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2007年陕西高考文科数学真题及答案.doc
2007 年陕西高考文科数学真题及答案
注意事项：
1.本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的
试卷类型信息点。
3.所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12
第一部分（共 60 分）
小题，每小题 5 分，共 60 分）。
,6,5,4,3,2,1
1.已知全集
U
集合
A
632
，，
，则集合 CuA等于
（A）{1，4}
（B）{4，5}
（C）{1，4，5}
（D）{2，3，6}
2.函数
)(
xf
lg
1
x
2
的定义域为
（A）［0，1］
（C）［-1，1］
（B）（-1，1）
（D）（-∞，-1）∪（1，+∞）
3.抛物线
x 2 的准线方程是
y
（A）
（C）
4
2
x
x
01
01
（B）
（D）
4
2
y
y
01
01
4.已知
（A）
sin
3
5
4
的值为
5
5
,则
4
sin
（B）
cos
1
5
（C）
1
5
（D）
3
5
5.等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若
S
2
,2
S
4
,10
S
则 4
等于
（B）18
（A）12
6.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、
10 种、30 种、20 种，现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测。若采用分层抽
样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是
（C）24
（D）42
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
7.Rt△ABC 的三个顶点在半径为 13 的球面上，两直角边的长分别为 6 和 8，则球心到平面
ABC 的距离是
（A）5
8.设函数 f(x)=2+1(x∈R)的反函数为 f -1(x),则函数 y= f -1(x)的图象是
（C）10
（B）6
（D）12
9.已知双曲线 C∶
2
2
x
a
2
2
y
b
(1
a
的半径是
＞0,b＞0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的圆
（A）a
(B)b
(C) ab
(D)
2
a
b
2
10.已知 P 为平面 a 外一点，直线 l a,点 Q∈l,记点 P 到平面 a 的距离为 a,点 P 到直线 l
的距离为 b，点 P、Q 之间的距离为 c，则
（A）
(C)
a
a
b
c
c
b
11.给出如下三个命题：
①设 a,b R,且
ab 若,0
b
a
>1,则
a
b
＜1;
（B）c
a
a
(D)
b
b
c
②四个非零实数 a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是 ad=bc;
③若 f(x)=logix,则 f（|x|）是偶函数.
其中正确命题的序号是
（A）①②
（B）②③
（C）①③
（D）①②③
12.某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别
为 v1，v2,v3,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为
（A）
v
3
v
1
v
2
3
（C） 3
321 vvv
（B）
（D）
1
v
1
1
v
1
1
v
2
3
3
1
v
2
1
v
3
1
v
3
第二部分（共 90 分）
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共
16 分）.
5)21(
x
的展开式中 2x 项的系数．．是
13.
.（用数字作答）
14.已知实数 x 、 y 满足条件
x
3
x
2
4
y
3
y
x
,0
,0
y
,0
,0
则
z
2
x
y
的最大值为
.
15.安排 3 名支教教师去 4 所学校任教，每校至多 2 人，则不同的分配方案共有
种.
（用数字作答）
16.如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹
角为 120°，OA 与OC 的夹角为 30°，且 OA ＝ OB ＝1，OC ＝
22
.若OC ＝
OA
,(OB
则R),
的值为
.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分）.
17.（本小题满分 12 分）
设函数
、)(
xf
a
b
.其中向量
a
(
m
,
cos
),
bx
1(
sin
x
),1,
x
R,
且
f
（Ⅰ）求实数 m 的值;
（Ⅱ）求函数 )(xf 的最小值.
18.（本小题满分 12 分）
π(
2
)
2
.
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则
即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为
，且各轮问题能否正确回答互不影响.
1
5
（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.
（注：本小题结果可用分数表示）
19.(本小题满分 12 分)
4
5
、
3
5
、
2
5
、
如图,在底面为直角梯形的四棱锥
P
ABCD
,
中
AD
//
BC
,
ABC
,90
平面PA
v
PA
,3
AD
,2
AB
32
,BC=6.
