2011 年河北高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4
页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号
填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
..........
3.第Ⅰ卷共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。
一、选择题
, z 为 z 的共轭复数,则
i
zz
z
1
C.i
D. 2i
1.复数 1z
A. 2i
2.函数 2
y
B. i
(
x x
≥ 的反函数为
0)
A.
y
2
x
4
(
x R
)
B.
y
2
x
4
(
x
≥
0)
C.
y
24
x
(
x R
)
D.
y
24 (
x x
≥
0)
3.下面四个条件中,使 a b> 成立的充分而不必要的条件是
A.
a b >
1
B.
a b >
1
C. 2
a
b>
2
D. 3
a
b>
3
4.设 nS 为等差数列 na 的前 n 项和,若 1 1
a ,公差
d , 2
k
S
2
S
k
,则 k
24
A.8
B.7
C.6
D.5
5.设函数 ( )
f x
cos
x
(
> ,将
0)
原图像重合,则的最小值等于
y
( )
f x
的图像向右平移
3
个单位长度后,所得的图像与
A.
1
3
B.3
C. 6
D.9
6.已知直二面角α− ι−β,点 A∈α,AC⊥ι,C 为垂足,B∈β,BD⊥ι,D 为垂足.若 AB=2,
AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于
A.
2
3
B.
3
3
C.
6
3
D.1
7.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本,
则不同的赠送方法共有
A.4 种
B.10 种
C.18 种
D.20 种
8.曲线 y=
2xe +1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为
B.
1
2
A.
1
3
9.设 ( )
1
2
A.-
2
3
f x 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, ( )
1
4
与 C 交于 A,B 两点.则 cos AFB
x 的焦点为 F,直线 2
x
5(
f
2
1
2
f x = 2 (1
x ,则
10.已知抛物线 C: 2
y
1
4
B.
x
)
C.
C.
4
y
=
D.1
D.
)
=
D.
4
5
A.
4
5
B.
3
5
C.
4
3
5
11.已知平面α截一球面得圆 M,过圆心 M 且与α成 060 二面角的平面β截该球面得圆 N.若该球
面的半径为 4,圆 M 的面积为 4,则圆 N 的面积为
A.7
B.9
C.11
12.设向量 a,b,c 满足 a = b =1, a b =
,
1
2
a c b c
,
D.13
=
060 ,则 c 的最大值等于
A.2
B. 3
C. 2
D.1
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号
填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,
在试题卷上作答无效。
3.第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上 (注意:在试卷上....
作答无效....)
13.(1- x )20 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为:
. 2 y2
14.已知 a∈(
2
,),sinα=
5
5
,则 tan2α=
15.已知 F1、F2分别为双曲线 C:
2
x
9
-
2
y
27
=1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0),AM
为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| =
.
16.己知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B2C3D4的棱 BB1 、CC1上,且 B1E=2EB, CF=2FC1,则面 AEF
与面 ABC所成的二面角的正切值等于
.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效
.........)
△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90°,a+c= 2 b,求
C.
18.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效
.........)
根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种
保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立
(I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率;
(Ⅱ)X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 X 的期望。
19.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效
中, AB CD
.........)
如图 ,四 棱锥 S ABCD
.
CD SD
2,
1
AB BC
, BC CD
,侧 面 SAB 为等 边三 角形,
(Ⅰ)证明: SD
(Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小.
平面 ;
SAB
20.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效
设数列 na 满足 1
a 且
0
1
(Ⅰ)求
na 的通项公式;
.........)
1
a
1
a
1.
1
n
1
n
(Ⅱ)设
b
n
1
a
n
n
1
,
n
记S
n
k
1
b
k
,
S
证明:
n
1.
21.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效
.........)
已知 O 为坐标原点,F 为椭圆
C x
:
2
1
在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 - 2
2
y
2
OA OB OP
0.
的直线l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足
(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上;
(Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上.
22.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效
.........)
(Ⅰ)设函数
( )
f x
ln(1
x
)
2
x
2
x
,证明:当 0x> 时, ( ) 0
f x > ;
(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取
20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证明:
p
9
(
10
19
)
1
2
e
参考答案
评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要
考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;
如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4.只给整数分数,选择题不给中间分。
一、选择题
1—6
二、填空题
BBADCC
7—12
BAADDA
13.0
14.
4
3
15.6
16.
2
3
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.解:由
a c
2
b
及正弦定理可得
sin
A
sin
C
2 sin .
B
…………3 分
又由于
A C
90 ,
B
180
(
A C
),
故
cos
C
sin
C
2 sin(
A C
)
2 sin(90
2 )C
2 cos 2 .C
2
2
cos
C
2
2
sin
C
cos 2 ,
C
cos(45
C
)
cos 2 .
