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2014年安徽高考文科数学真题及答案.doc
2014 年安徽高考文科数学真题及答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求．
（1）【2014 年安徽，文 1，5 分】设 i 是虚数单位，复数 3
i
（A） i
1
【答案】D
（B） i
（
2i
1 i
（C） 1
）
（D）
【解析】复数
3
i
2i
1 i
i
2i 1 i
1 i 1 i
i
2i 2
2
1
，故选 D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基础题
（2）【2014 年安徽，文 2，5 分】题“
x R x
,
（ A ）
x R x
,
2
x
（ B ）
0
x R x
,
2
x
”的否定．．是（
0
）
2
x
（ C ）
0
x
0
,
R x
0
2
x
0
（ D ）
0
x
0
,
R x
0
2
x
0
0
【答案】C
【 解 析 】 根 据 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 ， 则 命 题 “
x
0
,
R x
0
2
x
0
，故选 C．
0
x R x
,
2
x
” 的 否 定
0
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
（3）【2014 年安徽，文 3，5 分】抛物线
y
x 的准线方程是（
21
4
）
（A） 1
y
（B） 2
y
（C） 1
x
（D） 2
x
【答案】A
【解析】抛物线
y
x 的标准方程为 2
x
21
4
y ，焦点在 y 轴上， 2
4
线方程
y
p
2
，故选 A．
1
p ，∴ 1
4
p ，∴准
2
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在
位置．
（4）【2014 年安徽，文 4，5 分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（
）
（A）34
（B）55
（C）78
（D）89
【答案】B
【解析】第一次循环得 2,
z
第三次循环得 5,
z
x
1,
y
x
3,
y
；第二次循环得 3,
2
z
；第四次循环得 8,
5
z
x
2,
y
；
3
x
5,
y
；
8
1
第五次循环得 13,
z
x
8,
y
；第六次循环得 21,
13
z
x
13,
y
；
21
第七次循环得 34,
z
x
21,
y
；第八次循环得 55,
34
z
x
34,
y
；退出循环，
55
输出 55，，故选 B．
【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属
于一道基础题．
（5）【2014 年安徽，文 5，5 分】设
a
log 7
3
（B） c a b
，
b ， 0.8
c ，则（
3.32
）
（C） c b a
（D）
（A） b a c
a c b
【答案】B
【解析】
1 log 7 2
，
3
b
3.32
， 0.8 1
c
，则 c a b
，故选 B．
2
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．
（6）【2014 年安徽，文 6，5 分】过点
P
的直线 l 与圆 2
3, 1
x
2
y
有公共点，则 l 的
1
倾斜角的取值范围是（
）
（A） 0,
6
（B） 0,
3
（C） 0,
6
（D） 0,
3
【答案】D
【解析】由题意可得点
P
设为 k ，则直线方程为
在圆 2
3, 1
x
k x
1
y
2
y
1
的外部，故要求的直线的斜率一定存在，
1 0
．根据直线和圆有
3
k
kx
y
，即
3
交 点 、 圆 心 到 直 线 的 距 离 小 于 或 等 于 半 径 可 得
0 0
2
k
1
3
k
1
1
， 即
2
3
k
2 3
k
1
k
2
1
，解得 0
故选 D．
k ，故直线 l 的倾斜角的取值范围是 0,
3
3
，
【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数
学思想，属于中档题．
（7）【2014 年安徽，文 7，5 分】若将函数 ( )
f x
sin 2
x
cos2
x
的图象向右平移个单位，
所得图象关于 y 轴对称，则的最小正值是（ ）
（C） 3
8
8
4
（B）
（A）
（D） 5
4
【答案】C
2
【解析】函数 ( )
f x
sin 2
x
cos 2
x
2 sin 2
x
4
图象向右平移的单位，图象是函数
y
2 sin 2
x
4
2
，
图象关于 y 轴对称，可得 2
k
4
，即
2
k
2
8
，当
k 时，的
1
最
小正值是 3
8
，故选 C．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．
（8）【2014 年安徽，文 8，5 分】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积
为（ ）
（A） 23
3
【答案】A
（B） 47
6
（C） 6
（D） 7
【解析】由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，
正方体棱长为 2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为 1，故几何体的体积为：
V
正方形
2
V
棱锥侧
=2 2 2 2
1 1 1
1 1
3 2
23
3
，故选 A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状．
（9）【2014 年安徽，文 9，5 分】若函数 ( )
f x
|
1|
x
| 2
的最小值为 3，则实数 a 的
x a
|
值为（ ）
（A）5 或 8
4 或 8
【答案】D
（B） 1 或 5
（C） 1 或 4
（D）
【解析】
a
2
