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2008年北京高考理科数学真题及答案.doc
2008 年北京高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3
至 9 页，共 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知全集U R ，集合
A
x
| 2
≤ ≤ ，
x
3
B
|
x x
1
或
x
4
，那么集合
U
B
A
ð 等于（
A．
C．
≤
| 2
| 2
x
x
x
1
≤
x
4
）
B．
D．
|
x x
3
4
x或≤ ≥
3
| 1
≤ ≤
x
x
2．若
a ，
，
c
b
log 3
log sin
0.52
c
a
f x 在 R 上为增函数”的（
f x x R 存在反函数”是“函数 ( )
B．b
)
π
D．b
，则（
）
a
b
c
c
2
b
A． a
3．“函数 ( )(
2π
5
C． c
a
）
A．充分而不必要条件
C．充分必要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．若点 P 到直线
x 的距离比它到点 (2 0)， 的距离小 1，则点 P 的轨迹为（
1
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
5．若实数 x
y， 满足
1
0
x
y
≥
，
0
x
y
≥
，
0
x
≤
，
则
z
23x
y
的最小值是（
）
A．0
B．1
C． 3
D．9
p q N，
*
6．已知数列 na 对任意的
A． 165
B． 33
7．过直线 y
y
5)
x 对称时，它们之间的夹角为（
x 上的一点作圆
C． 30
2
x
(
）
p
a
D． 21
1)
2
2
满足 p q
a
a
，且 2
a ，那么 10a 等于（
6
q
）
(
y
l
的两条切线 1
l， ，当直线 1
l
2
l， 关于
2
A．30
B． 45
C．60
D．90
8．如图，动点 P 在正方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
的对角线 1BD 上．过点 P 作垂直于平面
BB D D 的直线，与正方体表面相交于 M N， ．设 BP x ，MN y ，则函数
1
1
y
( )
f x
的
图象大致是（
）
D1
D
M
C1
C
B1
NP
B
A1
A
y
O
y
O
x
B．
y
O
x
C．
y
O
x
D．
x
A．
第Ⅱ卷（共 110 分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在题中横线上．
9．已知
(
a i
)
2
，其中i 是虚数单位，那么实数 a
2
i
．
10．已知向量 a 与 b 的夹角为120 ，且
a
b
4
，那么 (2
b
a b 的值为
)
．
11．若 2
x
1 n
3
x
展开式的各项系数之和为 32，则 n
，其展开式中的常数项
为
．（用数字作答）
12．如图，函数 ( )
f x 的图象是折线段 ABC ，其中 A B C， ， 的坐标分别为 (0 4) (2 0) (6 4)
， ， ，，， ，
则 (
f
f
(0))
；
lim
0
x
f
(1
)
x
x
f
(1)
．（用数字作答）
A
y
4
3
2
1
B
1O
C
2
3 4 5 6
x
13．已知函数
( )
f x
2
x
cos
x
，对于
x
① 1
x ； ② 2
x
1
2
x ； ③ 1
x
2
2
x ．
2
π π
x
， 上的任意 1
2 2
x， ，有如下条件：
2
)
2
)
(
f x
恒成立的条件序号是
(
f x
其中能使 1
14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k 棵树种植在
点 (
P x
k
k
y， 处，其中 1 1
x ， 1 1
k ≥ 时，
y ，当
．
2
)
k
x
k
x
k
1
1 5
y
k
y
k
1
T
1
T
k
5
1
k
5
T
2
T
k
5
k
5
2
，
．
( )T a 表示非负实数 a 的整数部分，例如 (2.6)
T
， (0.2) 0
．
T
2
按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为
为
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共 13 分）
；第 2008 棵树种植点的坐标应
．
已知函数
( )
f x
2
sin
x
3 sin
（Ⅰ）求的值；
x
x
sin
π
2
（
0 ）的最小正周期为 π ．
（Ⅱ）求函数 ( )
f x 在区间
2π0
， 上的取值范围．
3
16．（本小题共 14 分）
AC BC
中，
如图，在三棱锥 P ABC
（Ⅰ）求证： PC AB ；
（Ⅱ）求二面角 B AP C
的大小；
（Ⅲ）求点C 到平面 APB 的距离．
，
2
ACB
90
，AP BP AB
P
C
A
，PC AC
．
B
17．（本小题共 13 分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A B C D
有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
， ， ， 四个不同的岗位服务，每个岗位至少
（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求的分布列．
18．（本小题共 13 分）
，求导函数 ( )
f x ，并确定 ( )
f x 的单调区间．
已知函数
( )
f x
2
x b
2
1)
(
x
19．（本小题共 14 分）
已知菱形 ABCD 的顶点 A C， 在椭圆 2
x
23
y
上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1．
4
（Ⅰ）当直线 BD 过点 (0 1)， 时，求直线 AC 的方程；
（Ⅱ）当
ABC
60
时，求菱形 ABCD 面积的最大值．
20．（本小题共 13 分）
对于每项均是正整数的数列
： ， ， ， ，定义变换 1T ， 1T 将数列 A 变换成数列
A a
1
a
a
2
n
1(
n a
a
T A ： 1
， ，
1
)
1
1n
a
， ，
2
．
对于每项均是非负整数的数列
： ， ， ， ，定义变换 2T ， 2T 将数列 B 各项从大到小
B b
1
b
m
b
2
排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 2(
T B ；
)
又定义
(
S B
)
2(
b
1
2
b
2
mb
)m
2
b
1
2
b
2
．
b
2
m
设 0A 是每项均为正整数的有穷数列，令 1
A
k
T T A
2
k
1(
(
))(
k
0 1 2
，，， ．
)
（Ⅰ）如果数列 0A 为 5，3，2，写出数列 1
A A， ；
2
