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2020-2021年江苏省镇江市扬中市高一数学下学期期中试卷及答案.doc
2020-2021 年江苏省镇江市扬中市高一数学下学期期中试卷
及答案
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上
．．．．．．．．．
1．若函数
y
3 cos(2
的图象上两相邻的对称轴之间的距离为
0)
x
)(
3
，则 =
2
）
（
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
1
）
3i
2．复数
C. 第三象限
B. 第二象限
（其中i 是虚数单位）在复平面内所对应的点在（
4i
A. 第一象限
象限
3．在 ABC
A. cos(
A B
C. sin(2
A
4．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九昭的著作，全书十八卷共八十一个问题，分
为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三
斜求积”中提出了：已知三角形三边 ,
,a b c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，
其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余
四 约 之 ， 为 实 ， 一 为 从 隅 ， 开 平 方 得 积 . ” 若 把 以 上 这 段 文 字 写 成 公 式 ， 即 ：
则，下列四个式子中不为常数的是
)
2 )
B
B. sin(
D. tan(2
）
sin
)
2 )
B
（
A B
A
C
tan 2
C
C
sin 2
C
cos
D. 第 四
2 2
a c
1[
4
6 3
S
S
ABC
2
b
2
a
(
2
c
2
2
) ]
. 即 有 ABC
满 足 :
a b c
:
2:3: 7
， 且 ABC
的 面 积
，请运用上述公式判断下列命题正确的是 （
）
A. ABC
周长为10 2 7
B. ABC
三个内角满足 2B A C
外接圆的半径为 4 21
3
C. ABC
5．已知角的顶点在原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边经过点 P(1,3) ，则 2的终边一
定经过 （
A. ( 3,4)
(4, 3)
6．函数 ( ) 2sin cos
的最小值是
cos (x R)
B. (3, 4)
D. ABC
C. ( 4,3)
内切圆的半径为 4 21
3
f x
sin
D.
）
（
）
x
x
x
A. 1
B.
x
1
4
C.
1
D.
5
4
1
（
A.
3
3
AD
A.
1
2
7．将函数 ( )
f x
3sin 2
x a
cos2 (
x a
的图象向右平移
0)
6
后关于点 (
12
,0)
对称，则
）
B. 1
C.
3
D. 3
平 分 线 ， 若
8 ． 在 ABC
3
2
,
AE
2
3
中 ， 角 ,D E 均 在 边 BC 上 ， 且 AD 为 中 线 ， AE 为 BAC
，则 ABC
的面积等于
（
）
B.
2
3
C.
2
2
D.
3
2
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选
项填涂在答题卡相应的位置上）
9．已知 z 复数，则下列结论正确的是
A ． z
z
D．
z 是 实 数
z
z 是 纯 虚 数
C ． z
B ． z
z
（
）
2
10．在 ABC
中， A =
（
A.
）
3
3
,AB 4
，若解此三角形仅有一解，则边 BC 长度的可能取值为
B. 2 3
C.
13
D.
(cos
x
sin ) cos
x
x
sin
x
， 则 下 列 关 于 ( )
f x 的 叙 述 正 确 的 是
17
11 ． 设 函 数 ( )
f x
（
）
( )
f x 是周期函数
A.
函数
B.
( )
f x 在 区 间 [
]
2 2
,
上 是 增
)
是平面内的一组基向量， O 为平面内的定点，对于平面内任意一
时，则称有序实数对 ( ,
x y 为点 P 的广义坐标，若点 A,B 的广义
)
）
B.
,A B 两 点 间 的 距 离 为
D. 若 向 量 OA
平 行 于 向 量 OB
则
2
0
x
2
C. 若
(
k
)
(
(
)
f x
f x
，则 1
x
k Z
2
1
( ) 1
D. 函数 ( )
在区间[0,2 ] 上有 3个零点
f x
g x
e
e
12．已知单位向量 1
2
)
ye
OP xe
点 P ，当
1
2
,
,
),(
x y ，则下列说法正确的是（
x y
坐标分别为 1
1
2
x
A. 线段 AB 的中点的广义坐标为 1
y
1
x
y
(
(
)
,
2
2
2
2
2
2
2
2
)
)
(
y
x
x
1
(
y
1
垂直于向量OB
2
C. 若向量OA
x y
1
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上
x x
，则 1 2
x y
2
1
y y
1
0
2
2
1,
b
a
13
2
2,
b
a
13.已知
14．已知如图，是由 (
n
n n N
且
4
构成的平面几何图形，若
．．．．．．．．．
，则向量 ,a b
2)
个完全相同的正方形
的夹角为
，则 n
.
