2023年青海考研数学二试题及答案.doc-资料库

2023 年青海考研数学二试题及答案一、选择题：1~10 小题,每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1. y  x ln(e  1  ) 1 x A. y x  e C. y x 【答案】B. 的斜渐近线为( ) B. y x  D. y x  1 e 1 e 【解析】由已知 y  x  ln e   1   1  x ，则 lim x  y x   limln e   x   1   1  x  ln e 1  ， lim x  y   x    lim ln e   x  x     1     1 x  x      lim ln e   x  x     1     1 x  1     lim ln e   x  x     1     1 x  ln e     lim ln 1  x   x 1   1) x  e(  lim x  x x  1) e(  1 e ，所以斜渐近线为 y x  .故选 B. 1 e 2. 函数 ( ) f x A． ( ) F x B． ( ) F x 0 的一个原函数为（）.  0 , 2 x   1   1 x     1)cos , ( x x x    ln     ( x    ln     ( x  1 x 1)cos 1 x 1)cos    x x 2 2 ,   0 x x sin , x x    1, x x sin , x x     0 0 0

C． ( ) F x D． ( ) F x   ln     ( x    ln     ( x   1 x 1)sin 2  x   1 x 1)sin 2  x  ,   0 x x cos , x x   1, x x cos , x x    0 0 0 【答案】D. 【解析】由已知 lim ( ) f x x  0   lim ( ) f x x  0   f (0) 1  ，即 ( ) f x 连续. 所以 ( )F x 在 0x  处连续且可导，排除 A，C. 又 0x  时，[( x  1)cos x   sin ] x  cos x  ( x  1)sin x  cos x 排除 B. 故选 D.    x ( 1)sin x ， 3.设数列{ },{ } y 满足 1 x n x n  y 1  1 2 , x n 1   sin , x y n n 1   1 2 y n ,当 n   时( ). A. nx 是 ny 的高阶无穷小 B. ny 是 nx 的高阶无穷小 C. nx 是 ny 的等价无穷小 D. nx 是 ny 的同阶但非等价无穷小【答案】B. 【解析】在 0,   2     中， sin x  2  x ，从而 1 x n   sin x n  2  x n .又 1 n   y 1 2 y n ，从而 y n x n 1   1  1 2 2  y n x n   4 y n x n    n       4  y 1 x 1  n       4  ，  .故选 B. 所以 lim n   y 4. 若 a A. a C. n 1  0 y x 1 n   by ay   0 0, b  0, 0 b   的通解在 ( 0   上有界，这（）. , B. D. a a ) 0, b 0, b   0 0 【答案】D 【解析】微分方程  y  ay   by  的特征方程为 2 r 0  ar b 0   . ①若 2 4 b a  ，则通解为 0 ( ) y x  e  a x 2 ( C 1 cos 2 4 b a  2 x C  2 sin 2 4 b a  2 x ) ；

②若 2 a 4 b  ，则通解为 0 ( ) e y x C 1      a   2 2 4 b a  2 x         a   2 2 4 b a  2 x     ；  C 2 e ③若 2 a 4 b  ，则通解为 0 ( ) y x , ) y x 在 (   上有界，若由于 ( ) 则①②③中 x   时通解无界，故 0a  . 0a  时，若 0b  ，则 1,2r ，通解为 bi  a x 2 2 1 .  C C x  ( )e  a  ，则①②③中 x   时通解无界，若 2 0 a  ， 2 0 ( ) y x  ( C 1 cos bx C 2  sin bx ) ，在 (   , ) 上有界. 0a  时，若 0b  ，则 1,2r 综上可得 0a  ， 0b  .故选 D.   ，通解为 b ( ) y x  e C 1 bx  e C  2 bx ，在 (   上无界. ) , 5. 设函数 y  ( ) f x 由参数方程 x     | y 2 | t t  | sin t | t 确定，则( ). A. ( ) f x 连续， (0) f  不存在 C. f x 连续， (0) ( ) f  不存在【答案】C B. D. f  存在， ( ) x 在 0x  处不连续 (0) f f  存在， ( ) x 在 0x  处不连续 (0) f 【解析】 lim 0 x  y  lim | 0 t  t | sin t   0 y (0) ，故 ( ) f x 在 0x  连续. f  (0)  lim 0 x  ( ) f x  x f (0)  lim 0 t  | | sin t 2 | t t  t |  0 .  ( ) f x   ( ) y t  ( ) x t  sin t t  3 0  t cos , t t cos t t  0 t t   0 0 sin        t  时， 0x  ； 0 t  时， 0x  ； 0 t  时， 0x  ，故 ( ) x 在 0x  连续. 0 f f f  (0)   lim 0 x    ( ) x  ( ) f x (0) sin t  lim 0 t   t  3 (0)  sin t   lim 0 t    f x  f x cos t  0 3 t cos t t t  0  , 2 9 2   , dx 在 0=  处取得最小值，则 0 = ( ) 故 (0)  f   (0)  lim 0 x  f  不存在.故选 C. 1 x     ( x ) f 2 1 (ln )  6. 若函数

