2021-2022 年上海市松江区高一数学上学期期末试卷及答案
,则 A B
3}
x
___________
x
B
A
, { | 0
一、填空题(本大题满分 36 分,本大题共有 12 题)
1. 已知集合 { 1,0,1,2}
【答案】{1,2}
2. 函数
f x
【答案】
1
的定义域为______.
1,
lg
x
x
x ,则 x =__________.
1
2
log
3. 若 4
【答案】2
4. 已知 1x 、 2x 是方程 2 3
x
x
的两个根,则
3 0
1
x
1
1
x
2
______.
【答案】1
5. 设 a 、b 为实数,比较两式的值的大小: 2
a
2
b
_______ 2
a
2
b
或=填入划线部分).
【答案】
(用符号 ,
,
,
2
6. 已知
y
( )
f x
是奇函数,当 0
x 时, ( )
f x
x ,则
2
1(
f 的值为________.
2
)
【答案】
##1.5
3
2
( )
f x
2,4
7. 函数
【答案】
lg(4
x
的严格减区间是_________.
x
2
)
8. 已知函数 ( )
f x
x
,则不等式 (
f x
1 |
x
|
3)
f
(2 ) 0
的解集为____
x
【答案】(1,+∞)
9. 若存在实数 x 使
x
3
1
成立,则实数 a 的取值范围是___________.
x a
4.
a
【答案】 2
10. 对任意的正实数 x 、 y ,不等式 x
y m x
恒成立,则实数 m 的取值范围是
y
________.
【答案】[ 2,
)
11. 设平行于 y 轴的直线l 分别与函数
y
log
x
2
和
y
log
2
x
1
的图像相交于点 A 、 B ,
若在函数
y
log
x
2
的图像上存在点C ,使得 ABC
是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,
则点C 的横坐标为_______.
【答案】1
2
+
2
12. 已知
f x
3
x x a
2
x x a
,
,
,若存在实数b ,使函数
g x
f x
有两个零点,则 a 的
b
取值范围是________.
【答案】
1,
,0
二、选择题(本大题满分 12 分,本大题共有 4 题)
13. 下列四组函数中,同组的两个函数是相同函数的是(
B. y
A.
2
与 y
x
)
x 与
y
(
x
)
C.
y 与 4x
y
22 x
D. y
x 与
y
lne x
y
11
x
【答案】C
14. 已知函数
y
f x
可表示为
x
y
0
2x
2
4x
4
6x
6
8x
1
2
3
4
则下列结论正确的是(
)
A.
C.
f
3
f
f x 的值域是
4
1,4
B.
D.
f x 的值域是
f x 在区间
1,2,3,4
4,8 上单调递增
【答案】B
15. 设 x 、 y 是实数,则“ 0
x ”是“ x
y 且
1
x
”的(
1
y
)
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
16. 已 知 函 数
( )
f x
3 ,
x
1
x
x
3 ,
x
0
0
x
, 若 1
x
2
, 且
x
3
(
f x
1
)
(
f x
2
)
(
f x
3
)
, 则
x
2
x
2
A.
)
(
f x
1
的取值范围是(
x
3
10,
8
3(0,
2
)
C.
【答案】D
)
B.
D.
10,
2
30,
8
三、解答题(本大题满分 52 分,本大题共有 5 题)
A
2
x x
2
x
3 0
,
B
x
1 2
x
.
16
3,
a
R ,若 D A ,求实数 a 的取值范围.
}
17. 已知全集U R ,集合
(1)求 A B ;
{
D x a
(2)设集合
【答案】(1)
(2) (
18. 已知函数
[3,
x a
1,4
, 4]
.
A B
)
| 1
x
2
1
x
( )
f x
( )
f x
.
y
|
(1)证明:函数
(2)证明:函数
y
( )
f x
【答案】
(1)因为
|
( )
f x
| 1
x
2
1
x
D
f x 的定义域为
,
所以 ( )
为偶函数;
在区间(1,
) 上是严格减函数.
{ |
x x R
,且
x .
1
1
x
2
)
1
1
x
1}
x
2
x
( )
f x
,
对于任意 x D ,因为
f
(
x
)
(
所以 ( )
f x 为偶函数.
(2)当 (1,
x 时,
)
任取 1
x
,
x x ,且 1
(1,
)
2
x
2
x
1
1
1
1
x
.
( )
f x
x ,
2
x
x
1
2
1)(
x
2
1)
那么
(
f x
1
)
(
f x
2
)
1
1
(
1
x
1
x
1
1
x
,所以 2
x
2
x
, 1
(
x
1
(
(
f x
f x
,即 1
x
2
(
f x
) 上的严格减函数.
0
0
)
)
2
因为
1 x
1
)
(
f x
所以 1
f x 是 (1,
所以 ( )
)1 (
x
2
1) 0
,
)
2
.
19. 环保生活,低碳出行,新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号国产电动汽
车,在一段平坦的国道进行测试,国道限速 80km/h(不含 80km/h).经多次测试得到,该汽
车每小时耗电量 M (单位:Wh)与速度 v (单位:km/h)的下列数据:
v
M
0
0
20
3000
40
60
5600
9000
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度 的关系,现有以下三种函数模型供选择:
( )
M v
(1)当 0
2
3
v
cv
bv
,
1
40
v 时,请选出符合表格所列实际数据的函数模型,并求出相应的函数解析式;
, ( )
M v
( ) 800(
500 log (
a
.