.
2
2
x
x
x
x
.
x
2cos
sin 2
cos(2
x
0
15．请写出复数 7 24i
16．已知由
cos3
的一个平方根
2sin cos ,cos 2
1
x
，
)
3cos
x
x
可 推 得 三 倍 角 余 弦 公 式
0
， 结 合 三 倍 角 余 弦 公 式 和 二 倍 角 正 弦 公 式 可 得
， 已 知
cos54
sin18
（ 2 分）；如图，已知五角星 ABCDE 是由边长为 2 的正五边形GHIJK 和五个全等的等
腰三角形组成的，
则 HE HG
（3 分）.
sin36
cos3
4cos
x
x
2
0
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
,A B C 三点共线，求实数 m 的值；（2）若四边形 ABCD 为矩形， 求 x
y 的值．
OC m
(
,3),
OD x y m x y R
( ,
)(
,
,
).
OA
OB
(1,1),
(3, 1),
17．已知向量
（1）若 ,
18．已知 ABC
满足 3 2 sin
B
（1）求sin C 的值；（2）求 ABC
的面积.
19．已知向量 (cos(2
),sin(
4
3
，且
a
a
b
x
x
)),
6,
2
A
.
3
f x 的单调递增区间；（2）若关于 x 的方程 ( ) b
f x 在
0
上有解，
b
(1,2sin(
x
))
4
，函数 ( )
f x
.
a b
2
[
]
6
3
,
（1）求函数 ( )
求实数b 的取值范围.
20．已知 ,满足
cos
,sin
，且 0
,
5
5
3 10
10
2
2
.
（1）求 sin(2
) 的值；（2）求 的大小.
21．扬中三桥是扬中市区与金港大道快速通道的交通枢纽，毗邻姚桥高速公路入口和大港南
站高铁站，也是镇江市区、新区等地联系的重要通道。为了解大桥跨度，小李、小丽、小张
三位同学组建社会实践活动小组，通过测量得知： ,A B 相距3（百米）， ,
,A C D 分别位于 B
51 ,81 ，南偏西 063 方向上， ,C D 分别位于 A 处正西，西偏南 037 方向上。根
处的北偏西 0
据下列提供的数据，在不使用计算器的基础上，选择合适解题方案，作答下列问题：
0
3
20
17
100
0
0
,sin10
sin 9
（1）计算 ,A C 两地之间的距离；（2）大桥为保证行驶安全，限制最高时速不超过80 公里，
若一辆汽车需要过桥，它通过 ,C D 之间的桥面刚好用时50 秒，判断该车是否超速.
,cos37
,sin 66
5.
0
0
68
75
22 ． 在 三 角 形 ABC 中 ， 角 ,
tan , tan , tan
,A B C 所 对 应 的 边 分 别 为 ,
C 均为整数.（1）求 tan A 的值；（2）求证： 2 tan
,a b c ， 若 a b c
且
tan .
C
tan
A
B
B
A
3
答案
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上
．．．．．．．．．
1．若函数
y
3 cos(2
的图象上两相邻的对称轴之间的距离为
0)
x
)(
3
，则 =
2
（ A ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
1
3i
2．复数
（ A ）
C. 第三象限
B. 第二象限
（其中i 是虚数单位）在复平面内所对应的点在
4i
A. 第一象限
象限
3．在 ABC
A. cos(
A B
C. sin(2
A
4．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九昭的著作，全书十八卷共八十一个问题，分
为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中
,a b c 求面积的公式，这与古希
在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边 ,
腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自
乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”
则，下列四个式子中不为常数的是
)
2 )
B
（ B ）
B. sin(
D. tan(2
C
tan 2
C
C
sin 2
C
A B
A
)
2 )
B
cos
sin
D. 第 四
S
若把以上这段文字写成公式，即：
2 2
a c
，且 ABC
:
2:3: 7
a b c
足 :
命题正确的是 （ A ）
A. ABC
周长为10 2 7
1[
4
S
的面积 ABC
2
b
2
a
(
2
c
2
2
) ]
.即有 ABC
满
6 3
，请运用上述公式判断下列
B. ABC
三个内角满足 2B A C
外接圆的半径为 4 21
3
C. ABC
5．已知角的顶点在原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边经过点 P(1,3) ，则 2的终边一
定经过 （ C ）
A. ( 3,4)
(4, 3)
6．函数 ( ) 2sin cos
的最小值是
cos (x R)
B. (3, 4)
D. ABC
内切圆的半径为 4 21
3
C. ( 4,3)
f x
sin
D.
x
x
x
x
1
4
A. 1
B.
