2022 年注册岩土工程师公共基础考试真题及答案
单项选择题(共 120 题,每题 1 分,每题的备选项中只有一个最符合题意)
1.下列极限中,正确的是(
)。
A.
1
lim 2 x
x
0
1
x
0
B.
lim 2
x
0
1
x
x
0
0
C.
limsin
x
0
sin
x
D.
lim
x
答案:D
解析:A 选项,应为
为有界变量;D 选项,极限
1
lim 2x
0
x
lim
x
x
sin
x
可化为
1
lim lim sin
x
x
x
x
,极限
为无穷小量;而|sinx|≤1,
0
。
0
1
lim
x
x
sin
x
x
lim
x
;B 选项,应为
1
x
lim 2
0
x
;C 选项,
0
limsin
x
0
1
x
[ 1,1]
,
sinx 为有界函数。因为有界函数与无穷小的乘积是无穷小,所以
2.若当 x→∞时,
2 1
x
1
x
ax b
为无穷大量,则常数 a、b 应为(
)。
A.a=1,b=1
B.a=1,b=0
C.a=0,b=1
D.a≠1,b 为任意实数
答案:D
解析:当 x→∞时,
lim
x
2
x
x
1
1
ax b
lim
x
1
a x
2
1
b
x
a b x
1
,说明最高次项一
定在分子上,则 a≠1,b 为任意实数。
3.抛物线 y=x2 上点
1 1
, 处的切线是(
2 4
)。
A.垂直于 Ox 轴
B.平行于 Ox 轴
C.与 Ox 轴正向夹角为
D.与 Ox 轴正向夹角为
答案:C
3
4
4
解析:对函数 y=x2 求导,可得 y′=2x,在题中点
1 1
, 处的斜率 k=-1,即 tanθ=-1,解得
2 4
θ=3π/4,故 C 选项正确。
4.设 y=ln(1+x2),则二阶导数 y″等于(
)。
A.
B.
1
1 x
2 1
1
x
22
x
22
2
2
C.
x
1
x
1
x
2
1
x
答案:B
D.
解析:
y
2
x
x
2
1
y
,
2
1
x
x
2
2 1
x
2
x
1
x
2
2 2
x
2
2 1
1
x
5.在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件的函数是(
A.y=lnx
)。
B.
y
1
ln
x
2
2
x
2
。
C.y=ln(lnx)
D.y=ln(2-x)
答案:A
解析:当 x=1 时,ln1=0,可知 BC 两项均不连续。当 x=2 时,可知 D 选项不连续。故选择 A 选项。
6.设函数
f x
2
x
2 2
x
1
x
A.极大值,但不是最大值
B.最大值
,则 f(0)=-2 是 f(x)的(
)。
C.极小值,但不是最小值
D.最小值
答案:C
解析:
f x
2
x
2 2
x
1
x
x
1
1
x
3
,
x
f
1
1
,令 f′(x)=0,可得 x=0
2
1
x
或-2。
f
x
2
,f″(0)=2>0,所以 x=0 为极小值点。因 f(0)>f(-2),故不是最
3
1
x
小值点。
d
f x x
7.设 f(x)、g(x)可微,并且满足 f′(x)=g′(x),则下列各式中正确的是(
A.f(x)=g(x)
B.
d
g x x
d
g x x
d
g x x
d
f x x
d
x x
C.
D.
f
)。
答案:D
解析:导数相等,原函数不一定相等。假设 f(x)=x2,g(x)=x2+1,满足 f′(x)=g′(x),
经过验证,D 选项正确。
8.定积分
1
0
3
x
1
x
2
d
x
的值等于(
)。
1
A.
3
2 2
1 2
B.
3
2
2 1 2 2
C.
3
D.
1
2
1
答案:B
解析:
1
0
3
x
1
2
x
d
x
x
2
d
1
1
0
x
2
x
1
2 1
0
x
1
2
x
d
x
1
2
2
0
3
12
0
2
3
2
2
x
x
2
1
3
4 2
3
2
2
1 2
3
9.设向量的模
2 ,
2 2
,且
2 3
,则α·β等于(
)。
A.8 或-8
B.6 或-6
C.4 或-4
D.2 或-2
答案:D
解析:设两向量α、β的夹角为θ,根据
2 3
,可得:
sin
4sin
2 3
解得:
sin
,所以,
3
2
cos
。
1
2
因此,
cos
4
1
2
2
。
10.设平面方程为 Ax+Cz+D=0,其中 A,C,D 是均不为零的常数,则该平面(
A.经过 Ox 轴
B.不经过 Ox 轴,但平行于 Ox 轴
C.经过 Oy 轴
D.不经过 Oy 轴,但平行于 Oy 轴
答案:D
解析:平面方程的一般式为 Ax+By+Cz+D=0,其中 B=0,说明平面平行于 Oy 轴;D≠0,说明平面
)。
不过原点,也就不经过 Oy 轴。
11.函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的(
A.必要而非充分条件
B.充分而非必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分又非必要条件
)。
答案:D
解析:二元函数在(x,y)点可微、偏导存在、连续之间的关系见题 11 解图。由图可知,对于多元
函数,连续推不出可偏导,可偏导也推不出连续,故选择 D 选项。
题 11 解图
12.设 D 是圆域:x2+y2≤1,则二重积分 d d
x x y
D
等于(
)。
A.
2
B.
