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2019-2020年北京市密云区高二数学上学期期末试题及答案.doc
2019-2020 年北京市密云区高二数学上学期期末试题及答案
一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合
题目要求的一项.
1. 设 , ,a b c R ，且 a
b ，则下列不等式成立的是（
）
2
2
a
A.
C. 1
a
b
1
b
【答案】D
解：A.取 1,
a
b
B.取 0c = ，则 2
ac
，则 2
a
2
2
bc ，故错误；
B.
2
ac
2
bc
D. a c
b c
2
b ，故错误；
a
C.取 1,
b
，则
2
1
a
，故错误；
1
b
D.由不等式的性质“在不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变”可知 D 正确，
故选：D.
2. 抛物线 2
x
A.
4,0
【答案】D
8
y 的焦点坐标为（
0,4
B.
）
C.
2,0
D.
0,2
解：由 2
x
8
y
2
px
，得
p ，故抛物线 2
x
4
y 的焦点坐标为
8
0,2 .
故选：D.
- 3
3. 命题“ x R ， 2
+4 0
x
x
A. 不存在 0x
R ， 2
+4 0
x
x
+4
0
x ≤
x R ， 2
x
- 3
- 3
C.
”的否定是（
）
B. 存在 0x
R ， 2
x
D.
x R ， 2
x
- 3
x
0
- 3
+4
x ≤
+4 0
【答案】C
解：根据特称命题的否定是全称命题可知 x R ， 2
x
+4
x
x ≤
故选：C.
- 3
0
.
2
- 3
x
+4 0
的否定为： x R ，
4. 已知直线 l的方向向量为 m
，平面的法向量为 n
，则“
m n
”是“ //l ”的（
0
）
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
解：若
【答案】C
m n
若 //l ，则
故“
m n
故选：C
0
，则 //l 或l ，故充分性不成立，
0
m n
”是“ //l ”的必要不充分条件，
，必要性成立，
0
5. 已知函数
f x 与
'f
x 的图象如图所示，则不等式组
x
f x
0
x
f
4
的解集为（
）
A.
0,1
C.
4 ,2
3
【答案】A
B.
41,
3
D.
1,4
解：结合图象，若实线是 ( )
在 (0,2) 单调递增，不满足题意，故实线那支为
f x 的图象，虚线是
'f
'f
x 的图象，则在 (0,2) 上
f
'
x ，则 ( )
f x
0
x 的图象，虚线那支为 ( )
f x 的图象，
x
f x
0
x
f
4
的解集为
0,1 .
故不等式组
故选：A.
6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为
难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：
“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，
走了 6 天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为.
A. 24 里
【答案】C
B. 12 里
C. 6 里.
D. 3 里
解：记每天走的路程里数为 na ，可知 na 是公比
q 的等比数列，
1
2
378
，解得： 1 192
a
，
S
由 6
378
，得
S
6
a
1
1
1
6
2
11
2
a
6
192
1
5
2
，
6
故选 C．
7. 若数列 na 中，
a
1
1,
a
2
2,
a
n
1
a
n
a
n
1
n
,
2,
n
*
N ,
a
则 2019
（
）
A. -2
【答案】C
B. -1
C. 1
D. 2
，
a
n
1
解：数列 na 中， 1
a
1,
a
2
2,
a
n
1
a
n
a
所以当 2n 时， 3
a
2
1 1
a
，
a
当 3n 时， 4
=
a
3
-
a
2
= - ，
1
a
当 4n 时， 5
a
4
a
3
a
当 5n 时， 6
a
5
a
4
，
1 1
2
，
2 1
1
a
当 6n 时， 7
=
a
6
-
5 1
a
= ，
a
当 7n 时， 8
a
7
a
6
，
2
, 所以：数列的周期为 6.
故 2019 336 6 3
，
a
即 2019
a
3 1.
故选：C.
8. 已知双曲线
C
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的两条渐近线分别为直线 1l ， 2l ，直线l 经过双曲线
0)
C 的右焦点 F 且垂直于 1l ，设直线l 与 1l ， 2l 分别交于 A ， B 两点，若
FB
3
AF
，则双曲
线C 的离心率为（
A. 2 3
3
）
B.
3
2
【答案】C
解：
C.
