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2022年北京海淀高一数学下学期期末试卷及答案.doc
2022 年北京海淀高一数学下学期期末试卷及答案
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．已知正四棱锥的底面边长为 2，高为 3，则它的体积为 (
)
A．2
B．4
2．向量 (2,0)
a
b
， (1,2)
，则|
2 |
b
a
(
A． 4
B． 13
C．6
)
C．4
D．12
D．13
3．将函数 ( )
f x
sin 2
x
的图象向右平移个单位长度后得到函数 ( )
f x
sin(2
x
的图象，
)
3
则的最小值是 (
)
A．
6
4． 5
cos
12
A． 6
(
)
2
4
B．
3
C． 2
3
D． 5
6
B． 6
2
4
C． 3
2
4
D． 2
6
4
5．已知直线 m 和平面， ，则下列四个命题中正确的是 (
)
A．若 ， m ，则 m
B．若 / /m ， / /m ，则 / /
C．若 / / ， / /m ，则 / /m
D．若 / / ， m ，则 m
6．函数
y
2
sin
x
的最小正周期与其图象的对称中心分别是 (
)
A．
2 ,(
k
)(
k Z
)
B． 2 ,(
k
,0)(
k Z
)
)(
k Z
)
D． ,(
,0)(
k Z
)
,
1
4 2
1
4 2
,
C．
,(
k
2
4
k
2
4
7．已知向量 a ， b 是两个单位向量，则“ a ， b 为锐角”是“|
a b ”的 (
2
|
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知函数 ( )
f x
x
2sin
在区间[
]
3 4
,
上的最小值为 2 ，则的取值范围是 (
)
A．
(
,
9
2
]
[6,
)
B．
(
,
9
2
]
[
3
2
,
)
C． ( ， 2]
， )
[6
D．
(
, 2]
[
3
2
,
)
9．底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比 5 1
2
(
)
的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶
角为 36 的黄金三角形被认为是最美的三角形．据此可得 cos 216 的值是 (
A． 4
5
8
B． 1
10．在 ABC
中， cos
a
A b
cos
5
4
B
，则 ABC
C． 3
5
8
的形状是 (
)
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
)
D． 1 2 5
4
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
11．已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则其侧面积为
．
12．向量 (2, 1)
a
b
， (2, )
t
a
， (
ta b
)
，则实数 t
．
13．在正方形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，则 (
BE CE BC
)
．
14．函数 ( )
f x
3 sin
x
cos(
x
， [
x
)
3
]
2 2
,
的值域是
．
15．如图，在棱长为 1 的正方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
中， E 是棱 1AA 上的一
个动点，给出下列四个结论：
B
①三棱锥 1
BED
1
的体积为定值；
②存在点 E ，使得 1B D 平面
BED ；
1
③对每一个点 E ，在棱 DC 上总存在一点 P ，使得 / /
AP 平面
BED ；
1
④ M 是线段 1BC 上的一个动点，过点 1A 的截面垂直于 DM ，则截面的面积的最小值为
．
6
2
其中所有正确结论的序号是
．
三、解答题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．（9 分）如图，在四棱锥 P ABCD
中， / /
BC 平面 PAD ， AD BC ， E ， F ， H ，G
分别是棱 PA ， PB ， PC ， PD 的中点，
（Ⅰ）求证： / /
BC AD ；
（Ⅱ）判断直线 EF 与直线 GH 的位置关系，并说明理由．
17．（10 分）在 ABC
中， 2 cos
b
A a
， 8c ，
2
c
sin
A
3 3
14
．
（Ⅰ）求 B ；
（Ⅱ）求 ABC
