2012年浙江高考理科数学试题及答案.doc-资料库

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2012 年浙江高考理科数学试题及答案本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共 5 页，选择题部分 1 至 3 页，非选择题部分 4 至 5 页．满分 150 分，考试时间 120 分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共 50 分）注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上． 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上．参考公式：如果事件 A，B互斥，那么柱体的体积公式  P A B     P A    P B  V Sh 如果事件 A，B相互独立，那么其中 S表示柱体的底面积，h表示柱体的高  P A B      P A P B    如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p，那么锥体的体积公式 V  1 3 Sh n次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k次的概率其中 S表示锥体的底面积，h表示锥体的高  P k n   k C p k n  1  p  n k   k ,  0,1,2, ,  n  球的表面积公式台体的体积公式 V   h S 1  1 3 S S 1 2  S 2  其中 1 2 ,S S 分别表示台体的上底、下底面积， S  2 4π R 球的体积公式 V  3 4 π R 3 h表示台体的高其中 R表示球的半径一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则 A∩( C RB)＝ A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2)

【解析】A＝(1，4)，B＝(－3，1)，则 A∩( C RB)＝(1，4)．【答案】A 2．已知 i 是虚数单位，则 3+ i 1 i ＝ A．1－2i 【解析】 3+ i 1 i  ＝【答案】D B．2－i  ＝ 2 + 4i 2 3+ i 1+ i  2 C．2＋i D．1＋2i ＝1＋2i． 3．设 aR，则“a＝1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】当 a＝1 时，直线 l1：x＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋2y＋4＝0 显然平行；若直线 l1 与直线 l2 平行，则有： a 1  2  1 a 【答案】A ，解之得：a＝1 or a＝﹣2．所以为充分不必要条件． 4．把函数 y＝cos2x＋1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是【解析】把函数 y＝cos2x＋1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得：y1 ＝cosx＋1，向左平移 1 个单位长度得：y2＝cos(x—1)＋1，再向下平移 1 个单位长度得：y3＝cos(x —1)．令 x＝0，得：y3＞0；x＝ 1  ，得：y3＝0；观察即得答案．  2

【答案】B 5．设 a，b是两个非零向量． A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则 a⊥b B．若 a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得 a＝λb D．若存在实数λ，使得 a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b| 【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则 a，b共线，即存在实数λ，使得 a＝λb．如选项 A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项 B：若 a ⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项 D：若存在实数λ，使得 a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．【答案】C 6．若从 1，2，2，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种【解析】1，2，2，…，9 这 9 个整数中有 5 个奇数，4 个偶数．要想同时取 4 个不同的数其和为偶数，则取法有： 4 个都是偶数：1 种； 2 个偶数，2 个奇数： 2 C C  种； 5 60 2 4 4 个都是奇数： 4 C  种． 5 5 ∴不同的取法共有 66 种．【答案】D 7．设 Sn是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n项和，则下列命题错误．．的是 A．若 d＜0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则 d＜0 C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意的 nN*，均有 Sn＞0 D．若对任意的 nN*，均有 Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列【解析】选项 C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{Sn}是递增数列，但是 Sn＞0 不成立．

【答案】C 8．如图，F1，F2 分别是双曲线 C： 2 2 x a  2 2 y b  (a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线 F1B 1 与 C 的两条渐近线分别交于 P，Q两点，线段 PQ的垂直平分线与 x轴交于点 M．若|MF2|＝|F1F2|，则 C 的离心率是 A． 2 3 3 C． 2 【解析】如图：|OB|＝b，|O F1|＝c．∴kPQ＝ b c B． 6 2 D． 3 ．，kMN＝﹣ b c by c ＝＋ c b a      y ＝ x x ( x．由直线 PQ为：y＝ b c (x＋c)，两条渐近线为：y＝ b a ) ，得：Q( ac c a ， bc c a )；由      by c ＝＋ c x ( b a y ＝- x ) ，得：P( ac  c a  ， bc c a )．∴直线 MN为：y－ bc c a ＝﹣ b c (x－ ac  c a  )，．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝ 3 c a 2 2 c ，解之得： 2 e  2 a c a  ，即 3 2 令 y＝0 得：xM＝ 3 c a 2 2 c e＝ 6 2 ．【答案】B 9．设 a＞0，b＞0． A．若 2 a  2 a  b 2  ，则 a＞b 3 b B．若 2 a  2 a  b 2  ，则 a＜b 3 b C．若 2 a  2 a  b 2  ，则 a＞b 3 b D．若 2 a  2 a  b 2  ，则 a＜b 3 b 【解析】若 2 a  2 a  b 2  ，必有 2 3 b a  2 a  b 2  ．构造函数：  2 f x b   x 2  ，则 2 x  x  f  x 2 ln 2 2   恒成立，故有函数  f x 0    x 2 项用同样方法排除．【答案】A  在 x＞0 上单调递增，即 a＞b成立．其余选 2 x