C.
1
7．将函数 ( )
f x
3sin 2
x a
cos2 (
x a
的图象向右平移
0)
（ B ）
（ D ）
5
4
D.
6
后关于点 (
12
,0)
对称，则
4
B. 1
C.
3
中 ， 角 ,D E 均 在 边 BC 上 ， 且 AD 为 中 线 ， AE 为 BAC
，则 ABC
的面积等于
（ D ）
D. 3
平 分 线 ， 若
A.
3
3
8 ． 在 ABC
3
2
,
AE
2
3
AD
A.
1
2
B.
2
3
C.
2
2
D.
3
2
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选
项填涂在答题卡相应的位置上）
9．已知 z 复数，则下列结论正确的是
A ． z
z
D．
z 是 实 数
z
z 是 纯 虚 数
（ AC ）
C ． z
B ． z
z
2
10．在 ABC
中， A =
（ BD ）
A.
3
3
,AB 4
，若解此三角形仅有一解，则边 BC 长度的可能取值为
B. 2 3
C.
13
D.
(cos
x
17
11 ． 设 函 数 ( )
f x
（AC ）
( )
f x 是周期函数
A.
函数
sin ) cos
x
x
sin
x
， 则 下 列 关 于 ( )
f x 的 叙 述 正 确 的 是
B.
( )
f x 在 区 间 [
]
2 2
,
上 是 增
2
0
x
2
C. 若
(
k
)
(
(
)
f x
f x
，则 1
x
k Z
2
1
( ) 1
D. 函数 ( )
在区间[0,2 ] 上有 3个零点
f x
g x
e
e
是平面内的一组基向量， O 为平面内的定点，对于平面内任意一
12．已知单位向量 1
2
时，则称有序实数对 ( ,
x y 为点 P 的广义坐标，若点 A,B 的广义
ye
OP xe
点 P ，当
2
1
,
,
),(
)
x y
x
y ，则下列说法正确的是（ AD）
坐标分别为 1
1
2
)
)
(
2
x
A. 线段 AB 的中点的广义坐标为 1
(
x
2
,
y
1
2
y
2
2
)
B.
,A B 两 点 间 的 距 离 为
2
2
2
)
)
(
y
x
x
1
(
y
1
垂直于向量OB
2
C. 若向量OA
x y
1
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上
x x
，则 1 2
x y
2
1
y y
1
0
2
2
．．．．．．．．．
D. 若 向 量 OA
平 行 于 向 量 OB
则
13.已知
a
b
1,
a
2
b
2,
13
，则向量 ,a b
的夹角为
14．已知如图，是由 (
构成的平面几何图形，若
，则 n
2)
n n N
n
且
4
的一个平方根
2sin cos ,cos 2
x
x
个完全相同的正方形
3
(4 3 )i
2
2cos
x
x
1
，
.
.
15．请写出复数 7 24i
16．已知由
sin 2
x
2
3
.
5
， 已 知
5 1
4
cos3
x
cos(2
x
可 推 得 三 倍 角 余 弦 公 式
x
)
cos3
x
4cos
2
x
3cos
x
0
0
sin36
，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得
cos54
（ 2 分）；如图，已知五角星 ABCDE 是由边长为 2 的正五边形GHIJK 和五个全等的等
腰三角形组成的，
则 HE HG
（3 分）.
sin18
5
5
0
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(1,1),
(3, 1),
OB
OC m
(
,3),
OD x y m x y R
( ,
)(
,
,
).
,A B C 三点共线，求实数 m 的值；（2）若四边形 ABCD 为矩形， 求 x
y 的值．
OA
17．已知向量
（1）若 ,
17．解：（1）因为 ,
AB
,A B C 三点共线，
所以向量 ,AB AC
m ；
（2）因为四边形 ABCD 为矩形，则
(2, 2),
，
1
6.
5,
m
3,
x
1,
y
x
y
(m 1,2)
AC
AB CD
，且
，
AB AC
0
，
18．已知 ABC
满足 3 2 sin
B
（1）求sin C 的值；（2）求 ABC
18．解：（1）由正弦定理知，
a
，且
b
6,
2
A
.
