数学建模——牧场管理问题论文.pdf

发布时间：2022-05-30 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.22M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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合肥工业大学首届数学建模大赛张阳杨茜章利熙 2010 年 6 月 8 日 1

关于牧场管理的数学模型分析目录一．摘要二.问题重述与分析模型一：三. 模型假设四. 符号说明五.模型建立与求解六．模型优缺点分析七．参考文献八、附录（程序代码）模型二：三. 模型假设四. 符号说明五.模型建立与求解六、模型适用范围分析七．模型优缺点分析八．参考文献九、附录（程序代码） 2

关于牧场管理的数学模型分析一．摘要本文主要针对牧场中放牧管理的问题，为了实现牧场牧草资源的充分利用，利用差分方程思想，建立数学模型，并充分考虑牧场羊的总数，四季中牧草的生长和消耗等约束条件，通过 Lingo 求解得到牧场羊的最大承裁量、每年保留的母羊数量夏天为冬天的存储的干草量，经过最优解检验方法对结果进行检验，证实结果为模型的最优解，可以提高牧羊人的经济效益。关键字：牧羊差分方程 LINGO 经济效益二.问题重述与分析一个牧羊人拥有一定面积的牧场,他满怀憧憬地做今后几年的计划,希望能获得满意的收获.他需要考虑以下问题:他应该饲养多少只羊，夏季应存储多少干草用作冬季饲料，为了繁殖,每年保留多大比例的母羊。低洼地的某一类草(多年生黑麦草)的近似平均生长率(见表 A.1) 表 A.1 题 A 表 (一) 季节冬季日生长率/g 0 春季 3 夏季 7 秋季 4 一般母羊的生育期是 5 至 8 年, 每年产一头, 两头或三头. 如果每只母羊仅喂养 5 年就出售,求下面一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数(见表 A.2). 表 A.2 题 A 表 (二) 年龄/年 0~1 1~2 2~3 3~4 4~5 3

生产羊羔/ 0 1.8 2.4 2.0 1.8 头在一年里每头羊所需饲料的平均饲养量为(见表 A.3). 表 A.3 题 A 表 (三) 日需草量冬季春季 /kg 冬季春季夏季秋季 0 1.00 1.65 0 2.10 2.40 1.15 1.35 由以上内容可知：在一定面积的草场进行放牧羊群，羊在每个季节每天需要的草的数量不同，那么草场能放牧多少羊，才能达到既保证草场生产的草不被浪费，又能保证草场的可持续放牧的目的?每年春季母羊都要产小羊羔，不同年龄的母羊在一年中产的羊羔数目是不同的，每年必须卖掉一些变老的羊，留下一部分小羊羔，那么每年要留多少母羊才能保证羊的可持续发展，给放牧者带来持续的经济效益?另外草场各个季节草的生产量不同的，为了保证羊在冬季的生活，放牧者可以把夏季羊吃不完的草贮存起来冬季用，那么夏季要贮存多少草才能保证冬季羊的饲料不会短缺?本文将针对以上问题展开讨论，为放牧者制定出最优的决策方案。 4

模型一：三. 模型假设 1．每年以春天作为一年的开始； 2．一般羊群在春季产羊羔，在秋季将全部公羊和一部分母羊卖掉，保持羊群数量不变； 3. 所有卖出的羊，无论公母，收益一样； 4．可以通过买进羊羔或保留一定数量的母羊以保持羊群数量不变； 5．只关心羊的数量，而不管它们的重量； 6．牧场对草的供应是持续可靠的； 7．草是某一给定的品种； 8．不考虑偶然因素对羊群的影响。 9．牧场运营已步入正轨 10．不同年龄的母羊的自然成活率（指存活一年）为年龄存活率 1~2 0.98 2~3 0.95 3~4 0.80 四. 符号说明 X1——年龄为0~1的母羊； X2——年龄为1~2的母羊； X3——年龄为2~3的母羊； 5

X4——年龄为3~4的母羊； X5——年龄为4~5的母羊； S——牧场的面积； y——夏季贮存的牧草； N——羊群总数量。 bi——第i 年龄组1母羊在1时段内的繁殖率 si——第i 年龄组在1时段内的存活率种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,… , 5 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,…,5 五.模型建立与求解合理的配置牧场所拥有的资源，可以提高牧场的产量，增加经济效益。而保持年龄结构的稳定，则可以保持整个羊群数量的稳定。根据问题分析提供的思路，建立了如下模型: 将种群按年龄大小等间隔的分成 n 个年龄组，比如每 10 岁或每五岁为一个年龄组,本题中每 1 岁为一组。与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，并且时段的间隔与年龄大小对应相等，即以 1 年为一个时段。种群是通过母羊的繁殖而增长的，所以用母羊的数量变化为研究对象比较方便，下面提到的种群数量均只指其中的母羊。记时段k第i 年龄组的种群数量为：Xi(k) k=0,1,2,3,4,5,i=1,2,3,4,5, 第i时段内的繁殖率为bi,即第i年龄组每头母羊在1个时间段内平均繁殖的数量。 6

第i 年龄组在1时段内的存活率为si，即第i年龄组1个时间段内存活数与总数相比。这里我们假设bi、si不随时段k变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。bi、si可由统计资料获得。 Xi（k）的变化规律有以下的基本事实得到：时段k+1第1年龄组种群数量是时段k各年龄组繁殖数量之和，即： X1(k+1)=b1X1(k)+ b2X2(k)+ b3X3(k) +b4X4(k) +b5X5(k) 时段k+1第i+1年龄组的种群数量是时段k第i年龄组存活下来的数量，即： Xi+1(k+1)=siXi(k),i=1,2,3,4 记时段种群按年龄组的分布向量x=(x1, x2, x3, x4, x5) 由繁殖率和存活率构成的矩阵 b1 b2 b3 b4 b5 S1 S2 S3 S4 由于假设可以通过买进羊羔或保留一定数量的母羊以保持羊群数量不变，故X1(k)、X2(k)、X3(k) 、X4(k)、X5(k) (k=1,2,3,4,5)保持不变，上述模型可进一步简化，如下所示：用 x=(x1, x2, x3, x4, x5) 表示母羊的年龄（0` 1，1~ 2，2 ~3， 3~ 4，4 `5）的分布向量，由母羊的繁殖率和存活率可得种群数量的转移 7

矩阵为 P= 0 1.8 2.4 2.0 1.8 q 0.98 0.95 0.80 其中空白处为 0，q 是 0 ~1 岁（即羊羔）的存活率，可以控制。为保持羊群数量 N 不变，需要满足 X=PX 求解：将矩阵等式化为多元方程组问题，用 Lingo 求解。 1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*X5=x1; x1*q=x2; x2*0.98=x3; x3*0.95=x4; x4*0.80=x5; x1+x2+x3+x4+x5=1; Feasible solution found at iteration: 9 Variable X2 X3 8 Value 0.9082289E-01 0.8900643E-01

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