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2002年天津高考文科数学真题及答案.doc
2002 年天津高考文科数学真题及答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）直线 (1
)
a x
与圆 2
x
1 0
y
2
y
2
x
相切，则 a 的值为 (
0
)
A． 1
B． 2
C．1
D． 3
2．（5 分）已知 m ， n 为异面直线， m 平面， n 平面 ，
l
，则 (l
)
A．与 m ， n 都相交
C．与 m ， n 都不相交
B．与 m ， n 中至少一条相交
D．至多与 m ， n 中的一条相交
3．（5 分）不等式 (1
x
)(1 |
x
|)
的解集是 (
0
)
A．{ | 0
x
x
1}
B．{ |
x x 且
0
x
1}
C．{ | 1
x
x
1}
D．{ |
x x 且
1
x
1}
4．（5 分）函数
y
x
a 在[0 ，1] 上的最大值与最小值的和为 3，则 (
a
)
A． 1
2
B．2
C．4
D． 1
4
5．（5 分）在 (0,2 ) 内，使 sin
， 5 )
4
A． (
(
4
4
， )
2
， 5 )
4
C． (
x
cos
x
成立的 x 的取值范围是 (
)
B． (
D． (
4
4
， )
，
， 3 )
)
2
5
4
(
6．（5 分）设集合
M x x
{ |
k
2
，
1
4
k Z ，
}
N
{ |
x x
k
4
，
1
2
k Z ，则 (
}
)
A． M N
B． M N
C． M N
D． M N
7．（5 分）椭圆 2
x
5
2
ky
的一个焦点是 (0,2) ，那么 k 等于 (
5
)
A． 1
B．1
C． 5
D． 5
8．（5 分）正六棱柱
ABCDEF A B C D E F
1 1
1 1
1
1
的底面边长为 1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱侧
面对角线 1E D 与 1BC 所成的角是 (
)
A． 90
B． 60
C． 45
9．（5 分）函数
y
2
x
bx
(
c x
是单调函数的充要条件是 (
[0,
))
A． 0b
B． 0b
C． 0
b
D． 30
)
D． 0
b
10．（5 分）已知 0
A． log (
) 0
a xy
，则有 (
1
a
x
y
)
B． 0 log (
a xy
) 1
C．1 log (
a xy
)
2
D． log (
a xy
)
2
11．（5 分）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有 (
)
A．8 种
B．12 种
C．16 种
D．20 种
12．（5 分）平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 (3,1)
A
、 ( 1,3)
B ，若点 C 满足
OC
OA
OB
，其中、 R ，且
，则点 C 的轨迹方程为 (
1
)
A． 3
x
2
y
11 0
C． 2
x
y
0
B．
(
x
2
1)
(
y
2
2)
5
D． 2
y
x
5 0
二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
13．（4 分）据新华社 2002 年 3 月 12 日电，1958 年到 2000 年间，我国农村人均居住面积如
下图所示其中，从
到
年的五年间增长最快．
14．（4 分）已知 sin 2
sin (
(
2
,
))
，则 cot
．
15．（4 分）甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下（单位：
/
t hm
2
)
品种
第 1 年
第 2 年
第 3 年
第 4 年
第 5 年
甲
乙
9.8
9.4
9.9
10.3
10.1
10.8
10
9.7
10.2
9.8
其中产量比较稳定的小麦品种是
．
16．（4 分）设函数 ( )
f x 在 (
内有定义，下列函数（1）
)
,
y
|
( ) |
f x
；（2）
y
2(
xf x
)
；
（3）
y
f
(
x
；（4）
)
y
( )
f x
f
(
x
中必为奇函数的有
)
（要求填写正确答案的
序号）．
三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）
17．（12 分）在等比数列{ }na 中，已知 6
a
a
4
， 3 5
