事项：
答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条
形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座
位号后两位。
答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答第Ⅱ卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必
须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效
．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效
．．．．．．．．。
考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：
如果事件 A 与 B 互斥；则 (
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
如果事件 A 与 B 相互独立；则 (
P AB
)
(
(
P A P B
)
)
如果 A 与 B 是事件，且 (
P B ；则
) 0
(
P A B
)
(
)
P AB
)
(
P B
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
是符合题目要求的。
（1）复数 z 满足： (
z
i
)(2
；则 z （
) 5
i
）
(
)A 2 2i
(
)B
2 2i
(
)C
i
(
)D
i
【解析】选 D
(
z
i
)(2
) 5
z
i
i
5
i
2
z
i
5(2
i
)
i
)(2
i
)
(2
2 2
i
（2）下列函数中，不满足： (2 )
x
f
2 ( )
f x
的是（
）
(
)A
( )
f x
x
(
)B
( )
f x
x
x
(
)C
( )
f x
x
(
)D ( )
f x
x
【解析】选C
( )
f x
kx 与 ( )
f x
k x
均满足： (2 )
x
f
2 ( )
f x
得： ,
,A B D 满足条
件
（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（
）
(
)A 3
(
)B 4
(
)C
(
)D
【解析】选 B
x
y
1
1
2
2
4
3
8
4
4.公比为 3 2 等比数列{ }na 的各项都是正数，且 3 11 16
a a ，则（
）
(
)A 4
(
)B 5
(
)C
(
)D
【解析】选 B
a a
3 11
16
4
2
a
7
16
a
7
a
16
a
7
9
q
32
log
a
16
2
5
5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
(
)A 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 (
)B 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
(
)C 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
(
)D 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【解析】选C
x
甲
1
5
(4 5 6 7 8) 6,
x
乙
1
5
(5 3 6 9) 6
甲的成绩的方差为
1 (2
5
2
2
2 1
2)
1 (1
，乙的成绩的方差为 2
5
2
2
3 3
1)
2.4
（6）设平面与平面相交于直线 m ，直线 a 在平面内，直线b 在平面内，且b m
则“ ”是“ a
b ”的（
）
(
)A 充分不必要条件
(
)B 必要不充分条件
(
)C 充要条件
【解析】选 A
(
)D 即不充分不必要条件
①
,b m b
b
a
②如果 / /a m ；则 a
b 与b m 条件相同
（7） 2
x
(
2)(
1
2
x
5
1)
的展开式的常数项是（
）
(
)A 3
(
)B
2
(
)C
(
)D
【解析】选 D
第一个因式取 2x ，第二个因式取
1
C
5
4
( 1)
5
1
得：
1
2
x
( 1) 得：
5
第一个因式取 2 ，第二个因式取
（8）在平面直角坐标系中， (0,0),
O
P
(6,8)
则点Q 的坐标是（
）
5
2 ( 1)
2
，将向量OP
展开式的常数项是5 ( 2) 3
后，得向量OQ
按逆时针旋转
3
4
(
)A ( 7 2,
2)
(
)B ( 7 2, 2)
(
)C ( 4 6, 2)
(
)D ( 4 6,2)
【解析】选 A
【方法一】设
OP
OQ
则
(10cos(
(10cos ,10sin )
3
3
))
4
4
OP
),10sin(
(6,8)
cos
3
5
( 7 2,
3
2
,sin
4
5
2)
OM
(8, 6)
【方法二】将向量
按逆时针旋转
后得
OQ
则
OP OM
1 (
2
)
( 7 2,
2)
（9）过抛物线 2
y
x 的焦点 F 的直线交抛物线于 ,A B 两点，点O 是原点，若
4
AF ；
3
则 AOB
的面积为（
）
(
)A
2
2
【解析】选C
(
)B
2
)C 3 2
(
2
(
)D 2 2
设
)
AFx
及 BF m ；则点 A 到准线 :
(0
l x 的距离为3
1
得：
3 2 3cos
cos
又
1
3
m
2
m
cos(
)
m
AOB
的面积为
S
1
2
OF
AB
sin
1 (3
1
2
3
2
)
2 2
3
3
2
2
1 cos
3 2
2
（10）6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交
换
的两位同学互赠一份纪念品，已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到 4 份纪念品
的同学人数为（
）
(
)A 1或3
(
)B 1或 4
)C 2 或3
(
(
)D 2 或 4
【解析】选 D
2
6 13 15 13 2
C
①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到 4 份纪念品的同学人数为 2 人
②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到 4 份纪念品的同学人数为 4 人
第 II 卷（非选择题 共 100 分）
考生注意事项：
．．．．．．．．．．．．．．．．．.
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效
二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.
