2005江西考研数学二真题及答案.doc

发布时间：2023-11-16 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.87M 资料格式：doc 举报版权申诉

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一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把

(A) . （B）

三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（19）（本题满分12分）

（21）（本题满分9分）

（23）（本题满分9分）

参考答案

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把

【详解】当x=3时，有，得

(A) . （B）

三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（19）（本题满分12分）

（21）（本题满分9分）

【详解】对矩阵作初等行变换，有

（23）（本题满分9分）

2005 江西考研数学二真题及答案一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）设 y  1(  sin xx ) ，则 |xdy  =______ . （2）曲线 1(  y  3 2 ) x x 的斜渐近线方程为______ . （3） 1 0 xdx 2 1)  2 x 2(  x  ______ . （4）微分方程 yx  2  y x ln x 满足 y )1(  （5）当 0x 时， x  )( 2 kx 与  )( x 1  x k= ______ . （6）设 ,  3 , 2 1 均为 3 维列向量，记矩阵的解为______ . 1 9 arcsin x  cos x 是等价无穷小，则 1 A 3 ( , , 2 ) ， B (  3 9 3 4 2       , , 3 3 1 1 2 1 2 2 ) ，如果 1A ，那么 B . 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数 )( xf  lim n  n 1  x 3 n ，则 f(x)在 (  ,  ) 内 (A) 处处可导. (C) 恰有两个不可导点. (B) 恰有一个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，则必有 " M  表示“M 的充分必要条件是 N”， N " (A) F(x)是偶函数  f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数  f(x)是偶函数. F(x)是周期函数  f(x)是周期函数. (C) (D) F(x)是单调函数  f(x)是单调函数. [ ] （9）设函数 y=y(x)由参数方程确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴，f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b 为 [ ] - 1 -    x y   2 ,2 t t  1ln( ) t  (B)  (A) 交点的横坐标是 1 32ln  . 8 32ln8   ) ,{( xyx D （10）设区域 (C)  . 1 8 32ln  . (D) 2  2 y  ,4 x  32ln8  . ,0 }0  y

常数，则 )( xfa )( xf   )( yfb )( yf  D d  (A) ab . (B) [ ] ab 2  . （11）设函数 ,( yxu )  (  x  y )  (  x  y )  具有一阶导数，则必有 (C) ( ba  ) . (D) ba  2  . yx   yx   )( t dt , 其中函数具有二阶导数， (A) u 2 2  x   u 2 2  y  . （B） u 2 2  x   u 2 2  y  . (C) 2 u  yx   u 2 2  y  . (D) 2 u  yx   u 2 2  x  . （12）设函数 )( xf  1 x 1  x 1 e , 则 (A) x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点. [ ] x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点. (C) (D) x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点. [ ] （13）设 1, 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 2 1, ，则 1 ， 2 ( A 1   2 ) 线性无关的充分必要条件是 (A) 1  0 . (B) 2  0 . (C) 1  0 . (D) 2  0 . [ ] （14）设 A 为 n（ 2n ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, *, BA * 分别为 A,B 的伴随矩阵，则 (A) 交换 *A 的第 1 列与第 2 列得 *B . (B) 交换 *A 的第 1 行与第 2 行得 *B . (C) 交换 *A 的第 1 列与第 2 列得 *B . (D) 交换 *A 的第 1 行与第 2 行得 *B . ] 三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） [ （15）（本题满分 11 分）设函数 f(x)连续，且 f )0(  0 ，求极限 x  0 x lim 0 x  （16）（本题满分 11 分） x x (  0  t ) f )( t dt ( xf  t ) dt . - 2 -

