2015年广西桂林电子科技大学数学分析考研真题.doc

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2015 年广西桂林电子科技大学数学分析考研真题一、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 1.设 nx 1   n ( 1)  n ,则{ }nx 的聚点是________, sup{ }nx  ________. 2.已知 '(0) 1  ,则 f lim 0 x  f ( ) x   x f (0)  ______________. 3.设 z  2 ( f xy x y , ) ,其中 f 是可微函数,则 z  x   ________, z  y   ________. 4.无穷积分   1 1 ( x x  1) d x  _________. 二、计算下列极限与积分（每小题 8 分，共 32 分） 1 2 lim( !) n n  n 1. 2. x lim 0 x  2 t x e   0 2 sin x t d x 3. x  1ln 1   x x d x 4. 2   0 1 sin dx  x 三、计算题（每小题 9 分，共 36 分） 0, y x    1.求由方程组 3 3 3 10 y x   z z     所确定的隐函数 y  ( ) y x , z  ( ) z x 在点 (1, 1 2) 处的导数.

2.求积分 1  0 d x 2 x  0 y ye y 1 d y . 3.求曲线积分 I   L (2 xy 3  2 y cos )d x x   (1 2 sin y x  3 2 x y 2 )d y ,其中 L 是从原点 (0,0) O 经曲线 2x y 到 ( A 2  2 ,1) 的有向弧. 4.设  为曲面 z  2 x 2  介于平面 0 z  和 1z  之间部分的下侧,计算曲面积分： y (1)   1 4 dz S  ,(2) d d z x y .   四、分析解答题（每小题 10 分，共 30 分） 1.叙述数列极限存在的柯西准则,并用它证明数列{ }nx 收敛,其中 x n  sin1 sin 2 2 2 1 2    n sin 2 n .

2.设 ( ) f x  lim n   x   1 1   2 n 2 n x x    ,求 ( ) f x 的间断点并讨论其类型. 3.设 na  ,且 0 lim{ n  p ( n e 1 n  1) } 1  ,（ 1p  为常数）.讨论级数 a n   的收敛性. 1 n  a n 五、证明题（每小题 9 分，共 36 分） 1.设函数 ( ) f x 在区间 I 上可导,证明:若 '( ) f x 在 I 上有界,则 f 在 I 上一致连续. 2.证明函数 ( ) f x xy 2  2 y      x 0, 2 , x  2 y  0 2 x  2 y  0 在点(0,0)处连续但不可微.

3.证明   1 n   nx ne 在[ , )  （其中 0 ）上一致收敛,并求积分  ln 3 ln 2 ( )d S x x ,其中 ( ) S x    n 1   nx ne . 4.设 ( ) f x    0 2 , y d x  .证明: xye  1 y  x   上一致收敛; 0 ) （1）积分在 [0,  2 lim ( ) f x  0 x （2）  .

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