（11）若 ,x y 满足约束条件：
0
x
2
y
x
2
x
y
3
3
；则 x
y 的取值范围为 _____
【解析】 x
y 的取值范围为 _____ [ 3,0]
约束条件对应 ABC
边际及内的区域：
(0,3),
A
B
(0,
3
2
),
C
(1,1)
则
t
[ 3,0]
x
y
（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 _____
【解析】表面积是 _____ 92
该几何体是底面是直角梯形，高为 4 的直四棱柱
几何体的表面积是
12
S
2
(2 5) 4 (2 5 4
2
4
(5 2) ) 4 92
2
（13）在极坐标系中，圆
4sin
的圆心到直线
【解析】距离是 _____
3
圆
4sin
x
2
(
y
2
2)
的圆心 (0,2)
C
4
(
的距离是 _____
R
)
6
直线 :
l
(
R
x
)
6
3
y
；点C 到直线l 的距离是
0
0 2 3
2
3
（14）若平面向量 ,a b
满足： 2
a b
3
的最小值是 _____
；则 a b
的最小值是 _____
【解析】 a b
2
a b
b
a
2
4
3
2
b
2
4
a
a b
2
4
4
9
8
a b
9 4
a b
9 4
a b
a b
a b
4
9
8
（15）设 ABC
的内角 ,
,A B C 所对的边为 ,
,a b c ；则下列命题正确的是 _____
①若
ab
2
c ；则
C
③若 3
a
3
b
3
；则
c
3
C
2
②若
a b
；则
2
c
C
④若 (
)
a b c
2
ab
；则
3
C
2
⑤若 2
a
(
2
)
b c
2
2
2 2
a b
；则
C
【解析】正确的是 _____ ①②③
3
①
ab
2
c
cos
C
2
a
2
c
2
b
2
ab
2
ab ab
2
ab
C
1
2
3
②
a b
2
c
cos
C
2
a
2
c
2
b
2
ab
2
4(
a
2
b
8
)
ab
(
a b
2
)
C
1
2
3
时， 2
c
2
a
2
b
c
3
2
2
a c b c
3
a
3
与 3
a
b
3
b
3
矛盾
c
③当
C
④取
a
2
b
2,
c
满足 (
1
)
a b c
2
ab
得：
C
⑤取
a
b
2,
c
满足 2
a
1
(
2
)
b c
2
2
2 2
a b
得：
2
C
3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在
答题卡的制定区域内.
（16）(本小题满分 12 分)
设函数
( )
f x
2
2
cos(2
x
)
4
sin
2
x
（I）求函数 ( )
f x 的最小正周期；
（ II ） 设 函 数 ( )g x 对 任 意 x R ， 有 (
g x
)
2
( )
g x
， 且 当
x
[0,
]
2
时 ，
( )
g x
1
2
( )
f x
；
求函数 ( )g x 在[
,0]
上的解析式。
【解析】
( )
f x
2
2
cos(2
x
)
4
sin
2
x
cos 2
x
1
2
sin 2
x
1
2
(1 cos 2 )
x
1
2
1 sin 2
2
x
（I）函数 ( )
f x 的最小正周期
（2）当 [0,
x
]
2
时，
( )
g x
当
x
[
1
2
sin 2
x
时
，
1
2
2
2
( )
f x
T
1
2
,0]
1
2
)
2
)
2
( )
g x
(
g x
sin 2(
x
sin 2
x
1
)
2
2
当 [
x
时，(
,
x
)
2
[0,
)
2
( )
g x
得：函数 ( )g x 在[
,0]
上的解析式为
( )
g x
（17）（本小题满分 12 分）
(
x
)
2
[0,
]
2
sin 2(
x
)
1
2
sin 2
x
)
(
g x
1
2
1 sin 2 (
x
2
1 sin 2 (
x
2
x
2
x
0)
)
2
某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是 A 类型试题，则使用后
该试题回库，并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用
的是 B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有 n m 道
试题，其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题，以 X 表示两次调题工作完成后，试
题库中 A 类试题的数量。
X n 的概率；
2
（Ⅰ）求
（Ⅱ）设 m n ，求 X 的分布列和均值（数学期望）。
【解析】（I）
X n 表示两次调题均为 A 类型试题，概率为
2
（Ⅱ） m n 时，每次调用的是 A 类型试题的概率为
随机变量 X 可取 ,
n n
1,
n
2
1
n
n
m n m n
1
2
2
p
(
P X n
)
(1
2
p
)
，
1
4
(
P X n
1)
2 (1
p
p
)
，
1
2
(
P X n
2)
2
p
1
4
X
n
1n
2n
EX n
(
n
P
1
4
2
答：（Ⅰ）
X n 的概率为
1
4
(
1)
n
1
2
1
n
1
2
1
2)
4
1
n
m n m n
n
2
（Ⅱ）求 X 的均值为 1n
（18）（本小题满分 12 分）
平面图形
ABB AC C 如图 4 所示，其中 1
BB C C 是矩形，
1 1
1
1
1
4
BC
2,
BB
1
，
4
AB AC
，
2
A B
1 1
AC
1
1
。现将该平面图形分别沿 BC 和 1
1B C 折叠，使 ABC
5
A B C
与 1 1
1
所在平面都
与平面 1
BB C C 垂直，再分别连接 1
1
AA BA CA ,得到如图 2 所示的空间图形，对此空间图形解答
,
,
1
1
下列问题。
（Ⅰ）证明： 1AA
BC
；
（Ⅱ）求 1AA 的长；
。
（Ⅲ）求二面角
A BC A
1
的余弦值。
【解析】（I）取
,BC B C 的中点为点
1
1
,O O ，连接
1
AO OO AO AO
1
1
1
1
,
,
,
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