1
0
0
d
d
2
0
1
0
2
r
sin d
r
2
r
cos d
r
1
r
r
4
C.
cos d
d
d
2
0
4
0
答案:B
解析:圆域为单位圆,在极坐标下,圆域 D 为:0≤θ≤2π,0≤r≤1。变量可表示为:x=rcosθ,
0
1 3
r
0
cos d
r
D.
4
y=rsinθ,dxdy=rdrdθ。则可得:
D
d d
x x y
D
r
cos
d d
r r
D
r
2
cos d d
r
2
d
0
1
r
0
2
cos d
r
13.微分方程 y′=2x 的一条积分曲线与直线 y=2x-1 相切,则微分方程的解是(
A.y=x2+2
B.y=x2-1
C.y=x2
D.y=x2+1
答案:C
解析:由 y=2x-1,可得 k=2。根据 y′=2x=2,可得 x=1,y=1。
由 y′=2x,可得 y=x2+C,将(1,1)代入可知 C=0,则微分方程的解为 y=x2。
)。
14.下列级数中,条件收敛的级数是(
)。
A.
1
n
n
2
n
1
B.
1 n
1
ln
n
1
3
n
2
C.
n
1
n
1
n
n
2
sin
D.
n
1
n
3
4
n
3
答案:A
解析:如果级数各项和收敛,但各项绝对值的和发散,则称该级数条件收敛。用莱布尼茨判别法可知,
1
n
2
n
1
ln
n
条件收敛。而
n
1
sin
1 n
1
3
n
2
和
n
1
n
3
4
n
3
绝对收敛,
n
1
n
1
n
n
2
不满足级数
收敛的必要条件,发散。
15.在下列函数中,为微分方程 y″-2y′+2y=0 的特解的是(
A.y=e-xcosx
B.y=e-xsinx
C.y=exsinx
D.y=excos(2x)
答案:C
解析:特征方程为 r2-2r+2=0,特征根为:r1,2=1±i,可知α=1,β=1,所以方程的通解为:y
)。
=ex(Acosx+Bsinx),当 A=0,B=1 时,有特解 y=exsinx。
16.设 L 是从点 A(a,0)到点 B(0,a)的有向直线段(a>0),则曲线积分 d
x y
L
的值等于(
)。
A.a2
B.-a2
C.
2
a
2
D.
2
a
2
答案:C
解析:有向直线段 L 方程为:y=-x+a,x:a→0,dy=-dx,则:
0
L
d
x y
a
d
x x
2
x
2
0
a
2
a
2
的收敛半径为 3,则幂级数
a x
n
n
n
1
n
1
na x
n
1 n
1
的收敛区间是(
)。
17.若幂级数
A.(-3,3)
B.(-2,4)
C.(-1,5)
D.(0,6)
答案:B
解析:
a
lim
n
a
n
n
1
,
3
R
lim
n
n
na
n
1
a
n
1
3
,所以有:∣x-1∣<3,故可得:-2<x<4。
18.设
z
1
x
f xy
,其中 f(u)具有连续的二阶导数,则
2z
x y
等于(
)。
A.xf′(xy)+yf″(xy)
B.
1 f
x
xy
f
xy
C.xf″(xy)
D.yf″(xy)
答案:D
z
y
解析:
1
x
f
xy x
f
xy
,
2z
x y
x
z
y
yf
xy
。
19.设 A、B、C 为同阶可逆矩阵,则矩阵方程 ABXC=D 的解 X 为(
A.A-1B-1DC-1
B.B-1A-1DC-1
C.C-1DA-1B-1
D.C-1DB-1A-1
答案:B
解析:根据逆矩阵的性质,A-1A=AA-1=E,有 A-1ABXCC-1=A-1DC-1,可得 BX=A-1DC-1,所以 B-1BX=B
)。
-1A-1DC-1=X。
20.r(A)表示矩阵 A 的秩,n 元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解时,它的每一个基础解系中所含解
向量的个数都等于(
)。
A.r(A)
B.r(A)-n
C.n-r(A)
D.r(A)+n
答案:C
解析:在齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的情况下,它一定有基础解系,且基础解系所含解得个数等
于 n-r,其中 r 为齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵 A 的秩。
21.若对矩阵 A 与矩阵
B
1
0
0
0
0
2
0
2
0
合同,则二次型
,
f x x x
3
,
1
2
T
A 的标准型是(
x
x
)。
A.f=y1
B.f=2y1
C.f=y1
2+2y2
2-2y2
2-y2
2-2y3
2-y3
2-2y3
2
2
2
2
2+y2
2-2y3
D.f=-y1
答案:A
解析:先求出矩阵 B 的特征值,由
B
E
1
0
0
0
2
0
2
1
2
2
0
解得:λ=1 或 2 或-2。
则该二次型的标准型是 f=y1
2+2y2
2-2y3
2。
22.设 A、B 为两个事件,且
P A ,
P B A ,
|
P B A ,则概率 P(B)等于(
|
)。
1
2
1
10
1
20
A.
B.
C.
D.
1
40
3
40
7
40
9
40
答案:B
解析:因
P A ,则
P A 。
1
1
2
1
2
1
2
由
P B A
|
由
P B A
|
P AB
P A
P BA
P A
,可得
P AB
1
1
2 10
,可得
P BA
1
1
2 20
。
1
20
。
1
40
由
P BA
P B
P AB
,可得
P B
1
20
1
40
。
3
40
23.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=1,则数学期望 E((X+
Y)2)的值等于(
)。
A.4
B.3
C.2
D.1
答案:C