的面积．
18．（11 分）如图，在直棱柱
ABCD A B C D
1
1 1
1
中，底面 ABCD 是菱形，
AB ，
2
BAD
60
，
1AA
a ， E ， F 分别是棱 BC ， 1DD 的中点．
（Ⅰ）求证：
BD A C ；
1
（Ⅱ）求证： / /
EF 平面 1A BD ；
（Ⅲ）是否存在正数 a ，使得平面 1A BC 平面 1A DC ？若存在，求 a 的值；若不存在，说明
理由．
19．（10 分）若点 0(x ， 0 )y 在函数 ( )
f x 的图象上，且满足 0
y
0(
f y
，则称 0x 是 ( )
) 0
f x 的
点．函数 ( )
f x 的所有点构成的集合称为 ( )
f x 的集．
（Ⅰ）判断 4
3
是否是函数 ( )
f x
tan
x
的点，并说明理由；
（Ⅱ）若函数 ( )
f x
sin(
x
)(
的集为 R ，求的最大值；
0)
（Ⅲ）若定义域为 R 的连续函数 ( )
f x 的集 D 满足 D RÜ ，求证：{ |
x f x
( )
0}
．
选做题：（本题满分 0 分。所得分数可计人总分，但整份试卷得分不超过 100 分）
20．正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频
率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加．正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：
A
sin(2
)
ft
，其中 ( )V t 表示正弦信号的瞬时大小电压V（单位： )V 是关于时间 t（单
( )
V t
位： )s 的函数，而 0A 表示正弦信号的幅度， f 是正弦信号的频率，相应的 1
f
为正弦
T
信号的周期，为正弦信号的初相．由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设
计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机
理．如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个
电阻，电阻值分别为 1R ， 2R ， 3R ， 4R （单位： 1)
( )V t
和 2( )V t 是两个输入信号， 0( )V t 表示
的 是 输 出 信 号 ， 根 据 加 法 器 的 工 作 原 理 ， 0( )V t 与 1( )V t 和 2( ))
V t 的 关 系 为 ：
( )
V t
o
(1
R
4
R
3
)
1
( )
R V t
2
R
1
2
( )
R V t
1
R
2
．
R
例 如 当 1
R
2
R
3
R
4
， 输 入 信 号 1( )
1
V t
sin
t
， 2( )
V t
cos
t
时 ， 输 出 信 号 ：
( )
V t
o
(1
1 1 sin
)
1
t
1 cos
t
1 1
sin
t
cos
t
．
R
（ Ⅰ ） 若 1
R
2
R
3
R
4
， 输 入 信 号 1( )
1
V t
sin
t
， 2( )
V t
cos
t
， 则 0( )V t 的 最 大 值
为
；
（Ⅱ）已知 2
R ， 3
R ， 4
R ，输入信号 1( )
V t
3
1
2
sin(
t
， 2( )
)
V t
6
cos(
t
．若
)
3
( )
oV t
A
sin(
t
（其中 0)
A 则 1R
)
3
；
R ， 4
R ，
1
1
0
R
2
，且 1( )
1
R
V t
1
sin
t
， 2( )
V t
cos 2
t
．若 0( )V t 的
（Ⅲ）已知 3
最大值为 3
2
，则满足条件的一组电阻值 1R ， 2R 分别是
．
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
参考答案
1．解：如图，正四棱锥 P ABCD
AB ，
2
PO ，
3
中，
1 2 2 3 4
3
．
1
3
S
ABCD
PO
所以
V
P ABCD
故选： B ．
考查数形结合思想等，是中档题．
2．解：因为向量 (2,0)
a
b
， (1,2)
，
所以 2
b
a
(0, 4)
，
所以|
2 | 4
b
a
．
故选： C ．
3．解：将将函数 ( )
f x
sin 2
x
的图象向右平移个单位长度后，
得到函数 sin 2(
y
x
)
sin(2
x
2 )
sin(2
x
，
)
3
所以 2
3
2
k
， k Z ，即
当 0
k 时，取得最小值为
6
．
2
k
， k Z ，
6
故选： A ．
4．解： 5
cos
12
故选： A ．