A.  C.  1 ln(ln 2) 1 ln 2 【答案】A. 【解析】已知 ( ) f a  B. ln(ln 2)  D. ln 2   2 1 (ln ) x x d x  a 1    2 d(ln ) x 1 (ln ) a  x   1 a (ln ) x  a  2  1 a 1 (ln 2) a ，则  ( ) f a   1 2 a  a 1 ln ln 2 (ln 2) a a   1 a 1 (ln 2) a 1   a  ln ln 2 ，    1 (ln 2) 1 . ln ln 2 f a 令 ( )  ，解得 0 a   0 故选 A. 7.设函数 ( ) f x  2 ( x  a )ex .若 ( ) f x 没有极值点,但曲线 y  ( ) f x 有拐点,则 a 的取值范 ). 围是( A.[0,1) 【答案】C. B.[1, ) C.[1,2) D. [2, ) 【解析】由于 ( ) f x 没有极值点,但曲线 y  ( ) f x 有拐点，则  ( ) f x  2 ( x  2 x a  )ex 有两个相等的实根或者没有实根， f  ( ) x  2 ( x  4 x a   2)ex 有两个不相等的实根.于是知 4 4 a     16 4(   a 0, 2) 0,   解得1 a  .故选 C. 2 8. ,A B 为可逆矩阵， E 为单位阵， *M 为 M 的伴随矩阵，则 A E O B    *     A. C. | |       * | A B O * | B A O * * B A  * | | B A * * B A  * | | A B       【答案】B 【解析】由于 B. D. | |       * | B A O * | A B O * A B  | | A B * * * * A B  * | B | A          A E A E O B O B    *     A E E O O B O E        |    | || A B O O || A B    | | ，故

A E O B    *     A E O B        1 |    | || A B O O || A B    | |     1  A O 1   1  A B 1  B |      | || A B O O || A B    | | |     A A B | |  1 O |  | 1  |  A A B B | B | | A B || | 1  1        | * | A B O 故选 B. * * A B  * | B A    . | 9. ( , f x x x 3 , 2 1 A. 2 y 1 2 y 2 【答案】B )  ( x 1  2 x 2 )  ( x 1  2 x 3 )  4( x 2  2 x 3 ) 的规范形为 B. 2 y 1 2 y 2 C. 2 y 1  2 y 2  2 34 y D. 2 y 1  2 y 2  2 y 3 【解析】 ( , f x x x 3 , 1 2 )  ( x 1  2 x 2 )  ( x 1  2 x 3 )  4( x 2  2 x 3 )  2 2 x 1  3 2 x 2  3 2 x 3  2 x x 1 2  2 x x 1 3  8 x x 2 3 ，二次型的矩阵为 A  2 1 1      1 3  4 1   4   3  ， | A  E  |   2  1 1 1 3   4  1 4 3     (    2  7) 1 1 1 3   4  0 1 1   (   7)  2  2 1 1 1   4 0 0 1       7)(  ( 3) 0  ，   1 2 3,    7,  3  ，故规范形为 2 y 1 0 y ，故选 B. 2 2  10.已知向量组 1  1     2 ,     3    2  2     1 ,     1    1  2     5 ,     9    2  1     0     1   ，若 既可由 1 ,  线性表 2 示，又可由 1 ,  线性表示，则  ( 2 )

