2007年宁夏高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2007 年宁夏高考理科数学真题及答案本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 II 卷第 22 题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据 1x ， 2x ， ， nx 的标准差 s  1 [( n x 1  2 x )  ( x  2 x )    ( x n  x 2 ) ] 2 其中 x 为样本平均数柱体体积公式 V Sh 其中 S 为底面面积， h 为高锥体体积公式 V  1 3 Sh 其中 S 为底面面积、 h 为高球的表面积、体积公式 S  2 4π R ， V  其中 R 为球的半径 3 4 π R 3 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第 I 卷 1．已知命题 :p x  R ，sin x ≤ ，则（ 1 ）Ａ． :p    R ，sin x Ｃ． :p    R ，sin x x≥ 1 1x  Ｂ． :p    R ，sin x Ｄ． :p    R ，sin x x≥ 1 1x  2．已知平面向量 (11) b ，， a   (1 1)  ，，则向量 1 2 a  3 2 b （  ）Ａ． ( 2 1)  ，Ｃ． ( 1 0)  ，Ｂ． ( 2 1) ，Ｄ． ( 1 2)  ，

y  6  1  3 O 1   2 Ａ． y 1  6 1 O Ｃ．   2  ） y  6  x x  1   2  O  3 1  x  3 Ｂ． y  1  6 O 1   2 Ｄ． a  ，其前 10 项和 10 10 S  ，则 70  3 x 3．函数 y  x sin 2    π 3    在区间    π 2 ，的简图是（ π    4．已知 na 是等差数列， 10 其公差 d  （）   2 3 1 3 Ｃ．Ｂ．Ａ． 2 3 5．如果执行右面的程序框图，那么输出的 S  （Ａ．2450 Ｃ．2550 Ｂ．2500 Ｄ．2652 Ｄ． 1 3 ） 6．已知抛物线 2 y  2 ( px p  的焦点为 F ， 0) 点 1 ( P x ，，，， 3 1 ( P x 2 2 ( P x y，在抛物线上， 3 y 1 y ) ) 3 ) 2 开始 1k  S  0 k ≤ 50? 是 S   S 2 k k k  1 否输出 S 结束 2x 且 2  x 1  ，则有（ x 3 ） FP Ａ． 1  FP 2  FP 3 Ｃ． 2 FP 2  FP 1  FP 3 Ｂ． FP 1 Ｄ． FP 2 2 2  FP 2 2 2  FP 3  · FP FP 3 1 7．已知 0 x  ， 0 y  ，x a b y ，，，成等差数列，x ，，，成等比数列，则 c d y 2 ) ( a b  cd 的最小值是（Ａ． 0 ）Ｂ．1 Ｃ． 2 Ｄ． 4

8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）Ａ．Ｂ． 4000 cm 3 8000 cm 3 3 3 Ｃ． 2000cm 3 Ｄ． 4000cm 3 9．若 cos 2  π     4   sin   2 2 ，则 cos sin  的值 20 侧视图 20 10 10 20 正视图 20 俯视图为（） 7 2 Ａ．  Ｃ． 1 2 Ｂ．  1 2 Ｄ． 7 2 1 y  在点 2e x (4 e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ 2 ）Ｂ． 24e Ｃ． 22e Ｄ． 2e 10．曲线Ａ． 29 e 2 11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数 7 频数 5 8 5 9 5 10 5 乙的成绩环数 7 频数 6 8 4 9 4 10 6 丙的成绩环数 7 频数 4 8 6 9 6 10 4 s s，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ 1 s 2 3 ） s Ａ． 3  s 1  s 2 s Ｂ． 2  s 1  s 3 s Ｃ． 1  s 2  s 3 s Ｄ． 2  s 3  s 1 12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 1h ， 2h ， h ，则 1 h h h  （ 2 : : ）Ａ． 3 :1:1 Ｂ． 3 : 2 : 2 Ｃ． 3 : 2 : 2 Ｄ． 3 : 2 : 3 第 II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题－第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22 题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的离心率为． 14．设函数 ( ) f x  15．i 是虚数单位， ( x  1)( x 5 10   3 4 i  x a  ) 为奇函数，则 a  ． i  ．（用 a bi 的形式表示， a b  R，） 16．某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点C 与 D ．现，并在点C 测得塔顶 A 的仰角为，求塔高 AB ．测得 BCD CD s  BDC   ，，     18．（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 S ABC 三角形，（Ⅰ）证明： SO  平面 ABC ；（Ⅱ）求二面角 A SC B  90  °，O 为 BC 中点．  的余弦值． BAC  中，侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边 S O 19．（本小题满分 12 分） B 在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0 2)，且斜率为 k 的直线l 与椭圆 2 x 2 2 y  有两个不 1 同的交点 P 和Q ．（I）求 k 的取值范围；（II）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A B，，是否存在常数 k ，使得向量   OP OQ 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．  与 AB 20．（本小题满分 12 分） C A

