2009年江苏南京财经大学高等代数考研真题.doc

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2009 年江苏南京财经大学高等代数考研真题 1. (15 分) 计算 n 阶行列式 D n = 1 2 3 L n 2 3 4 L 1 3 4 5 L 2 L L L L L n 1 2 L n - . 1 2. (15 分 ) 设 ( ), f x g x 为数域 P 上的两个多项式 , m 为给定的正整数 . 若 ( ) f m ( ) x g m ( ), x 则 ( ) f x g x ( ). 3.(20 分) 已知方程组 (I) ì ïïïï í ïï ïïî 3 x 1 4 x 1 x + 1 x 2 x 2 - - - x 2 - - 2 x 3 x 3 x 4 = - + 3, x 4 6 = = 1, 0, (II) ì ïïïï í ïï ïïî - 2 x x 3 4 x mx 1 2 nx x 3 2 + - - 1 = - x 3 2 x 4 - t - , x 4 = - 5, = - 11, (1) 求方程组(I)的通解； (2) 确定 , ,m n t 的值，使方程组(I)与(II)同解.

4.(25 分) 设 A, B 为 n 阶方阵, E 为 n 阶单位矩阵. 证明: (1) 若 AB = 0, 则秩( A ) + 秩( B )  n. (2) 若 A2 = E, 则秩 ( -A E + 秩 ( ) +A E = n. ) (3) 若 A2 = E, 则 A 的特征值为1, 且 A 可对角化. 5. (20 分) 设 A 为 n 阶正定矩阵，B 为 n 阶实对称矩阵. 证明存在可逆线性变换 =x Ly , 同时化二次型 ( ) =x f x Ax 及 ( ) T =x g x Bx 为标准形，此处 T x = ( , x x 1 2 , L , x n T ) , y = ( , y y 1 2 , L , y n T ) . 6. (25 分) 设 ÎA n nP ´ , V ( Α ) = B Β { | Î n n P ´ 且 AB O }, = 其中 n nP ´ 表示数域 P 上的 n n´ 矩阵空间. 证明： (1) V A 是 n nP ´ 的子空间； ( ) (2) 设 ( r r=A ) , 求 ( V A 的一组基和维数. )

7. (30 分) 设σ 为线性空间 V 的一个线性变换, 且 2 =σ σ 证明： . (1) σ 的特征值为 0 或 1； (2) 若Vl 表示对应特征值l的特征子空间，则 V 1 = σ V V 0 , = - 1 σ 0 ； ( ) (3) V = V 1 Å V 0 , 且σ 只有特征值 0 当且仅当σ 为零变换.

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