如图， 1C 和 2C 分别是 y  1 2 1(  xe ) 和 y  的图象，过点(0,1)的曲线 3C 是一单调 xe 增函数的图象. 过 2C 上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 xl 和 yl . 记 1,CC 2 与 xl 所围图形的面积为 )(1 xS ； 2,CC 3 与 yl 所围图形的面积为 (2 yS ). 如果总有 )( xS 1  )( yS 2 ，求曲线 3C 的方程 (y x  ). （17）（本题满分 11 分）如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 1l 与 2l 分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 3  0 2 ( x  ) fx  )( x . dx （18）（本题满分 12 分）用变量代换 x  cos t 0( )  t 化简微分方程 1(  2 x ) y  yx  y 0 ，并求其满足 y  ,1  y x  0 x  0  2 的特解. （19）（本题满分 12 分）已知函数 f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在 ),1,0( 使得   1)(f  ；（II）存在两个不同的点 ,  )1,0( ，使得 f （20）（本题满分 10 分）  )(  f  ( .1)  已知函数 z=f(x,y) 的全微分 dz  2 xdx  2 ydy ，并且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y)在椭圆域 D  ,{( ) xyx 2  2 y 4  }1 上的最大值和最小值. （21）（本题满分 9 分） y 计算二重积分  x 2  D 12  d ，其中 D  ,{( yx 0)  x 0,1  y }1 . （22）（本题满分 9 分）确定常数 a, 使向量组  1 Ta ,),1,1(  2 ,1( Ta ,)1, 3  )1,1,( a T 可由向量组  1 Ta ,),1,1( ,2( a 2 T ,)4,  ,2( 3 Taa ), 线性表示，但向量组 ,  3 1 , 2 组 ,  3 , 2 1 线性表示. （23）（本题满分 9 分）不能由向量 - 3 -

已知 3 阶矩阵 A 的第一行是 ,( , cbacba ), , , 不全为零，矩阵 B  321 642 63 k        （k 为常数），    且 AB=O, 求线性方程组 Ax=0 的通解. 参考答案一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）设 y  1(  sin xx ) ，则 dy = dx . x 【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导. 【详解】方法一： y  1(  sin xx ) = xe 1ln( sin  ，于是 x ) y  e x 1ln(  sin x )  [ln( 1  sin x ) x  cos x sin  x 1 ] ，从而 dy x = y  ( )  dx  . dx  方法二：两边取对数， ln y  x 1ln(  sin x ) ，对 x 求导，得 1 y y  1ln(  sin x )  cos x x sin 1 x  ，于是 y  1(  sin x x )  1 [ln(  sin x ) x  cos x sin  ] x 1 ，故 dy x = y  ( )  dx  . dx  （2）曲线 1(  y  3 2 ) x x 的斜渐近线方程为 y 3 x 2 . 【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】因为 a= lim x  )( xf x  lim x  3 2 1( ) x  xx  ,1 1(  x ) 3 2  x 3 2 x  3 2 ， lim x  b   lim x  )( xf    ax 3 x 2 . 于是所求斜渐近线方程为（3） 1 0 xdx 2 1)  2 x 2(  x y   4 . - 4 -

【分析】作三角代换求积分即可. 【详解】令 x xdx 2 1) 1 0 2(  x sin t ，则   2 0  sin t sin  cos 2 ) t t cos t 2( dt  2 x =  2 0   d  t 2 cos cos 1 t  arctan(cos t )  2 0   . 4 （4）微分方程 yx  2  y x ln x 满足 y )1(  1 9 的解为 y  1 3 x ln x  1 9 . x . 【分析】直接套用一阶线性微分方程 y  )( )( xQyxP  的通解公式：    e y )( xP dx [  )( exQ )( xP dx  dx  C ] ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】原方程等价为 y  2  y x ln x ，于是通解为   2 x dx y  e  2 x dx  ln[ ex  dx  C ]  [1  x 2  2 x ln xdx  C ] = 1 3 x ln x  1 9 Cx  得 C=0，故所求解为 y 1 2 x  由 y )1(  1 9 ，（5）当 0x 时， x  )( 2 kx k= 3 4 .  x x ln 1 3  )( x 1 9 1 . x  x arcsin x  cos x 是等价无穷小，则与【分析】题设相当于已知  lim x  0  )( x )( x  1 ，由此确定 k 即可. 【详解】由题设，  lim   0 x )( x )( x  lim 0 x  1  x arcsin kx x 2  cos x = lim 2 kx  0 x = 1 k2 lim 0 x  arcsin x 1( x  arcsin x x 1 cos  arcsin x  1 cos x  2 x x ) x cos x 3 4 k   1 ，得 3k 4 . （6）设 ,  3 , 2 1 均为 3 维列向量，记矩阵 - 5 -