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列 A ，证明 1(
))
S T A
(
(
)
S A
；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 0A ，存在正整数 K ，当 k
K≥ 时，
(
S A
k
)
1
(
S A
k
)
．
参考答案
2．A
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．D
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9． 1
12． 2
5．B
6．C
3．B
4．D
10
2
7．C
8．B
11．5
10． 0
14． (1 2)， (3 402)，
13．②
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）
15．（共 13 分）
解：（Ⅰ）
( )
f x
1 cos 2
x
2
3
2
sin 2
x
3
2
sin 2
x
1
2
cos 2
x
1
2
x
sin 2
π
6
1
2
．
因为函数 ( )
f x 的最小正周期为 π ，且
0 ，
所以
2π
2
，解得 1 ．
π
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
( )
f x
x
sin 2
π
6
1
2
．
因为
0
所以
所以
2
2π
3
≤
x≤ ≤ ，
π
6
1
2
π
6
x
sin 2
≤
x
≤ ，
1
≤ ，
7π
6
π
6
30
， ．
2
P
C
P
C
A
E
A
D
B
B
因此
0
≤
x
sin 2
π
6
1
2
≤ ，即 ( )
f x 的取值范围为
3
2
16．（共 14 分）
解法一：
（Ⅰ）取 AB 中点 D ，连结 PD CD， ．
AP BP
，
PD AB
．
AC BC
，
CD AB
．
PD CD D
AB 平面 PCD ．
PC
平面 PCD ，
．
（Ⅱ） AC BC
BPC
△
又 PC AC
PC BC
， AP BP ，
．
≌△
，
．
PC AB
APC
，
又
ACB
90
，即 AC BC
，且 AC PC C
，
BC 平面 PAC ．
取 AP 中点 E ．连结 BE CE， ．
AB BP
．
， BE
AP
EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影，
CE
．
AP
是二面角 B AP C
BEC
的平面角．
在 BCE△
中，
BCE
90
，
BC ，
2
BE
3
2
AB
，
6
sin
BEC
BC
BE
6
3
．
二面角 B AP C
的大小为
arcsin
6
3
．
平面 APB ．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 AB 平面 PCD ，
平面 APB 平面 PCD ．
，垂足为 H ．
过C 作CH PD
平面 APB 平面 PCD PD
，
CH
CH 的长即为点C 到平面 APB 的距离．
由（Ⅰ）知 PC AB ，又 PC AC
PC 平面 ABC ．
CD
平面 ABC ，
PC CD
．
，且 AB AC A
P
C
H
D
B
A
，
在 Rt PCD△
中，
CD
1
2
AB
，
2
PD
3
2
PB
，
6
PC
2
PD CD
2
．
2
CH
PC CD
PD
2 3
3
．
点C 到平面 APB 的距离为
2 3
3
．
， AP BP ，
．
解法二：
（Ⅰ） AC BC
BPC
APC
△
≌△
又 PC AC
，
PC BC
．
AC BC C
PC 平面 ABC ．
AB
平面 ABC ，
．
（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系 C xyz ．
PC AB
，
则 (0 0 0)
C
，，， ，，， ，， ．
(0 2 0)
A
(2 0 0)
B
设 (0 0
t，， ．
P
)
PB
AB
2 2
，
t ， (0 0 2)
P ，， ．
2
AC
BP
PC
， AB
取 AP 中点 E ，连结 BE CE， ．
， BE
CE
AP
是二面角 B AP C
1 1)
， ， ，
BEC
(0 11)
E ，， ，
EC
AP
(0
，
．
的平面角．
EB
(2
1 1)
， ， ，
z
H
P
E
C
y
A
x
B
cos
BEC
EC EB
EC EB
2
2
6
3
3
．
二面角 B AP C
的大小为
arccos
3
3
．
（Ⅲ） AC BC PC
C 在平面 APB 内的射影为正 APB△
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系 C xyz ．
，
的中心 H ，且CH 的长为点C 到平面 APB 的距离．
BH
HE
2
，
点 H 的坐标为
2 2 2
， ， ．
3 3 3
CH
2 3
3
．
点C 到平面 APB 的距离为
2 3
3
．
17．（共 13 分）
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 AE ，那么
(
P E
)
A
3
A
3
2
4
C A
5
4
，
1
40
即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是
1
40
．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ，那么
(
P E
)
4
A
4
2
4
C A
5
4
，
1
10
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
(
P E
) 1
(
P E
)
．
9
10
（Ⅲ）随机变量可能取的值为 1，2．事件“ 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务，
则
P
(
2)
3
2
C A
5
3
4
3
C A
4
5
．
1
4
所以
P
(
1) 1
P
(
2)
，的分布列是
3
4
P
1
3
4
3
1
4
18．（共 13 分）
解：
( )
f x
2(
x
1)
2
) 2(
x
1)
(2
x b
4
1)
(
x
2
2
x
b
3
(
1)
x
2
1)]
2[
x
(
x
(
b
3
1)
．
令 ( ) 0
f x
，得
x
b ．
1
当 1 1
b ，即 2
b 时， ( )
f x 的变化情况如下表：
x
(
，
b
1)
1b
(
b ， (1
11)
) ，
f x
( )
0
当 1 1
b ，即 2
b 时， ( )
f x 的变化情况如下表：
x
(
， (1
1)
b ，
1)
1b
(
b ，
1
)
f x
( )
0
所以，当 2
b 时，函数 ( )
f x 在 (
，
b
1)
在 (1
) ， 上单调递减．
上单调递减，在 (
b ， 上单调递增，
11)
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