1
a 时，
2
a
，
f x
2
1
x
x ，
f x
1 2
x
x a
3
x a
1
a
2
1
；
1 2
x
x a
x a
1
1
；
a
2
a 或 2 3
1 3
2
3
x a
，
1
2
a
a ，
a 或
8
x ，
f x
1
a ，
5
1 2
x
x a
a ， 1
5
，故舍去；
2
a
a 时，
2
1
x ，
1
a
2
x a
f x
1 2
x
3
x a
；
1 2
a
3
，
1
f x
x
a
2
1 2
x
x a
；
x a
1
1
a
2
x ，
a
2
f x
1 2
x
x a
a 或
2
3
3
x a
，
1
1
a
2
a ，∴
2
1 3
a 或
1
a ，
4
a 时，
1
，故舍去；
1 2
a
a
2
综上，
a 或 8，故选 D．
4
【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．
（10）【2014 年安徽，文 10，5 分】设 a
,
y y y y
4
,
,
2
3
和 1
均由 2 个 a
可能取值中的最小值为
4 |
为非零向量，|
，b
| 2 |
b
y
x
和 2 个 b
排列 而成. 若 1
1
，则 a
2
|a
的夹角为（ ）
与 b
|
a
y
x
2
2
，两组向量 1
y
x
3
3
，
2
,
,
,
x x x x
4
3
y
x
4
4
所有
（A） 2
3
0
【答案】B
【解析】由题意，设 a
与 b
y
x
1
1
y
x
1
1
①
②
足；
y
x
2
2
y
x
2
2
（B）
3
（C）
6
（D）
的夹角为，分类讨论可得：
y
x
3
3
y
x
3
3
x
y
4
4
x
y
4
4
a a a a b b b b
a a a b b a b b
2
a
10
，不满足；
2
a
5
4
2
a
cos
，不满
y
x
1
1
y
x
2
2
y
x
3
3
x
y
4
4
a b
8
a
2
4
③
a
4
cos
2
，满足题意，此时
cos
，
1
2
∴ a
与 b
的夹角为
3
，故选 B．
【点评】本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡的相应位置．
（11）【2014 年安徽，文 11，5 分】
3
4
16
81
+log
3
5
4
log
3
4
5
．
【答案】 27
8
【解析】
3
4
16
81
+log
3
5
4
log
3
3
4
5
2
3
log
3
5 4
4 5
27
8
4
【点评】本题考查分数指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力．
（12）【2014 年安徽，文 12，5 分】如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边
BC
，
2 2
过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 1A ；过点 1A 作 AC 的垂线，垂足为 2A ；过
点 2A 作 1AC
的垂线，垂足为 3A ；…，以此类推，设
则 7a
．
【答案】 1
4
BA a ， 1
A A
AA a ， 1
2
1
2
a ，…， 5
A A
6
3
a ，
7
【解析】∵等腰直角三角形 ABC 中，斜边
BC
2 2
，
sin 45
AA
1
AB
a
，即 2
a
1
2
2
，
2
2
a
同理 3
a
2
a
， 4
a
3
2
2
，
2
2
由归纳推理可得 na 是公比
1
4
【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据等腰直角三角形之间的关系，得到数列 na 是
q 的等比数列，首项 1
a ，则
2
2
2
2
2
a
7
2
．
6
公比
q 的等比数列是解决本题的关键．
2
2
（ 13 ）【 2014 年 安 徽 ， 文 13 ， 5 分 】 不 等 式 组
为
．
【答案】4
x
x
x
2 0
4 0
2 0
y
2
3
y
y
表 示 的 平 面 区 域 的 面 积
【解析】由不等式组
x
x
x
2 0
4 0
2 0
y
2
3
y
y
作平面区域如图，由图可知
A
2,0
，
C
0,2
，
联立
x
x
2
3
y
y
4 0
2 0
，解得：
B
8, 2
．∴
BC
8 0
2
2 2
2
4 5
．
点 A 到直线 2
y
x
的距离为
4 0
d
1 2 2 0 4
2
1
2
2
2 5
5
．
BCS
1
2
BC d
1
2
4 5
2 5
5
．
4
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
（14）【2014 年安徽，文 14，5 分】若函数
x R 是周期为 4 的奇函数，且在
0,2 上
f x
5
的解析式为
f x
1
x
x
sin
x
0
1
x
x
1
2
【答案】 5
16
，则 29
4
f
f
41
6
．
【解析】函数
f x
x R 是周期为 4 的奇函数，且在
0,2 上的解析式为
f x
1
x
x
sin
x
0
1
x
x
1
2
，
则
29
4
f
41
6
f
8
3
4
f
8
7
6
f
3
4
f
7
6
f
3
4
f
7
6
3
4
1
3
4
sin
7
6
5
16
f
．
【点评】本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．
（15）【2014 年安徽，文 15，5 分】若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件：（ⅰ）直线 l 在点
P x y 处与曲线 C 相切；（ⅱ）曲线 C 在 P 附近位于直线l 的两侧，则称直线 l 在点
,
0
0
P 处“切过”曲线 C . 下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）
①直线 :
②直线 :
③直线 :l y
④直线 :l y
⑤直线 :
y
1
0
1,0
0,0
处“切过”曲线 C ：
l y 在点
