2009年云南昆明理工大学数学分析考研真题A卷.doc

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2009 年云南昆明理工大学数学分析考研真题 A 卷考生答题须知 1．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。请考生务必在答题纸上写清题号。 2．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。 3．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。 4．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。 1、证明 lim x  )( xf  A 的充分必要条件是 lim x  )( xf  A  )( lim xf x  .(12 分) 2、用定义证明 )( xf 2  在 x ,0[  上连续而非一致连续. (16 分) ) 3、证明：当 0  x  2 时， 2  x  sin  x .(14 分) 4、设 y  x  1( ) ex arccos x  sin 1 1   x x 2 ，求 dy dx .(10 分)

5、设 )(xf 在 (  ,  ) 内具有连续导数且 )( xf 0 ，试证明 )( xy 点，且该驻点为 )(xf 的极值点. (10 分)  x 0 )( txf dt 有唯一驻 6、设 )( xf  sin  1 2  n nx n 分) ， )1( 证明： )(xf 在 (  ,  ) 上一致收敛； )2( 计算  0 )( dx xf .(16 7、将函数 )( xf  x 1 ， 0(  x )2 展成周期为 4 的余弦级数. (12 分) 8、若函数 z  ,( yxf ) 具有二阶连续导数且满足 Laplace 方程 z 2 2  x   z 2 2  y   0 ，证明函数 z  2 ( xf  2 y )2, xy 也满足 Laplace 方程. (14 分) 9、证明曲面 n 1 n  x  y n 1 n   z n 1 n  n 1 n   a ( ， ,   aZn  )0 上任意点处的切平面在坐标轴上的截距的 n 次方之和为 na .(12 分)

10、设一元函数 )(uf 在 1,1 上连续，证明 )( zf dxdydz    1   1  ( uf 1)(  u 2) du ，其中  为单位球 2 x  2 y  z 12  .(10 分) 11、设函数 )(uf 可导， c 为对称于坐标轴的任一封闭曲线，计算积分 2 ( xf  2 y )( x 2 dx  y 2 dy ) .(12 分) I   c 12、计算    I xdydz  ydzdx  ( 2 z  )2 z dxdy ，其中  是锥面 z  2 x  2 y 被平面 0z ， 1z 所截部分的外侧. (12 分)

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