C
…………7 分
因为 0
C
所以 2
C
45
90
,
,
C
C
15
18.解:记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险;
B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;
C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种;
D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买;
(I) (
P A
) 0.5,
(
P B
) 0.3,
C A B
,
…………3 分
(
P C
)
)
)
(
P A
(
P B
) 0.8.
…………6 分
(
P A B
,
(
(II)
D C P D
) 1
(
P C
) 1 0.8 0.2,
X B
~ (100,0.2)
,即 X 服从二项分布,
所以期望
EX
100 0.2
20.
…………10 分
…………12 分
19.解法一:
(I)取 AB 中点 E,连结 DE,则四边形 BCDE 为矩形,DE=CB=2,
连结 SE,则
SE
AB SE
,
3.
又 SD=1,故 2
ED
2
SE
2
SD
,
所以 DSE
为直角。
由
AB DE AB SE DE SE E
,
,
…………3 分
,
…………6 分
得 AB 平面 SDE,所以 AB SD 。
SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。
所以 SD 平面 SAB。
(II)由 AB 平面 SDE 知,
平面 ABCD 平面 SED。
作
SF DE
,
垂足为 F,则 SF 平面 ABCD,
SF
SD SE
DE
3 .
2
作 FG BC ,垂足为 G,则 FG=DC=1。
连结 SG,则 SG BC
,
又
BC FG SG FG G
,
,
故 BC 平面 SFG,平面 SBC 平面 SFG。
作 FH SG ,H 为垂足,则 FH 平面 SBC。
…………9 分
FH
SF FG
SG
3
7
,即 F 到平面 SBC 的距离为
21 .
7
由于 ED//BC,所以 ED//平面 SBC,E 到平面 SBC 的距离 d 也有
设 AB 与平面 SBC 所成的角为α,
则
sin
d
EB
21
7
,
arcsin
21
7
.
21 .
7
…………12 分
解法二:
以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C—xyz。
设 D(1,0,0),则 A(2,2,0)、B(0,2,0)。
y
0,
z
z BS
0.
( ,
x y
2, )
z
,
DS
(
x
1,
, )
y z
,
2,
y
2, ),
x
则
0,
又设 ( ,
, ),
S x y z
AS
AS
(
x
|
BS
由|
(I)
|
|
得
(
x
2
2)
(
y
2
2)
2
z
2
x
(
y
2
2)
2
z
,
故 x=1。
DS
由
|
| 1
BS
y
得
2
2
z
1,
又由
|
| 2
2
x
得
(
y
2
2)
2
z
4,
即 2
y
2
z
4
y
1 0,
y
故
1
2
,
z
3
2
.
…………3 分
于是
S
(1,
AS
),
1
3
,
2 2
( 1,
BS
),
3
3
,
2 2
(1,
3
3
,
2 2
)
,
DS
(0,
1
3
,
2 2
DS AS
),
DS BS
0,
0.
故
DS
AD DS
,
BS
,
又
AS BS
S
,
所以 SD 平面 SAB。
(II)设平面 SBC 的法向量 (
a m n p
…………6 分
)
,
a BS a CB a BS
,
,
则
0,
,
,
a CB
0.
BS
又
(1,
CB
),
3
3
,
2 2
(0,2,0),
故
n
3
2
0.
m
2
n
3
2
p
0,
…………9 分
取 p=2 得 (
a
,
AB a
cos
|
3,0,2),
AB a
|
AB
a
|
|
AB
又
( 2,0,0)
。
21
7
.
故 AB 与平面 SBC 所成的角为
arcsin
21
7
.
20.解:
(I)由题设
1
a
1
n
1
1
a
n
1
1,
即
1{
1
na
}
是公差为 1 的等差数列。
又
1
a
1
1
1,
故
1
a
n
1
.
n
na
所以
11
n
(II)由(I)得
.
1
a
n
1
n
1
n
n
1
,
n
n
,
…………8 分
b
n
1
n
1
n
1
n
S
n
21.解:
n
b
k
k
1
k
1
(
1
k
1
k
1
) 1
1
n
1
1.
…………12 分
(I)F(0,1),l 的方程为
y
2
x
1
,
代入
2
x
2
y
2
并化简得
1
24
x
2 2
x
1 0.
设 1
(
,
A x y B x y P x y
3
),
),
(
(
,
1
,
2
2
3
…………2 分
),
x
则 1
2
4
6
,
x
2
6
,
2
4
x
1
x
2
2 ,
2
y
1
y
2
2(
x
1
x
2
) 2 1,
x
由题意得 3
(
x
1
x
2
)
2
2
,
y
3
(
y
1
y
2
)
1.
所以点 P 的坐标为
(
2
2
, 1).
经验证,点 P 的坐标为
(
2
2
, 1)
满足方程