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2022年云南成人高考专升本高等数学(二)真题及答案.doc
2022 年云南成人高考专升本高等数学(二)真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分.考试时间 150 分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共 40 分）
一、选择题（1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1.设函数
( )
f x
sin ,
( )
x g x
2
则 ( ( ))
f g x （
x
,
）
A．是奇函数但不是周期函数
B．是偶函数但不是周期函数
C．既是奇函数又是周期函数
D. 既是偶函数又是周期函数
2. 若
lim
0
x
2
)
1
(1
ax
x
，则 a （
2
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.设函数 ( )
f x 在 0
x 处连续， ( )g x 在 0
x 处不连续，则在 0
x 处（
）
A.
( ) ( )
f x g x 连续
B.
( ) ( )
f x g x 不连续
C.
( )
f x
( )
g x
连续
D.
( )
f x
( )
g x
不连续
4. 设 arccos
y
x
，则 'y （
）
A.
1
1 x
2
B.
1
1 x
2
C.
1
1 x
2
D.
1
1 x
2
5.设 ln(
y
x
e
)x
，则 'y （
）
A.
1
x
e
e
x
x
B.
1
x
e
e
x
x
C.
1
xe
1
D.
1
e
x
x
6.设 (
ny
2)
2
x
sin
x
，则 ( )ny
（
）
A. 2 sin x
B. 2 cos x
C. 2 sin x
D. 2 cos x
7.若函数 ( )
f x 的导数 '( )
x
f
x ，则（
1
）
A.
( )
f x 在 (
单调递减
)
,
B.
( )
f x 在 (
单调递增
)
,
C.
( )
f x 在 (
单调递增
,1)
D.
( )
f x 在 (1,
) 单调递增
8.曲线
y
2
x
1
x
的水平渐近线方程为（
）
A.
0y
B.
1y
C.
y
2
D.
3y
9.设函数 ( )
f x
arctan
x
，则 '( )
x dx
f
（
）
A. arctan x C
B.
arctan x C
C.
1
x
2
1
C
D.
1
x
2
1
C
10.设
z
x y
e
，则 (1,1)
dz
(
）
A. dx dy
B. dx
edy
C. edx dy
D.
2
e dx
2
e dy
第 II 卷（非选择题，共 110 分）
二、填空题（11-20 小题，每题 4 分，共 40 分）
11.
lim
x
x
e
2
e
x
x
x
.
12.当
x 时，函数 ( )
f x 是 x 的高阶无穷小量，则
0
13. 设
y
23
x
，则 'y
ln 3
.
14.曲线 y
在点（1，2）处的法线方程为
x
x
15.
16.
1
0
x
1
cos
x
xdx
2
x
2
x
1
dx
.
.
17. 设函数
( )
f x
x
0
u
tan
udu
，则 '
f
18.设
z
3
x y
xy
3,
则
2z
x y
4
.
lim
0
x
( )
f x
x
.
.
.
19.设函数
z
( , )
f u v
具有连续偏导数，
u
x
,
y v
则
xy
,
z
x
20.设A，B为两个随机事件，且 (
P A
) 0.5,
(
P AB
) 0.4,
则 (
P B A
)
|
.
.
三、解答题（21-28 题，共 70 分。解答应写出推理、演算步骤）
21.计算（本题满分 8 分）
设函数
( )
f x
sin
ax x
,
x
2,
x
x
0
0
在 0
x 处连续，求 a .
22.（本题满分 8 分）
设
y
x
1
x
，求 'y .
23. （本题满分 8 分）
求
1
1)(
(
x
dx
x
2)
24. （本题满分 8 分）
计算
1
1 dx
x
4
25. （本题满分 8 分）
设离散型随机变量 X 的概率分布为
X
P
0
1
2
0.3
0.5
0.2
(1)求 X 的分布函数 ( )F x ，
(2)求 ( )E x .
26. （本题满分 10 分）
设
z
( ,
z x y
)
是由方程 2
y
2
2
xz
2
z
所确定的隐函数，求 ,z
1
x
z
y
.
27. （本题满分 10 分）
设D为由曲线
y
x
2,
y
0,
x
所围成的图形.
2
(1)求D的面积.
(2)求D绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
28. （本题满分 10 分）
证明：当 1x 时， ln
x
1
x .
参考答案和解析
一、选择题
1.【答案】B
【考情点拨】本题考查了复合函数的性质的知识点.
【应试指导】
( ( ))
f g x
(
f x
2
)
sin
x
2
,
而
( (
f g
x
))
sin(
x
)
2
sin
x
2
( ( ))
f g x
，
所以函数 ( ( ))
f g x 是偶函数，但不是周期函数。
2.【答案】A
【考情点拨】本题考查了洛比达法则的知识点.
【应试指导】
2
)
1
lim
0
x
(1
ax
x
lim
0
x
ax
)
2 (1
a
1
3.【答案】D
【考情点拨】本题考查了函数的连续性的知识点.
