2014年广东暨南大学高等数学考研真题.doc

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2014 年广东暨南大学数学分析考研真题学科、专业名称：统计学、数学学科各专业研究方向：各方向考试科目名称：数学分析考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 1. 计算题 (前 5 小题每题 8 分, 后 4 小题每题 9 分, 共 76 分). (1) lim 0 x  1 tan  x x 2  sin 1 sin  x x . (2) n lim sin n   k 1   2 n  k . 1,2,   . m ) , (2) lim ( x  1 a x 1 1 x 2  a  a 1 x xm )  m ( 其中 ia  0, i (3) 1 0  dx 2 ( x x  1) . 3 2 (4)  arctan(1  . ) x dx (6) n n .  ( 1)  n 2  0 n (6) 设 f 是定义在 (0, ) 内的正值函数, 且有原函数 F , 若满足 2 ( ) xF x  ( )( f x x  0) , 求 ( )F x .

(7) 求 xdy 2 4l x   ydx 2 y  , 其中l 是以点 (1,0) 为中心, 针方向为正向. R R  为半径的圆周曲线, 取逆时 1) ( (8) 计算 2 x dydz  2 y dzdx  2 z dxdy , 其中 S 是锥面 2 x  2 y 2  被平面 z z  和 0 S  h z 所截取的部分（ 0 h  ）, 方向取外侧. 2. 讨论题 (每小题 9 分, 共 27 分). (1) 讨论级数  ln( 1) sin n   1 n 1  n n 是条件收敛还是绝对收敛. (2) 令 ( , f x y )       3 2 x  x  0, x 3 2 y y 2  2 , x  2 y  0 2 y  0 , 讨论 f 在点 (0,0) 的可微性.   内是否一致收敛. ) , (3) 设 ( ) f x n  x 2 n x 2 1  , n  1,2,  讨论函数列{ }nf 在( , 3. 证明题 (共 47 分). (1) 证明 lim n   n p  n x dx sin x  0 ( p  0). (9 分)

(2) 证明    e 0 x sin ax x dx  arctan a . (9 分) (3) 用定义证明极限 lim cos x  0 1 x 1 x 不存在. (9 分) (4) 设 f 是 (   内的可微函数, 且满足 ) , ( ) 0, | f x  f x ( ) |  . 任取 0a , 令 1 2 a n  ( f a ), n   证明{ }na 收敛. 1,2, , n 1  (10 分) (5) 设 f 在[ 1,1] 上二次可导, 证明: 若 f ( 1)   f (0) 0, (1) 1,   f 则存在 ( 1,1)   使得 ( ) 1  . f  (10 分)

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