6
2
D. 4 3
3
如图 1， 1 :
l bx ay
以
， 2 :
l bx ay
0
，由已知，
0
FA
|
a
|cb
2
b
2
b
，
FB
b ，所
3
OA
2
OF
2
FA
2
c
2
b
，如图 2，过 F作 FG OB
a
于 G，易证 AOF
FOG
，
所以 FG b ，故OG OA a
，
BG
2
BF GF
2
2
9
b
2
b
2 2
b
，从而
OB a
2 2
b
，在 OAB
中， 2
OB OA
2
2
AB
，所以
(
a
2 2 )
b
2
2
a
16
b
2
，化简
得
a
2
b
，故双曲线离心率为
e
c
a
1 (
b
a
2
)
1
1
2
6
2
.
故选：C.
二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9. 在空间直角坐标系中，已知点 M（1，0，1），N（-1，1，2），则线段 MN的长度为____________
【答案】 6
解：
MN
2
[1 ( 1)]
(0 1)
2
(1 2)
2
．
6
故答案为 6 ．
10. 已知双曲线
2
2
x
a
【答案】
1
2
2
y
（ 0a ）的离心率是 5 ,则 a _________．
1
解：由已知， 1b ，所以
e
c
a
1 (
b
a
2
)
1
1
2
a
，解得
5
a .
1
2
故答案为：
1
2
.
11. 曲线 ( )
f x
x
y
【答案】
(
1
x
1)cos
x
在点 (0,
f
(0))
处的切线方程是_________________．
解：由已知， '( )
f x
cos
x
(
x
1)sin
x
，所以 '(0) 1
，又 (0) 1
f
f
，故切线方程为
y
f
(0)
故答案为：
f
y
，即
0)
'
(0)(
x
1
x .
y
1
x .
x
12. 在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线 2
x
合条件的一条直线l 方程_______________．
【答案】 1;
y
解：当直线 l 斜率不存在时， 1x 或 = 1
程为
y
，联立双曲线方程可得
(
x a a
kx a
1;
2
)
k x
(1
x
y
2
2
y
有且只有一个公共点，请写出任意符
1
(
x a a
0);
x ，满足题意，当直线l 斜率存在时，设直线l 方
（答案不唯一）
0)
2
kax a
2
1 0
，当 1k 时，
2
ax a
2
1 0
，
若 0a ，则方程有唯一解
x
2 1
a
2
a
a ，则方程无解，
0
，满足题意，此时直线 l 方程为
y
(
x a a
，若
0)
不满足题意；同理，当
k 时，
2
1
ax a
2
，若 0a ，则方程有唯一解
1 0
x
a
2 1
2
a
，
满足题意，
此时直线l 方程为
y
(
x a a
，若 0
a ，则方程无解，不满足题意；当
0)
k 时，
1
则方程有两个不等的根或无实根，不满足题意.
故答案为： 1;
(
x a a
1;
0);
x
x
y
y
(
x a a
（答案不唯一）
0)
13. 已知二次不等式 2
ax
2
x b
的解集为
0
为__________.
【答案】 2 2
解：由于二次不等式 2
ax
2
x b
的解集为
0
x x
1
a
，且 a
b ，则
2
2
a
b
a b
的最小值
x x
1
a
，
则
0
a
4 4
，
ab
0
ab 且 0a ， a
b
1
，
0
a b .
2
2
a
b
a b
a b
2
a b
2
ab
2
a b
a b
2
a b
2
a b
2
a b
2
a b
2 2
.
当且仅当
因此，
2
a b 时，等号成立.
2
a
b
a b
的最小值为 2 2 .
2
故答案为 2 2 .