M v
2
3
80
1)
a
b
v
)
v
(2)现有一辆同型号汽车在 200km 的国道上行驶,如何行使才能使得总耗电量最少,最少
为多少?
【答案】(1)
( )
M v
1
40
3
v
2
bv
符合,且
cv
( )
M v
1
40
3
v
2
2
v
180
v
(2)此汽车以 40km/h 的速度行驶时,总耗电量最少,最少为 28000Wh
( )
f x
20. 已知函数
2
x
1
x
(1)求不等式 (
4) 1
f x
(2)若关于 x 的方程 ( )
f x m
.
(
f x
在 [1,
0
的解集;
)
2)
x 上有解,求实数 m 的最大值;
( )
f x
关于点 ( 1, 1)
中心对称.
(3)证明:函数
【答案】(1)
(2)最大值为
y
3,3
1
2
(3)在函数
关于点
y
的对称点 ( 2
1, 1
( )
f x
Q
,
, 2
a
b
)
的图象上任意取一点 ( , )
P a b ,
由 ( )
f a
b 得
b
2
a
a
1
,即
a
2
b
b
1
(
b
1)
,
把
x
代入得
a
2
f
( 2
a
)
2 2
a
2
1
a
4
a
1
a
3
b
b
6
1
1
b
3
b
2
,
24+
b
1
b
2
b
1
b
Q
1
所以对称点 ( 2
的图象上.
即函数
y
( )
f x
)
y
a
, 2
( )
f x
b
在函数
的图象关于
1, 1
中心对称.
( )
f x
) |
k
x
,则称函数 ( )
y
21. 函 数
|
( )
f
f x
(1)分别判断函数 ( ) 2021
(
f x 具有性质 ( )P k .
与 ( )g x
f x
为二次函数,若存在正实数 k ,使得函数
(2)已知
y
( )
f x
x 是否具有性质 (1)P ,并说明理由;
y
( )
f x
具有性质 ( )P k .求证:
的 定 义 域 为 D , 若 存 在 正 实 数 k , 对 任 意 的 x D , 总 有
y
( )
f x
是偶函数;
(3)已知 0
a
, 为给定的正实数,若函数
k
( )
f x
log 4x
2
a
具有性质 ( )P k ,求 a
x
的取值范围.
【答案】
) |
| 2021 2021| 0 1
,
f
(
x
(1)
( )
对任意 xR ,得 |
f x
f x 具有性质 (1)P ;
所以 ( )
) |
(
( )
对任意 xR ,得 |
(
|
x
x
g
g x
(1)
易得只需取 1x ,则|
( 1) | 2 1
g
g
.
所以 ( )g x 不具有性质 (1)P
) |
| 2 |
x
x
,
.
(2)
设二次函数
( )
f x
则对任意 xR ,
x
( )
f x
满足
(
f
|
x
若 0b ,取 0
|
2
ax
bx
(
c a
满足性质 ( )P k .
0)
) |
k
b
|
ax
2
bx
c
(
ax
2
bx
c
) |
| 2
bx
|
k
.
,
0
|
(
f x
0
)
f
(
x
0
) |
| 2
bx
0
| 2
k
,矛盾.
k
|
所以 0b ,此时
满足
f
f x
x
( )
f x
2
ax
(
c a
,
0)
,即
y
( )
f x
为偶函数
(3)
由于 0a ,函数
( )
f x
log (4
2
x
a
)
的定义域为 R.
x
易得
x
log (4
x
( )
2 )
f x
f x 具有性质 ( )P k ,则对于任意实数 x ,
log (2
a
a
x
)
2
2
x
.
若函数 ( )
有
|
( )
f x
f
(
x
) |
| log (2
2
x
a
2 )
x
log (2
2
x
a
2 )|
x
|
k
,即
k
log
2
x
2
2
2
a
x
2
a
x
x
k
.
| log
2
x
2
2
即
k
log
x
x
2
a
x
2
a
x
4
a
1
2
a
4
x
k
.
由于函数
y
log
2
x
在 (0,
) 上严格递增,得
k
2
x
4
a
a
4
x
1
k
2
.
k
2
即
1
a
a
4
a
,对任意实数 x 恒成立.
k
当 1a 时,得 2
1
a
2
1
.
k
x
k
1 2
1
a
当 1
a 时,易得
a
,由1
0
a
4
1x
,得
0
1
a
1
4x
1
,
得
0
1
a
a
4x
a
1
,得
a
1
a
1
a
1
a
1
a
a
4x
a
1
.
a
对任意实数 x 恒成立,
由题意得
k
2
1
a
1
1
a
a
4
a
k
2
x
所以
1
a
a
k
2
k
2
,即1
a
2 .k
当
1a 时,易得
a
,由1
0
1
a
a
4
1x
,得
0
1
a
1
4x
1
,
得
0
1
a
a
4 x
a
1
,得
a
1
a
1
a
1
a
1
a
a
4x
a
1
.
a
对任意实数 x 恒成立,
由题意得
k
2
1
a
1
1
a
a
4
a
k
2
x
所以
k
2
k
2
a
1
a
,即1
a
2 .k
综上所述, a 的取值范围为[2 ,2 ]
k
k
.