(Ⅰ)求证:BD
BD 平面
PAC
;
(Ⅱ)求二面角
20. (本小题满分 12 分)
BD
P
A
的大小.
已知实数列 是}{ na
等比数列,其中
a
7
且
,1
a
4,
5
4
,1
a
5
成等差数列.
(Ⅰ)求数列 }{ na 的通项公式;
(Ⅱ)数列 }{ na 的前 n 项和记为 ,nS 证明:
,nS ＜128
( n
,3,2,1
…).
21. (本小题满分 12 分)
3
ax
2
bx
cx
在区间[0,1]上是增函数,在区间
(
,1(),0,
)
上是减函数,又
已知
1(
f
2
)(
xf
3
2
)
.
(Ⅰ)求 )(xf 的解析式;
(Ⅱ)若在区间
,0[ m (m＞0)上恒有 )(xf ≤x成立,求 m的取值范围.
]
22. (本小题满分 14 分)
已知椭圆 C:
2
x
a
2
2
2
y
b
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 .
(Ⅰ)求椭圆 C的方程;
(Ⅱ)设直线 l与椭圆 C交于 A、B两点，坐标原点 O到直线 l的距离为
3
2
，求△AOB面积
的最大值.
参考答案
3．Ｂ
4．Ａ
2．Ｂ
11．Ｃ
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，
每小题 5 分，共 60 分）
1．Ｃ
10．Ａ
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共
16 分）．
13． 40
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分）
17．（本小题满分 12 分）
15．60
16． 6
14．8
12．Ｄ
7．Ｄ
5．Ｃ
8．Ａ
9．Ｂ
6．Ｃ
解：（Ⅰ） ( )
f x
a b
m
(1 sin ) cos
x
x
，
f
π
2
m
1 sin
π
2
cos
π
2
2
，得
1m ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
( )
f x
sin
x
cos
x
1
2 sin
x
π
4
1
，当
sin
x
π
4
1
时，
( )
f x 的最小值为1
2 ．
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为 (
iA i ，，， ，则 1
1 2 3 4)
(
P A ，
)
4
5
(
P A ，
)
2
3
5
(
P A ，
)
3
2
5
(
P A ， 该 选 手 进 入 第 四 轮 才 被 淘 汰 的 概 率
)
4
1
5
)
P
4
(
P A A A A
4
1
2
3
)
(
(
P A P A P A P P
4
)
(
)
(
1
2
3
)
4 3 2 4
5 5 5 5
96
625
．
（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率
P
3
(
P A A A
2
1
4 2
5 5
)
A A A
3
1
1
101
4 3 3
125
5 5 5
1
5
2
．
(
P A
1
)
(
P A P A
2
)
(
1
)
(
P A P A P A
3
)
(
)
(
1
2
)
19．（本小题满分 12 分）
解法一：（Ⅰ） PA ⊥平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ． BD PA
⊥ ．
又
tan
ABD
AD
AB
， tan
3
3
BAC
BC
AB
．
3
P
A
D
E
B
C
∠
ABD
30
，
∠
BAC
60
，
∠
AEB
，即 BD AC⊥ ．
． BD ⊥平面 PAC ．
90
又 PA AC A
（Ⅱ）连接 PE ．
BD ⊥平面 PAC ． BD PE
∠
为二面角 P BD A
AEP
⊥ ， BD AE⊥ ．
的平面角．
在 Rt AEB△
中，
AE AB
sin
ABD
3
，
tan
AEP
AP
AE
，
3
∠
AEP
60
，
二面角 P BD A
的大小为 60 ．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则 (0 0 0)
A ，， ， (2 3 0 0)