10．已知矩形 ABCD，AB＝1，BC＝ 2 ．将  ABD沿矩形的对角线 BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中， A．存在某个位置，使得直线 AC与直线 BD垂直 B．存在某个位置，使得直线 AB与直线 CD垂直 C．存在某个位置，使得直线 AD与直线 BC垂直 D．对任意位置，三直线“AC与 BD”，“AB与 CD”，“AD与 BC”均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项 C 是正确的．【答案】C 绝密★考试结束前注意事项： 2012 年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数学（理科）非选择题部分（共 100 分） 1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分． 11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm3．【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于 1 2      ． 3 1 2 1 3 1 【答案】1 12．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ______________．【解析】T，i关系如下图： T 1 1 2 1 6 1 24 1 120

i 2 3 4 5 6 【答案】 1 120 13．设公比为 q(q＞0)的等比数列{an}的前 n项和为{Sn}．若 S 2 23 a S  ， 4 2 43 a  ，则 q＝______________． 2 S 【解析】将 2 23 a S  ， 4 2 43 a  两个式子全部转化成用 1a ，q表示的式子． 2 q   ，解 3 0 ，两式作差得： 2 a q 1  3 a q 1  13 ( a q q 2  ，即： 22 1) q a   即 1   a  1 3 a q a q 1 1 2 a q a q 1 1     2 a q 1 3  3 3 a q 1  2 之得： 3  2 q or q   (舍去)． 1 【答案】 3 2 14．若将函数  f x  5 x 表示为  f x   a 0  a 1  1  x   a 2  1  x 2     a 5  1  x 5  其中 0a ， 1a ， 2a ，…， 5a 为实数，则 3a ＝______________．【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：      a  5 4 C a  5 5 4 3 1 C a C a 5 4 4 1   a 5  a 3  10 ． 0  a 3  0 法二：对等式：  f x   5 x  a 0  a 1  1  x   a 2  1  x 2     a 5  1  x 5  两边连续对 x求导三次得： 2 60 x  6 a 3  24 (1 a 4  x ) 60 (1  a 5  ，再运用赋值法，令 2 x ) x   得： 1 60 6a ，即 3 a  ． 10 3 【答案】10   15．在  ABC中，M是 BC的中点，AM＝3，BC＝10，则 AB AC ＝______________．【解析】此题最适合的方法是特例法．假设  ABC是以 AB＝AC的等腰三角形，如图， AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝ 34 ． cos∠BAC＝ 34 34 10   ． AB AC   2 34   29 34   AB AC  ＝ cos  BAC  29

【答案】29 16．定义：曲线 C 上的点到直线 l的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l的距离．已知曲线 C1：y ＝x2＋a到直线 l：y＝x的距离等于 C2：x2＋(y＋4) 2 ＝2 到直线 l：y＝x的距离，则实数 a＝______________． d 【解析】C2：x2＋(y＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线 l：y＝x的距离为：  0 ( 4)   2  2 2 ，故曲线 C2 到直线 l：y＝x的距离为 d      d r 2 2 d  ．  ，得： 1 0 2 另一方面：曲线 C1：y＝x2＋a，令 y   2 x x  ，曲线 C1：y＝x2＋a到直线 l：y＝ x的距离的点为( 1 2 ， 1 4 a )， d   2  1 2  (  1 4 2 a )  1 4  a 2 【答案】 7 4   ． a 7 4 17．设 aR，若 x＞0 时均有[(a－1)x－1]( x2－ax－1)≥0，则 a＝______________．【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况： (A) (B)       ( a －－ 2 x －－ ( a －－ 2 x －－ 1) x ax 1) x ax 1 0  1 0  1 0  1 0  ，无解；，无解．因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在 x＞0 的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图) 我们知道：函数 y1＝(a－1)x－1，y2＝x2－ax－1 都过定点 P(0，1)．考查函数 y1＝(a－1)x－1：令 y＝0，得 M( 1 1a  ，0)，还可分析得：a＞1；考查函数 y2＝x2－ax－1：显然过点 M( 1 1a  ，0)，代入得： 2 1    1  a  1 a a      1 0 ，解之得： a   ，舍去 2 a   ，得答案： 2 a  ． 2

【答案】 a  2 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分 14 分)在  ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．已知 cosA＝ 2 3 ， sinB＝ 5 cosC． (Ⅰ)求 tanC的值； (Ⅱ)若 a＝ 2 ，求  ABC的面积．【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。 (Ⅰ)∵cosA＝ 2 3 ＞0，∴sinA＝ 1 cos  2 A  ， 5 3 又 5 cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA ＝ 5 3 cosC＋ 2 3 sinC．整理得：tanC＝ 5 ． (Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝ 5 6 又由正弦定理知： a sin A  c sin C ．，故 c  ． (1) 3 对角 A运用余弦定理：cosA＝ 2 a  ． (2) 2 3 2 2 b c   2 bc or b＝ 3 3 解(1) (2)得： b  3 (舍去)． ∴  ABC的面积为：S＝ 5 2 ．

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