a a ，求{ }na 前 8 项的和 8S ．
24
64
18．（12 分）已知 2
sin 2
sin 2 cos
cos2
1
， (0,
)
2
，求 sin、 tan的值．
19．（12 分）选做题：（甲、乙两题任选一题作答）
甲、如图，正三棱柱
ABC A B C
1 1
1
的底面边长为 a ，侧棱长为 2a ．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，并写出点 A 、 B 、 1A 、 1C 的坐标；
（Ⅱ）求 1AC 与侧面 1 1
ABB A 所成的角
乙、如图，正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直．点 M
在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若
（Ⅰ）求 MN 的长；
（Ⅱ）当 a 为何值时， MN 的长最小；
CM BN a
(0
a
2)
．
（Ⅲ）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小．
20．（12 分）某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是 0.5（相互独
立），
（1）求至少 3 人同时上网的概率；
（2）至少几人同时上网的概率小于 0.3？
21．（12 分）已知 0
a ，函数
( )
f x
3
x
， (0,
x ，设 1
a
)
x ，记曲线
0
y
( )
f x
在点 1(x ，
1(
f x 处的切线为 l ，
))
（1）求 l 的方程；
（2）设 l 与 x 轴交点为 2(x ， 0) 证明：
1
3
a
；
2x
①
②若
2x
1
3
a 则
1
3
a
x
2
．
x
1
22．（14 分）已知两点 ( 1,0)
M ， (1,0)
N
，且点 P 使 MP MN
成公差小
，PM PN
， NM NP
于零的等差数列．
（1）点 P 的轨迹是什么曲线？
（2）若点 P 坐标为 0(x ， 0)y ，记为 PM
与 PN
的夹角，求 tan．
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
参考答案与试题解析
1．（5 分）直线 (1
)
a x
与圆 2
x
1 0
y
2
y
2
x
相切，则 a 的值为 (
0
)
A． 1
B． 2
【解答】解：由圆心到直线的距离可知：
C．1
|1
a
2
)
(1
a
1|
2
1
故选： A ．
D． 3
1
，
(2
2
a
)
(1
2
a
)
1
，
a ．
1
2．（5 分）已知 m ， n 为异面直线， m 平面， n 平面 ，
l
，则 (l
)
A．与 m ， n 都相交
C．与 m ， n 都不相交
B．与 m ， n 中至少一条相交
D．至多与 m ， n 中的一条相交
【解答】解：由题意， l 与 m ， n 都相交且交点不重合时， m ， n 为异面直线；
若 l 与 m 相交且与 n 平行时， m ， n 为异面直线；
若 l 与 m ， n 都不相交时，又因 m ， l ，所以 / /
l m ，同理 / /
l
n ，则 / /m n ．
故选： B ．
3．（5 分）不等式 (1
x
)(1 |
x
|)
的解集是 (
0
)
A．{ | 0
x
x
1}
B．{ |
x x 且
0
x
1}
C．{ | 1
x
x
1}
D．{ |
x x 且
1
x
1}
【解答】解：求不等式 (1
x
)(1 |
x
|)
的解集
0
则分两种情况讨论：
情况
1:
1
0
x
1 |
| 0
x
即：
1
x
1
X
1
则： 1
．
1x
情况
2 :
1
0
x
1 |
| 0
x
即：
X
X
1
1
X
或
1
则：
x
1
两种情况取并集得{ |
x x 且
1
x ．
1}
故选： D ．
4．（5 分）函数
y
x
a 在[0 ，1] 上的最大值与最小值的和为 3，则 (
a
)
A． 1
2
B．2
C．4
D． 1
4
【解答】解：根据题意，由
y
x
a 的单调性，
可知其在[0 ，1] 上是单调函数，即当 0
x 和 1 时，取得最值，
即 0
a
1
a
，
3
再根据其图象，可得 0
a ，
1
则 1
a ，
2
即 2
a ，
故选： B ．
5．（5 分）在 (0,2 ) 内，使 sin
， 5 )
4
A． (
(
x
cos
x
成立的 x 的取值范围是 (
)
B． (
D． (
4
4
， )
，
， 3 )
)
2
5
4
(
4
4
， )
2
， 5 )
4