14. 已知椭圆
G
:
2
x
6
2
2
y
b
1 (0
b
6)
的两个焦点分别为 1F 和 2F ，短轴的两个端点
分别为 1B 和 2B ，点 P在椭圆 G上，且满足 1
PB
PB
2
PF
1
PF
2
．当 b变化时，给出
下列三个命题：
①点 P的轨迹关于 y轴对称；
②存在 b使得椭圆 G上满足条件的点 P仅有两个；
③|
|OP 的最小值为 2，其中，所有正确命题的序号是___________．
【答案】①③
2
2
1(0
b
6)
的两个焦点分别为
解：椭圆
:
G
2
x
6
y
b
b ， 0) 和
2
2
6
2(
F
， 0) ，
1( 6
b
F
短轴的两个端点分别为 1(0,
b 和 2(0, )
设 ( ,
P x y ，点 P 在椭圆G 上，且满足 1
PB
B
B
)
)
|
b ，
|
|
PB
2
|
|
PF
1
|
|
PF
2
|
，
|
|
PB
2
| 2
a
2 6
，
2
b
|
PB
由椭圆定义可得， 1
x
即有 P 在椭圆
2
y
6
6
2
2 1
b
上．
对于①，将 x 换为 x 方程不变，则点 P 的轨迹关于 y 轴对称，
故①正确；
对于②，由图象可得轨迹关于 x ， y 轴对称，且 0
则椭圆G 上满足条件的点 P 有 4 个，
不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点 P 仅有两个，故②不正确；
对于③，点 P 靠近坐标轴时 (
b ，
b ，|
b 或
6)
6
0
|OP 越大，点 P 远离坐标轴时，|
|OP 越小，
所以
6 b
2
2
，即 2
b 时，取得最小值，此时
3
b
G
:
2
x
6
2
y
3
1
，与
2
y
6
2
x
3
1
两方程相加得
2
x
2
2
y
2
故答案为：①③．
2
2
x
2
y
，即|
2
|OP 的最小值为 2，故③正确．
三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. 已知等差数列 na 中， 1
a
2,
a
4
8
.
nb ，求证：数列 nb 是等比数列；
a
2
2 na
（1）设
（2）求数列
a
n
b 的前 n 项和.
n
3
4
n
2 -1
【答案】
（1）证明见解析 （2）
n n
2
解：（1）设 na 的公差为d ，
d
a
4
a
1
a
由 2
，可得
16
a ，可得 1d .
又 1
na
1
a
1
故
2
n
d
2
1 3
a
d
，即 12
a
8
4
d
8
.
n
1 1
n
1
依题意，
nb
12n
，因为
b
1
n
b
n
2
1
n
2
2
n
（常数）.
2
故 nb 是首项为 4，公比 2 的等比数列.
（2） na 的前 n 项和为
n a
1
a
3
n n
2
2
n
4 2
（
1)
n
2
n+1
4 2
1 2
3
（2 -1）.
4
n
nb 的前 n 项和为
b q
b
1
n
1
q
故
a
n
b 的前 n 项和为
n
n n
2
16. 已知函数
( )
f x
1
3
3
x
2
x
3
x
2(
)
x R
.
（1）求函数 ( )
f x 的单调区间；
（2）判断函数 ( )
f x 零点的个数，并说明理由.
【答案】
（1）函数 ( )
f x 在区间 (
，(3,
, 1)
（2）一个，理由见解析
) 上单调递增；函数 ( )
f x 在区间( 1,3)
上单调递减.
解：（1）解：由题意得
2
x
2
x
，
3
( )
f x
x ， 2
)
1
,
0
，得 1
f x 在区间 (
f x
令 ( )
f x 与 '( )
( )
x ．
3
上的情况如下:
x
( )
f x
'( )
f x
(
, 1)
+
增
1
0
1
3
( 1,3)
_
减
3
0
11
(3,
)
+
增
函数 ( )
函数 ( )
f x 在区间(
f x 在区间( 1,3)
， (3,
上单调递减.
, 1)
) 上单调递增;
（2）根据第一问，由函数单调性可知
( 1)
f ；
f x 有极大值
f x 有极小值 (3)
1
3
；
单调递增，在区间 ( 1,3)
3)- ， 上，恒有 ( ) 0
f x ；
f
，(举例不唯一)
当 = 1
x 时， ( )
当 3x 时， ( )
在区间(
, 1)
可知 在(
当 9x 时， (9)
(3,
有且只有一个实数 (3,
所以函数 ( )
0
f
11
上单调递减，
) 上单调递增，由零点存在定理可知，
t ，使得 ( ) 0
t .
)
f
f x 有且只有一个零点
17. 如图，在四棱锥 P ABCD
中，等边三角形 PCD 所在的平面垂直于底面 ABCD ，
AB AD
1
2
CD
，
1
BAD
ADC
90
， M 是棱 PD 的中点．
（Ⅰ）求证： AD 平面 PCD ；
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