P
l x 在点
P 处“切过”曲线 C ：
0,0
x 在点
P
0,0
x 在点
P
x 在点
1,0P
l y
1
处“切过”曲线 C ： sin
y
处“切过”曲线 C ： tan
y
处“切过”曲线 C ： ln
．
y
x
3
x ；
y
(
x
2
1)
；
x
；
x
；
【答案】①③④
【解析】对于①，由
y
3
x ，得
y
切线，又当 0
x 时 0
y ，当 0
，则
23
x
，直线 0
xy
y ，满足曲线 C 在
x 时 0
P
0
0
y 是过点
P
0,0
的曲线 C 的
0,0
附近位于直线 0
y
两侧，∴命题①正确；
y
对于②，由
x
存在，在点
1,0
21
，得
y
2
x
1
，则
xy
1
，而直线 l ：
0
x 的斜率不
1
P 处不与曲线 C 相切，∴命题②错误；
对于③，由 sin
y
x
，得 cos
y
x
，则
xy
0 1
，直线 y
x 是过点
P
0,0
的曲线的
时 sin
x
x
，满足曲线 C 在
P
0,0
附
切线，又
x
2
,0
时 sin
x
x
，
x
0,
2
近位于直线 y
x 两侧，∴命题③正确；
6
对于④，由 tan
y
x
，得
y
1
2
cos
x
，则
xy
0 1
，直线 y
x 是过点
P
0,0
的曲线
的切线，又
x
2
,0
时 tan x
x ，
x
0,
2
附近位于直线 y
x 两侧，∴命题④正确；
时 tan x
x ，满足曲线 C 在
P
0,0
对于⑤，由 ln
，得
y
x
y
，则
1
x
xy
，曲线在
1 1
1,0P
处的切线为
y
x ，
1
设
g x
，得
g x
1 ln
x
x
11
，当
x
x
0,1
时， 0
g x
，当
1,
x 时，
g x
0
．∴
g x 在
0, 上有极小值也是最小值，为 1
g
．∴
0
y
x 恒在
1
y
的上方，不满足曲线在点 P 附近位于直线 l 的两侧，
ln
x
命题⑤错误．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，
训 练 了 利 用 导 数 求 函 数 的 最 值 ， 判 断 ③④ 时 应 熟 记 当
x
0,
2
时 ，
tan
x
x
sin
x
，该题是中档题．
三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答
写在答题卡上的指定
区域内．
（16）【2014 年安徽，文 16，12 分】设 ABC
的内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，
且 3
b ， 1c ， ABC
的面积为 2 ，求 cos A 与 a 的值．
解 ： 由 题 可 得 1 3 1 sin
2
A
， 故
2
sin
A
2 2
3
。 又 因 为 2
sin
A
2
cos
A
1
， 所 以
cos
A
1 sin
2
A
。当
1
3
cos
A 时，由余弦定理可得 2
a
9 1 2 3 1
1
3
1
，得
3
8
a
2 2
；当
cos
A 时，由余弦定理可得 2
a
9 1 2 3 1
1
3
1
，得 2 3
3
a
12
．
【点评】本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属
于中档题．
（17）【2014 年安徽，文 17，12 分】某高校共有学生 15000 人，其中男生
10500 人，
女生 4500 人. 为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用
分层抽样
的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
7
（2）根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方
图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[0,2] ， (2,4] ， (4,6] ， (6,8] ，
(8,10] ，(10,12] ，
估计该校学生
每周平均体育
运动时间超过
4 小时的概率；
(
P K
2
k
)
0
0k
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
（3）在样本数据中，有 60 位女生的每周
平均体育运动时间超过 4 小时，请完
成每周平均体育运动时间与性别列
联表，并判断是否有 95%的把握认为
“该校学生的每周平均体育运动时间
与性别有关”.
附：
2
K
(
2
(
n ad
)(
)
bc
a b c d a c b d
)(
)(
．
)
解：（1）
300
4500
15000
，所以应收集 90 位女生的样本数据．
90
（2）由直方图知每周平均体育运动超过 4 小时的频率为
1 2
0.1 0.025
0.75
，所以
该校学生每周平均体
育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75 ．
（3）由（2）知，300 位学生中有 300 0.75 225
（位）的每周平均体育运动时间超过 4
小时，75 人的每周
平均体育运动时间不超过 4 小时。又因为样本数据中有 210 份是关于男生的，
90 份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如右上表。结合列
联表可得
2
K
300 165 30 45 60
每周平均运动时间不超过 4 小时 45
75 225 210 90
每周平均运动时间超过 4 小时 165
100
21
2
4.762 3.841
，故
有 95%的把握认为
总计
210
“该校学生的每周平均体育运动时间与
性别有关”．
男生 女生 总计
30
60
90
75
225
300
【点评】本题主要考查独立性检验等基础知识，考查数形结合能力、运算求解能力以及应用
用意识，考查必然与或然思想等，属于中档题．
8
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