1 A 3 ( , , 2 ) ， B (  3 9 3 4 2       , , 2 1 3 2 1 3 1 2 ) ，如果 1A ，那么 B 2 . 【分析】将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】由题设，有 B (  3 9 3 4 2       , , 2 1 2 1 3 2 1 3 ) = ( 1  3 , , 2 于是有 B  A  111 321 941 ) 111   321   941       ，  21 .2 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数 )( xf  lim n  n 1  x 3 n ，则 f(x)在 (  ,  ) 内 (A) 处处可导. (C) 恰有两个不可导点 . (B) 恰有一个不可导点. (D) 至少有三个不可导点 . [ ] C 【分析】先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】当 1x 时， )( xf  当 1x 时， )( xf  n n lim n  lim n  1  x 3  n 1 ； 111  ；当 1x 时， )( xf  3 x lim n  1( x 3 n 1 n  )1  x 3 . 即 )( xf       x ,1 3 x 3 , , ,1 x  1 x  .1 x  ,1 可见 f(x)仅在 x= 1 时不可导，故应选(C). " （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，则必有 M  表示“M 的充分必要条件是 N”， N " (B) F(x)是偶函数  f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数  f(x)是偶函数. (C) (D) ] F(x)是周期函数  f(x)是周期函数. F(x) 是单调函数  f(x) 是单调函数 . [ A 【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. - 6 -

【详解】方法一：任一原函数可表示为 )( xF  x  0 f )( t Cdt  ，且  )( xF  ( xf ). 当 F(x)为偶函数时，有 xF  ( )  )( xF ，于是 F  ( )1() )( xF x ，即  f (  x )  )( xf ，也即 f (  x )  )( xf 函数，从而 )( xF  x  0 ，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则 x f 为偶函数，可见(A)为正确选项. Cdt )( t  0 f )( t dt 为偶方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)= 2 1 x , 排 2 除(D); 故应选(A). （9）设函数 y=y(x)由参数方程    x y   2 ,2 t t  1ln( ) t  确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是 (A) (C) 1 8  32ln  . 32ln8  . 1 8 (B)  32ln  . (D) 32ln8  . [ A ] 【分析】先由 x=3 确定 t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标. 【详解】当 x=3 时，有 2 t 2  t  3 ，得 t ,1  t  3 （舍去，此时 y 无意义），于是 dy dx 1 1  2 t  t 2  t 1   t 1  1 8 ，可见过点 x=3(此时 y=ln2)的法线方程为： y  2ln  (8 x  )3 ，令 y=0, 得其与 x 轴交点的横坐标为：（10）设区域 D  ,{( ) xyx 2  2 y  ,4 1 8 x 为常数，则 )( xfa )( xf   )( yfb )( yf  D d  (A) ab . (B) [ D ] ab 2  . 32ln  , 故应(A).  ,0 y  }0 ，f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b (C) ( ba  ) . (D) ba  2  . 【分析】由于未知 f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性. 【详解】由轮换对称性，有 )( xfa )( xf   )( yfb )( yf  D d  )( yfa )( yf   )( xfb )( xf  D d - 7 -

1 2 [  D )( xfa )( xf   )( yfb )( yf  )( yfa )( yf   )( xfb )( xf ] d ba   2 D d   ba  2  1 4   2 2  ba .  应选(D).  2   yx  yx = = （11）设函数 )  具有一阶导数，则必有 ,( yxu  (  x  y )  (  x  y )   )( t dt , 其中函数具有二阶导数， (A) u 2 2  x   u 2 2  y  . （B） u 2 2  x   u 2 2  y  . (C) 2 u  yx   u 2 2  y  . (D) 2 u  yx   u 2 2  x  . 【分析】先分别求出 u 2 2  x  、 u 2 2  y  、  2 u yx  ，再比较答案即可. [ B ] 【详解】因为 u  x  u  y    x (   x ( y ) y )   x (   x ( y ) (   x  y ) (   x  y ) ， y ) (   x  y ) (   x  y ) ，于是 u 2 2  x    x ( y )   x ( y )   x ( y )   x ( y ) ， 2 u  yx    x ( y )   x ( y )   x ( y )   x ( y ) ， u 2 2  y    x ( y )   x ( y )   x ( y )   x ( y ) ，可见有 u 2 2  x   u 2 2  y  ，应选(B). （12）设函数 )( xf  1 x 1  x 1 e , 则 (B) x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点. x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点. (C) (E) x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点. [ D ] 【分析】显然 x=0,x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点. - 8 -

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