k A. 3      3 , k R     4   1      1 , k R     2   【答案】D C. k B. k      3    5 , k R   10  D. k 1      5 , k R     8   【解析】设      ，则 1 1 k 1 1     k k k k 2 2 3 1 4 2     ，对关于     0 k 2 k 4 k 3 2 1 2 k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形， 1 2 4 3 , , , A     2    ( , , , 1 2 1 )  1 2 2 1 3 1      2  5  9  1  0 1        1 0 0 0 1 0 0 0 1      3 1  1      ，解得 ( , k k k k 1 , , 2 3  1 1   2  k k 2 T ) 4  C ( 3,1, 1,1)   T  (3, 1,1,0)  T  (3 3 , 1   C  C ,1  C C , ) T ，故  (3 3 ) C   1  ( C  1)  2  1 C  5(1 C  8(1 C  ) )            k 1     5 ,     8   k R  .故选 D. 二、填空题：11~16 小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.  ax bx  2  ln(1 ( ) f x 11 ．当 x  时， 0 ab  ________. 【答案】 2 【解析】由题意可知，  与 x ) ( ) g x  e 2 x  cos x 是等价无穷小，则 1 lim  0  x ( ) f x ( ) g x  lim 0 x  ax bx x  e 2 ( a  1)  lim 0 x  x x ) 1 2 ( o x ( b  2 x  2 )  x ) 2 ln(1  cos x   lim 0 x  2  2 ( o x ) ， ax bx  2   1+ 2 x  2 ( o x ) x 1 2 [1    2 ( o x ) 2 x  2 ( o x )] 2 x 1 2  3 2 3 2 t  1 2 于是 a 1 0,   b   ，即 a   1, b  ，从而 2 2 ab   . 2 dt 的孤长为_________. 12. 曲线【答案】  y 4  3 x    3 3 3

【解析】曲线 y  x    y  3 3 1 2 3  t dt 的孤长为 3 2 d x    3 3 1 3   2 x d x    3 3 4  2 x dx  3 2  0 4 x dx  2 x  2sin t  3 0  2 2cos d2sin t t  8  3 0  2 cos d t t  4  t   1 2 sin 2 t  3 0     4  3  3 .   8   1 cos2 3 0 tdt 2 13. 设函数 z  ( , z x y ) 由方程e z  xz  2 x  确定，则 y 2 z 2 x  (1,1)  _________. 【答案】  3 2 【解析】将点 (1,1) 带入原方程，得 0 z  . 方程 e z  xz  2 x  两边对 x 求偏导，得 e y z 两边再对 x 求偏导，得 z e 2 z     x     z e z 2 2  x   z  x  z  x  2   z x z  x   2 ，  x z 2 2  x   0 ，将 1,  x y  1, z  代入以 0  1 ， 2 z 2 x  (1,1)   3 2 .  在 1x  对应点处的法线斜率为_________. y 2 3 上两式，得 z  x   3 14. 曲线 3 x 11 9 【答案】  (1,1) 5 y 【解析】当 1x  时， 1y  . 方程 3 x 3  5 y  两边对 x 求导，得 2 x 9 2 y 3  4 (5 y  2 6 ) y y ，将 1x  ， 1y  代入，得 y (1)  9 11 .于是曲线 3 x 3  5 y  在 1x  对应点处的法线斜率为 y 2 3  15. 设连续函数 ( ) f x 满足 ( f x  2)  ( ) f x 2 x   ， 0 ( )d f x x  0 ，则 3  1 . 11 9 ( )d f x x  _________. 【答案】【解析】 1 2 3  1 ( )d f x x  3  1 ( )d f x x  2  0 ( )d f x x  3  1 ( )d f x x  1  0 ( )d f x x  2  1 ( )d f x x

 3  2 ( )d f x x  x 2   t ( )d f x x 1  0 1  0 f ( t  2)d t  1  0 ( )d f x x  1  0 d x x  1 2 . 有解，其中 ,a b 为常数，若 0 1 a 1 1 a 1 2 a  4 ，则 1,  x  3 ax  3 2  0,  0,  16. x ax   3 1   x ax  2 1   2 x x  2 1  bx ax   1 2 1 1 a 1 2 a 0 a b 【答案】8  ________. 【解析】方程组有解，则 | A |  0 1 1 a 1 0 1 a 1 2 0 a 0 2 a b   1 a 1 2 a b 1 a 0  a 2 1 0 1 1 a 1 2 a  0 ，故 1 a 1 2 a b 1 a 0 8  . 三、解答题：17~22 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分 10 分） : L y 设曲线 ( ( ) xx 处的切线在 y 轴上的截距，  y  经过点 2(e ,0) ， L 上任一点 ( , P x y 到 y 轴的距离等于该点 e ) ) (Ⅰ)求 ( ) y x ； (Ⅱ)在 L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积. 【解】(Ⅰ)曲线 L 在点 ( , P x y 处的切线方程为 ) Y   y  ( )( y x X x  ，令 ) 在 y 轴上的截距为 Y   y xy x ( ) ，则 x   y xy x ( ) ，即 y   1 x ( ) y x  ( x C  ln ) x ，其中C 为任意常数. 又 2(e ) 0  ，则 y 2C  ，故 ( ) y x  x (2 ln ) x  . 0X  ，则切线 y   ，解得 1 (Ⅱ)设曲线 L 在点 ( , x x 为 (2 ln ))  x 处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程 Y x  (2 ln ) x    (1 ln )( x X x  ) .

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