如图，面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ，可按下面方法估计 M 的面积：在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点，若 n 个点中有 m 个点落入 M 中，则 M 的面积的估计，假设正方形 ABCD 的边长为 2， M 的面积为 1，并向正方形 ABCD 中随机投值为 m S n 掷10000 个点，以 X 表示落入 M 中的点的数目．（I）求 X 的均值 EX ；（II）求用以上方法估计 M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间 ( 0.03 ，内的概率．  ) D A M C B 附表： ( ) P k  k  t  0 t C 10000  0.25 t  0.75 10000 t  k ( )P k 2424 0.0403 2425 0.0423 2574 0.9570 2575 0.9590 21．（本小题满分 12 分）设函数 ( ) f x  ln( x a  )  x 2 （I）若当 x   时， ( ) f x 取得极值，求 a 的值，并讨论 ( ) 1 f x 的单调性； eln 2 ． f x 存在极值，求 a 的取值范围，并证明所有极值之和大于（II）若 ( ) 22．请考生在 A B C，，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲如图，已知 AP 是 O 的切线，P 为切点， AC 是 O 的割线，与 O 交于 B C，两点，圆心 O 在 PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点．（Ⅰ）证明 A P O M （Ⅱ）求 OAM APM ，，，四点共圆；的大小．    O A P B M C 22．Ｂ（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 1O 和 2O 的极坐标方程分别为   4cos    ， 4sin  ．（Ⅰ）把 1O 和 2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过 1O ， 2O 交点的直线的直角坐标方程． 22．Ｃ（本小题满分 10 分）选修 4 5 ；不等式选讲设函数 ( ) f x 1    ． 2 4  x x

（I）解不等式 ( ) f x  ； 2 （II）求函数 y  ( ) f x 的最小值．参考答案一、选择题 1．Ｃ 7．Ｄ二、填空题 13．3 三、解答题 2．Ｄ 8．Ｂ 3．Ａ 9．Ｃ 4．Ｄ 10．Ｄ 5．Ｃ 11．Ｂ 6．Ｃ 12．Ｂ 14． 1 15．1 2i 16．240 17．解：在 BCD△ 中，  CBD    ．   π 由正弦定理得所以 BC   BC sin BDC  sin BDC  CBD  CD sin CD sin CBD  sin s  · sin( )     ．．在 Rt△ ABC 中， AB BC  tan  ACB  tan sin s   · sin( )    ． 18．证明：（Ⅰ）由题设 AB AC SB SC = = =  SA ，连结OA ， ABC△ 为等腰直角三角形，所以 OA OB OC    2 2 SA ，且 AO BC ，又 SBC△ 为等腰三角形，故 SO BC ，且 SO  2 2 SA ，从而 2 OA  2 SO SA  2 ． B S O ．．  所以 SOA△ 为直角三角形， SO AO 又 AO BO O 所以 SO  平面 ABC ．（Ⅱ）解法一：取 SC 中点 M ，连结 AM OM， OM SC AM SC ∴  由 AO BC AO SO SO BC O ，为二面角 A SC B   OMA  ，，  ．  的平面角．所以 AO OM ，又 AM  3 2 SA ，，由（ Ⅰ ）知 SO OC SA AC ，   得 AO  平面 SBC ． M A C ，得

故 sin  AMO  AO AM   2 3 6 3 ．所以二面角 A SC B  的余弦值为  3 3 ．解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA，分别为 x 轴、 y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系 O xyz ．设 (1 0 0) B ，，，则 ( 1 0 0)  ，，，，，，，，． (0 1 0) A (0 0 1) C S SC 的中点   MO SC ∴ ·     M    1 2 10 ，，， 2   0 MA SC ， · 0  ．故    MO SC MA SC MO MA  ，< A SC B ，  ,  的平面角．   MO MA  ， ·   MO MA   MO MA ·  3 3 ， cos   MO     1 2 0 ，，，  1 2     MA     1 2  1 SC ，，，  1 2      ( 1 0 ，，．  1)  等于二面角 z S O M C 所以二面角 A SC B  的余弦值为  3 3 ． x B A y 19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为 y kx  ， 2 代入椭圆方程得 2 x 2 kx (  2 2)  ． 1 整理得    1 2 2  k    2 x  2 2 kx 1 0   ① 直线l 与椭圆有两个不同的交点 P 和Q 等价于   2 8 k  4    1 2 2  k     2 4 k   2 0 ，解得 k   或 2 2 k  2 2 ．即 k 的取值范围为  ∞  ， 2 2          2 2  ， ∞ ．          ( P x （Ⅱ）设 1 y 1 ) ，，，，则 ( Q x 2 y 2 )  ( OP OQ x 1    x y ， 2 1  y 2 ) ，

x 由方程①， 1  x 2   4 2 k 2 1 2 k  ． ② ) 2 2 x  2  ( AB   ． ③ 2 1) ，． y 又 1  y 2  ( k x 1  A 而 ( 2 0) B  所以OP OQ (0 1) ，，，，  与 AB  x 共线等价于 1  x 2   2( y 1  ， y ) 2 将②③代入上式，解得 k  2 2 ．由（Ⅰ）知 k   或 2 2 k  2 2 ，故没有符合题意的常数 k ． 20．解：每个点落入 M 中的概率均为 p  ． 1 4 依题意知 X B    ~ 10000 1 ，． 4    （Ⅰ） EX  10000   1 4 2500 ．（Ⅱ）依题意所求概率为 P     0.03  X 10000    4 1 0.03    ， P     0.03  X 10000    4 1 0.03     P (2425  X  2575) 2425  t  0 t C 10000  t 0.25  10000 1  0.75  t  2574  2574   2426 t C 10000  t 0.25  10000 0.75 t  t C 10000  t 0.25  10000 0.75 t   2426 t  0.9570 0.0423 0.9147   ．  21．解：  （Ⅰ）  ( ) f x 1 x a  依题意有 ( 1) 0 f    ，故  2 x ， a  ． 3 2

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