cos(
7
)
12
cos(
)
4
3
(
1
2
2
2
3
2
2
2
)
6
4
2
．
5．解：对于 A 选项，若 ， m ，则 m 可能与平行，故 A 错误；
对于 B 选项，若 / /m ， / /m ，则， 可能平行或者相交，则 C 错误；
对于 C 选项，若 / / ， / /m ，则 m 可能与 平行或者在平面 内，故 B 错误；
对于 D 选项，由面面平行以及线面垂直的性质可知， D 正确；
故选： D ．
y
2
sin
x
1 cos 2
x
，
6．解：因为
2
所以函数的最小正周期为 2
2
T
，
令 2
x
k
， k Z ，解得
,
k Z
，
2
所以函数的对称中心为 (
， k Z ，
x
k
2
4
， 1)
k
4
2
2
故选： C ．
7．解：向量 a ， b
由 a ， b
是两个单位向量，
为锐角可得 cos
,
a b
0
，
a b
|
|
a b
)
(
2
2 2cos
,
a b
2
，
反过来，由|
a b 两边平方可得 2
a
2
|
a b
b
2
2
2
，
2 2cos
,
a b
2
， cos
,
a b
0
，
,
a b
[0,
)
2
， a ， b 不一定为锐角，
故“ a ， b
为锐角”是“|
故选： A ．
a b ”的充分不必要条件，
2
|
【点评】本题考查充分与必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质，属基础题．
8．【分析】先根据 x 的范围求出 x 的范围，根据函数 ( )
f x 在区间[
]
3 4
,
上的最小值为 2 ，
可得到
3
2
，即 3
2
，然后对分大于 0 和小于 0 两种情况讨论最值可确定答案．
【解答】解：当 0 时，
x
，
3
4
由题意知
3
2
，即 3
2
，
当 0 时，
4
x
，
3
由题意知
4
2
，即
2 ，
综上知，的取值范围是
(
, 2]
[
3
2
,
)
．
故选： D ．
9．解：由题意可知：把顶角为 36 的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金
分割比 5 1
2
，该三角形被认为是最美的三角形．
0.618
如图，则可得：
cos
B
1
BC
2
AB
5 1
4
，
可得
cos72
5 1
4
，
cos72
2cos 36
2
1
即
2cos 36
2
1
，
(
5 1
)
4
2
，
6
5 1
4
2 5
2
4
5 1
4
，
所以 2
cos 36
所以
cos36
所以
cos216
cos(180
36 )
cos36
5 1
4
．
故选： B ．
10．解：利用正弦定理： cos
a
A b
cos
B
转换为 sin cos
A
A
sin cos
B
B
，
整理得 sin 2
A
sin 2
B
，
故 2
2A
B 或 2
2A
所以 A B 或
A B
；
B
2
；
故三角形为等腰三角形或直角三角形．
故选： D ．
二、填空题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
11．解：圆柱的底面半径为 1，高为 2，
则其侧面积为 2
S
1 2
．
4
故答案为： 4．
12．解：
ta b
(2
t
2, 2 )
t
a
， (
ta b
)
，
a ta b
(
) 2(2
t
2) 2
t
0
，解得 2
3
t ．
故答案为： 2
3
．
13．解：如图
(
BE CE BC
)
BE CE
(
BE EC
)
BE CE
(
BE CE
)
BE
2
CE
2
) (
) (
，
因为|
BE CE
|
|
|
，所以 (
BE CE BC
)
0
；
故答案为：0．
14
解
：
( )
f x
3sin
x
cos(
x
)
3
3sin
x
1
2
cos
x
3
2
sin
x
3
2
sin
x
1
2
cos
x
sin(
x
；
)
6
由于 [
x
所以
x
，
,
，
]
2 2
2[
]
3
3
3
2
6
．
]
,
故
( )
[ 1,
f x
故答案为：
[ 1,
3
2
]
．
15．解：对于①，如图，在棱长为 1 的正方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
AA
中， 1
/ /
BB ， 1AA 平面
1
BB D ， 1BB 平面 1
BB D ，
1
1
1
AA
1 / /
平面 1
BB D ，
1
点 E 是棱 1AA 上的一个动点，点 E 到平面 1
BB D 的距离为
1
h ，
2
2
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