C． (
【解答】解： sin
x
cos
x
，
sin(
x
)
4
，
0
2
k
x
4
2
k
(
k Z
，
)
在 (0,2 ) 内，
，
,
x
5
(
)
4 4
故选： C ．
6．（5 分）设集合
M x x
{ |
k
2
，
1
4
k Z ，
}
N
{ |
x x
k
4
，
1
2
k Z ，则 (
}
)
A． M N
B． M N
C． M N
【解答】解：当 2
m （为偶数）时，
k
N
{ |
x x
k
4
1
2
,
k Z
} { |
x x
D． M N
m
2
m Z
1
2
,
}
当 2
m
k
1
（为奇数）时，
N
{ |
x x
k
4
1
2
,
k Z
} { |
x x
m
2
1
4
,
m Z M
}
M N
故选： B ．
7．（5 分）椭圆 2
x
5
2
ky
的一个焦点是 (0,2) ，那么 k 等于 (
5
)
A． 1
B．1
C． 5
D． 5
【解答】解：椭圆 2
x
5
2
ky
即
5
2
x
，
1
2
y
5
k
焦点坐标为 (0,2) ， 2
5 1 4
k ，
，
1
c ，
4
k
故选： B ．
8．（5 分）正六棱柱
ABCDEF A B C D E F
1 1
1 1
1
1
的底面边长为 1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱侧
面对角线 1E D 与 1BC 所成的角是 (
)
A． 90
B． 60
C． 45
D． 30
【解答】解：连接 1E F 、 FD ．
正六棱柱
ABCDEF A B C D E F
1 1
1 1
1
1
的底面边长为 1，则 1
E D E F
1
，
3
FD ，
3
则可知
FE D
1
60
，
故选： B ．
9．（5 分）函数
y
2
x
bx
(
c x
是单调函数的充要条件是 (
[0,
))
)
A． 0b
B． 0b
C． 0
b
D． 0
b
【解答】解：函数
y
2
x
bx
在[0 ， ) 上为单调函数
c
x ，即 0b
．
0
b
2
故选： A ．
10．（5 分）已知 0
A． log (
) 0
a xy
，则有 (
1
a
x
y
)
B． 0 log (
a xy
) 1
C．1 log (
a xy
)
2
D． log (
a xy
)
2
【解答】解： 0
1 log
a
x
y
x
log
a
a
a
1
， log
y
log
a
a
1
a
log (
a
xy
)
log
a
x
log
a
y
2
故选： D ．
11．（5 分）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有 (
)
A．8 种
B．12 种
C．16 种
D．20 种
【解答】解：使用间接法，首先分析从 6 个面中选取 3 个面，共 3
6C 种不同的取法，
而其中有 2 个面相邻，即 8 个角上 3 个相邻平面，选法有 8 种，
则选法共有 3
C 种；
6
8 12
故选： B ．
12．（5 分）平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 (3,1)
A
、 ( 1,3)
B ，若点 C 满足
OC
OA
OB
，其中、 R ，且
，则点 C 的轨迹方程为 (
1
)
B．
(
x
2
1)
(
y
2
2)
5
D． 2
y
x
5 0
且
，
1
OA
OB
A． 3
x
2
y
11 0
C． 2
x
y
0
【解答】解： C 点满足 OC
A 、 B 、 C 三点共线．
C 点的轨迹是直线 AB
B ，
A 、 ( 1,3)
又 (3,1)
直线 AB 的方程为： 1
y
3 1
故 C 点的轨迹方程为 2
y
x
3
x
1 3
5 0
整理得 2
y
x
5 0
故选： D ．
二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
13．（4 分）据新华社 2002 年 3 月 12 日电，1958 年到 2000 年间，我国农村人均居住面积如
下图所示其中，从 1995 到
年的五年间增长最快．
【解答】解：1985 年到 1990 年五年间人均增长的面积为17.8 14.7
3.1
1990 年到 1995 年五年间人均增长的面积为 21.0 17.8 3.2
1995 年到 2000 年五年间人均增长的面积为 24.8 21.0 3.8
3.8
3.2
3.1
故答案为：1995；2000
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