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2021年北京高考数学试题及答案.doc
2021 年北京高考数学试题及答案
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合
A
x
A.{ | 0
x
x
1}
| 1
，
x
1
B
x
| 0
，则 A B
x
2
（
）
B.{ | 1
x
x
2}
C.{ |1
x
x
2}
D.{ | 0
x
x
1}
2. 在复平面内，复数 z 满足 (1
)
i z
，则 z （
2
）
A. 1
B.i
C. 1 i
D. 1 i
3.设函数 ( )
f x 的定义域为[0,1] ，则“函数 ( )
f x 在[0,1] 上单调递增”是“函数 ( )
f x 在[0,1] 上的最大值为
(1)
f ”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（
）
A. 3
3
2
5. 双曲线
B.
1
2
C. 1
3
2
D.
3
2
2
2
x
a
2
2
y
b
过点
1
2, 3 ，离心率为 2 ，则该双曲线的标准方程为（
）
A.
2
x
3
y
2 1
B.
2
x
2
y
3
1
C.
2
x
2
2
y
3
1
D.
2
x
3
2
y
2
1
6.已知 na 和 nb 是两个等差数列，且
1
a
k
b
k
为（
）
是常值，若 1
k
5
a ， 5
288
96a
， 1
b ，则 3b 的值
192
A. 64
7.已知函数 ( )
f x
B. 100
C. 128
D. 132
cos
x
cos 2
x
，则该函数（
）
A. 奇函数，最大值为 2
B. 偶函数，最大值为 2
C. 奇函数，最大值为
9
8
D. 偶函数，最大值为
9
8
8.对 24 小时内降水在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义：
小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（ ）
A. 小雨
B. 中雨
C. 大雨
D. 暴雨
9. 已知圆
:
C x
2
2
y
，直线 :L y
4
kx m
，则当 k 的值发生变化时，直线被圆 C 所截的弦长的最小值
为 1，则 m 的取值为（
）
A.
2
B.
2
C.
3
D.
3
10. 数列 na 是递增的整数数列，且 1
a ， 1
a
3
a
2
a
3
a
n
，则 n 的最大值为（
100
）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11.
3
(
x
的展开式中常数项为__________．
41
)
x
12. 已知抛物线
C y
:
2
x ，C焦点为 F ，点 M 在C 上，且
4
FM ，则 M 的横坐标是_______；作 MN x
6
_______．
S
轴于 N ，则 FMN
b
a
(2,1)
13.
， (2, 1)
， (0,1)
c
，则 (
a b c
)
_______； a b
_______．
14. 若点 (cos ,sin )
P 与点 (cos(
Q
),sin(
6
关于 y 轴对称，写出一个符合题意的值___．
))
6
15. 已知 ( )
f x
lg
x
kx
，给出下列四个结论：
2
①若 0
k ，则 ( )
k ，使得 ( )
0
f x 有两个零点；
f x 有一个零点；
k ，使得 ( )
f x 有三个零点；
0
k ，使得 ( )
f x 有三个零点．
0
②
③
④
以上正确结论的序号是_______．
三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知在 ABC
中， 2 cos
b
c
B
，
2
C
．
3
（1）求 B 的大小；
（2）在三个条件中选择一个作为已知，使 ABC
①
c
2
b
；②周长为 4 2 3
；③面积为
S
ABC
存在且唯一确定，并求出 BC 边上的中线的长度．
3 3
4
；
17. 已知正方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
，点 E 为 1
1A D 中点，直线 1
1B C 交平面CDE 于点 F ．
（1）求证：点 F 为 1
1B C 中点；
（2）若点 M 为棱 1 1A B 上一点，且二面角 M CF E
的余弦值为 5
3
，求 1
A M
A B 的值．
1 1
18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合 1 检测法”，即将 k个人的拭子样本合并检测，若为
阴性，则可确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有 100 人，已知
其中 2 人感染病毒．
（1）①若采用“10 合 1 检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为
检测次数 X的分布列和数学期望 E(X)；
1
11
，定义随机变量 X为总检测次数，求
（2）若采用“5 合 1 检测法”，检测次数 Y的期望为 E(Y)，试比较 E(X)和 E(Y)的大小(直接写出结果)．
19. 已知函数
f x
（1）若 0a ，求
y
3 2x
2
x
a
f x
．
1,
1f
在
处的切线方程；
（2）若函数
f x 在
x 处取得极值，求
1
f x 的单调区间，以及最大值和最小值．
20. 已知椭圆
E
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
（1）求椭圆 E的标准方程；
过点 (0, 2)
A ，以四个顶点围成的四边形面积为 4 5 ．
0)
b
（2）过点 P(0，-3)的直线 l斜率为 k，交椭圆 E于不同的两点 B，C，直线 AB，AC交 y=-3 于点 M、N，若
|PM|+|PN|≤15，求 k的取值范围．
21. 定义 pR 数列 na ：对 p∈R，满足：① 1
a
p ， 2
a
0
p
；②
0
,
n N a
4
n
1
；③ ,m n N
，
a
4
n
a
m n
a
m
a
n
,
p a
m
a
n
．
p
1
（1）对前 4 项 2，-2，0，1 的数列，可以是 2R 数列吗？说明理由；
（2）若 na 是 0R 数列，求 5a 的值；
（3）是否存在 p∈R，使得存在 pR 数列 na ，对任意
n N 满足
,
nS
S ？若存在，求出所有这样的 p；若
10
不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1.B 2.D 3.A 4.A 5.A 6.C 7.D 8.B 9.C 10.C
二、填空题
11.-4
12. (1). 5
(2). 4 5
13. (1). 0
(2). 3
14.
5
12
（满足 5
12
15. ①②④
,
k
k Z
即可）
三、解答题
6
16. （1）
；
（2）答案不唯一
由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：
2 2 3 1 cos
2 3
2
2
1
7
；
6
则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：
2
b
2
a
2
b
2
a
2
cos
17. （1）证明见解析；（2） 1
2
3
A M
A B
1 1
3
3
4
3
3
2
21
2
.
．
1
2
320
11
18. （1）① 20 次；②分布列见解析；期望为
E Y
；
（2）若
若
若
p 时，
E X
2
11
p 时，
E X
2
11
2
11
p 时，
E X
E Y
E Y
；
.
19. （1） 4
x
y ；（2）函数
5 0
f x 的增区间为
、
, 1
4, ，单调递减区间为
1,4
，最大
值为1，最小值为
20.（1）
2
x
5
2
y
4
.
1
4
；（2）[ 3, 1)
1
(1,3]
．
21.（1）不可以是 2R 数列；理由见解析；（2） 5
a ；（3）存在；
1
p ．
2
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