2 (1 0) 2
a
a
故 1a .
2
【应试指导】 ( )
f x 在 0
x 处连续， ( )g x 在 0
x 处连续，故 ( )
f x
( )
g x
在 0
x 处不
连续.否则若 ( )
f x
( )
g x
在 0
x 处连续，则 ( )
f x
( )
g x
( )
f x
( )
g x
在 0
x 处连续，
与题意矛盾，故选 D 选项。
4.【答案】B
【考情点拨】本题考查了函数导数的知识点.
【应试指导】
y
'
(arccos )
x
'
1
1
.
2
x
5.【答案】B
【考情点拨】本题考查了复合函数的导数的知识点.
【应试指导】.
6.【答案】A
【考情点拨】本题考查了高阶导数的知识点.
【应试指导】 (
y
n
1)
[
y
(
n
1)
'
]
2
(
x
sin )
x
'
2
x
cos
x
.所以
(
n
1)
y
[
y
(
n
1)
'
]
(2
x
cos )
x
'
2 sin
x
7.【答案】C
【考情点拨】本题考查了函数的单调性的知识点.
【应试指导】当 1x 时此， '( )
x
f
x ，故函数的单调递增区间为 (
1 0
；当 1x
,1)
时， '( )
x
f
x ，故函数的单调递减区间为 (1,
1 0
) 。因此选 C 选项。
8.【答案】C
【考情点拨】本题考查了函数的水平渐近线的知识点.
【应试指导】由于
lim
x
2
x
1
x
lim
x
2
1 0
2
2
1
1
x
.故函数的水平渐近线为
2
y .
9.【答案】A
【考情点拨】本题考查了不定积分的性质的知识点.
【应试指导】 '( )
x dx
f
( )
f x C
arctan
x C
.
10.【答案】D
【考情点拨】本题考查了二阶函数的全微分的知识点.
【应试指导】由题可得
z
x
x y
e
,
z
y
x y
e
.故
dz
z
x
dx
z
y
dy
e
x y
dx
e
x y
dy
，
因此
dz
(1,1)
x y
e
(1,1)
dx
e
x y
(1,1)
dy
2
e dx
2
e dy
.
二、解答题
11.【答案】-1
【考情点拨】本题考查了洛比达法则的知识点.
【应试指导】
lim
x
x
e
2
e
x
x
x
lim
x
x
e
2
e
x
1
1
0 1
0 1
1
.
12.【答案】0
【考情点拨】本题考查了高阶无穷小的知识点.
x 时， ( )
f x 是 x 的高阶无穷小量，故
0
lim
0
x
( )
f x
x
0
【应试指导】当
13.【答案】 6x
【考情点拨】本题考查了导数的性质的知识点.
【应试指导】
y
'
2
(3
x
ln3)'
14.【答案】 2
x
3
y
8 0
2
(3 )'
x
(ln3)' 6
x
0 6
x
.
【考情点拨】本题考查了导数的几何意义的知识点.
【应试指导】由题可得
y
'
(
x
x
'
)
1
1
2
x
故
'
xy ，因此曲线在点（1，2）
1
3
2
，故所求法线的方程为
2
3
y
2
2
3
(
x
即 2
1),
x
3
y
8 0
.
处法线的斜率是
15.【答案】 0
【考情点拨】本题考查了对称区间上奇偶函数的定积分的性质的知识点.
【应试指导】令
( )
f x
x
1
cos
x
x
2
,
f
(
x
)
x
)
cos (
x
x
2
)
1 (
x
x
cos
x
2
1
x
( )
f x
，因此 ( )
f x 为
奇函数，所以
x
1
cos
x
16.【答案】 2 1
xdx
2
0
.
【考情点拨】本题考查了定积分的计算的知识点.
1
0
2
(
x
1)
1
2
2
(
d x
1
1)
2
1
2
1
2
(
x
1)
1
1
2
1
1
0
2 1
1
0
x
2
x
1
dx
1
2
【应试指导】
17.【答案】
4
【考情点拨】本题考查了变上限定积分的知识点.
【应试指导】由题意可得
'( )
f x
18.【答案】 2
x
3
3
y
2
x
0
u
tan
udu
'
x
tan
x
.因此 '
f
4
4
tan
4
4
【考情点拨】本题考查了二阶偏导数的知识点.
【应试指导】
19.【答案】
z
x
f
u
3
2
x y
3
y
,
2
z
x y
2
3
x
2
3
y
.
fy
v
【考情点拨】本题考查了复合函数的偏导数的知识点.
【应试指导】
z
x
f
u
u
x
f
v
v
x
f
u
1
f
v
y
f
u
y
f
v
.
20.【答案】 0.8
【考情点拨】本题考查了条件概率的知识点.
【应试指导】
(
)
P B A
|
(
)
P AB
)
(
P A
0.4
0.5
0.8
.
三、解答题
21. 因为 ( )
f x 在 0
x 处连续，所以
lim ( )
f x
0
x
f
(0)
2
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