B ，， ， (2 3 6 0)
BD
(0 0 3)
，， ，
AP
( 2 3 2 0)
，， ，
C ，， ， (0 2 0)
D ，， ， (0 0 3)
P ，， ，
，， ，
(2 3 6 0)
AC
BD AC
， BD ⊥面 PAC ．
0
BD AP
0
，
又 PA AC A
（Ⅱ）设平面 ABD 的法向量为
m
(0 0 1)
，，
，
． BD AP
⊥ ， BD AC⊥ ，
z
设平面 PBD 的法向量为 (
1)
， ，
n
x
y
BP
则
n
BD
0
，
0
，
n
，
B
x
P
A
D
E
y
C
2 3
2 3
x
x
3 0
2
y
，
解得
0
，
cos m ，
n
m n
m n
x
y
1
2
，
n
3
2
3
2
，
3 3 1
， ，
2 2
．
．二面角 P BD A
的大小为 60 ．
20．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）设等比数列 na 的公比为 (
q q R ，
)
由
a
7
6
a q
1
，得
1
1a
6
q ，从而
a
3
a q
1
，
3
q
a
5
4
a q
1
，
2
q
a
6
5
a q
1
4
．
1
q
a
因为 4
，
a
5
1
a
， 成等差数列，所以 4
a
6
a
6
52(
a
1)
，
即 3
q
q
1
2(
q
2
， 1
1)
q
(
q
2
1)
2(
q
2
1)
．
所以
q ．故
1
2
na
a q
1
n
1
6
q
q
n
1
64
n
1
．
1
2
（Ⅱ）
S
n
n
)
a
1
(1
q
1
q
64 1
1
1
2
1
2
n
128 1
n
1
2
128
．
21．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）
( ) 3
f x
ax
2
2
bx
，由已知 (0)
c
f
f
(1) 0
，
即
0
c
，
3
2
a
b c
解得
0
，
c
b
0
，
3
2
a
．
f x
( ) 3
ax
2
3
ax
，
f
1
2
3
a
4
3
a
2
3
2
，
a ，
2
( )
f x
2
x
3
2
．
3
x
（Ⅱ）令 ( )
f x
x≤ ，即
≤ ，
0
x
(2
x
1)(
x
1)
≥ ，
0
x ≥ ．
1
2
3
3
2
x
x
x
1
2
0 m， 上恒成立，
≤ ≤ 或
0
x
m ≤ ．
0
1
2
又 ( )
f x
x≤ 在区间
22．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c ，依题意
c
a
a
，
6
3
3
，
1b ，所求椭圆方程为
2
x
3
2
y
．
1
(
A x
（Ⅱ）设 1
(
y， ， 2
B x
)
1
y， ．
)
2
（1）当 AB
x⊥ 轴时，
AB ．
3
（2）当 AB 与 x 轴不垂直时，
设直线 AB 的方程为 y
kx m
．
由已知
m
1
2
k
3
2
，得 2
m
3 (
4
2
k
1)
．
把 y
kx m
代入椭圆方程，整理得 2
(3
k
1)
x
2
6
x
1
x
2
6
km
2
3
1
k
，
x x
1 2
2
3(
m
2
3
k
1)
1
．
kmx m
3
2
3 0
，
2
AB
(1
k
2
)(
x
2
x
1
)
2
(1
k
2
)
36
(3
k
2
2
k m
2
1)
2
12(
m
2
3
k
2
1)
1
12(
k
2
1)(3
k
2
(3
k
2
1
2
1)
2
m
)
3(
k
1)
2
2
1)(9
k
2
(3
1)
k
2
3
2
12
k
6
k
4
9
k
2
1
3
12
1
2
k
6
2
9
k
(
k
0)
3
≤
12
2 3 6
4
．
当且仅当 2
9k
，即
1
2
k
综上所述
AB
max
．
2
k 时等号成立．当 0
k 时，
3
3
AB ，
3
当 AB 最大时， AOB△
面积取最大值
S
1
2
AB
max
3
2
3
2
．
Ｂ卷选择题答案：
1．Ｂ
11．Ｄ
12．Ｂ
2．Ｃ
3．Ａ
4．Ｃ
5．Ｂ
6．Ｂ
7．Ａ
8．Ｄ
9．Ｄ
10．Ｃ
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