3
的面积.
a
sin
b
sin
A
3 2 sinB
3
2
B
，
6
sin
B
,
sin
B
（2）由（1）得
a
3,
S
aABC
2
2
1
2
,
B
(0,
),
B
4
,C
12
；
ab
sin
C
3
1
2
6
6
4
2
9 3 3
4
.
19．已知向量 (cos(2
a
x
3
),sin(
x
b
4
)),
(1,2sin(
x
))
4
，函数 ( )
f x
f x 的单调递增区间；（2）若关于 x 的方程 ( ) b
f x 在
0
上有解，
.
a b
2
[
]
6
3
,
（1）求函数 ( )
求实数b 的取值范围.
19．解：（1） ( )
f x
a b
sin(2
x
)
6
f x 的单调递增区间为
(
所以函数 ( )
2
],
[
6
3
f x 在
所以当方程 ( ) b
( )
f x
（2）
0
,
，
[ 1,1]
2
[
]
6
3
,
，
k
k
,
6
2
)
3
k Z
；
上有解时，
b
[ 1,1].
20．已知 ,满足
cos
5
5
,sin
3 10
10
，且 0
,
2
2
.
6
（1）求 sin(2
) 的值；（2）求 的大小.
20．解：（1）
cos
5
5
,sin
， 0
,
2
，
2
3 10
10
，
sin
,cos
sin 2
,cos 2
，
2 5
5
4
5
10
10
3
5
10
10
sin(2
)
4
5
(
3
5
)
3 10
10
13 10
50
；
（
cos(
)
2
cos
cos
sin
sin
3
2
,
2 5
5
3 10
10
2
2
，
）
2
10
10
5
5
3
.
4
21．扬中三桥是扬中市区与金港大道快速通道的交通枢纽，毗邻姚桥高速公路入口和大港南
站高铁站，也是镇江市区、新区等地联系的重要通道。为了解大桥跨度，小李、小丽、小张
三位同学组建社会实践活动小组，通过测量得知： ,A B 相距3（百米）， ,
,A C D 分别位于 B
51 ,81 ，南偏西 063 方向上， ,C D 分别位于 A 处正西，西偏南 037 方向上。根
处的北偏西 0
据下列提供的数据，在不使用计算器的基础上，选择合适解题方案，作答下列问题：
0
3
20
17
100
0
0
,sin10
sin 9
（1）计算 ,A C 两地之间的距离；（2）大桥为保证行驶安全，限制最高时速不超过80 公里，
若一辆汽车需要过桥，它通过 ,C D 之间的桥面刚好用时50 秒，判断该车是否超速.
,cos37
,sin 66
5.
0
0
68
75
0
81
ABC
由正弦定理得：
21．解：（1）如图在 ABC
中，
0
0
30 ,
51
AC
0 ,
DAC
2
AC
20 /
m s
AB
0
sin10
在 ACD
2
1000
50
（2）在 ABD
sin
中，
AD
sin 66
中，
2
AD
CD
v
所以未超速.
0
81
1000
0
9
,
；
AB
ACB
0
90
300,
AB
ACB
0
66 ,
,
AC
ADB
0
10
ABC
ABD
sin
AD
1600
037
，
2
AD AC
,80 km/ s
cos
20 m/ s
DAC
1000
，
7
,A B C 所 对 应 的 边 分 别 为 ,
C 均为整数.（1）求 tan A 的值；（2）求证： 2 tan
,a b c ， 若 a b c
且
tan .
C
tan
B
A
B
A
22 ． 在 三 角 形 ABC 中 ， 角 ,
tan , tan , tan
中， tan , tan , tan
22．解：（1）在 ABC
)
(
,
4 2
A
,在[
，且 A B C
A B C
,
A B C
A
B
,
，
0
60 ,
且
)
,
4 3
tanA 1.
C 均为整数，
0
180
，
之间的角的正切值且为整数，
,
A
（2）
而 tan
A 最小，当
[
)
4 3
[1, 3),
A
tanA 1.
3
3
2,
tan
B
tan
B
此时 2 tan
tan
B
3,
tan
若若
C
若
B
,
A
,
C
A
tan
，
，
3
4
(1, 2)
tan
B
tan
A
B
B C
,
4
3
tan
3
tan
A
1 tan
tan
C
；
tan
A
1 tan
C
去.
1 2
1 1 2
3
，
tan
tan
A
B
B
1 3
1 1 3
2
tan
B
，不合题意，舍
8
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