2010 年上海闵行中考数学真题及答案
(满分 150 分,考试时间 100 分钟)
一、选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)
1.下列实数中,是无理数的为(
)
A. 3.14
B.
1
3
C.
3
D.
9
2.在平面直角坐标系中,反比例函数
y
(
k
x
k ) 图像的量支分别在(
0
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、二象限
D.第三、四象
限
3.已知一元二次方程 2
x
x ,下列判断正确的是(
1 0
)
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
4.某市五月份连续五天的日最高气温分别为 23、20、20、21、26(单位:°C),这组
数据的中位数和众数分别是(
)
A. 22°C,26°C
B. 22°C,20°C
C. 21°C,26°C
D. 21°C,20°
C
5.下列命题中,是真命题的为(
)
A.锐角三角形都相似
B.直角三角形都相似
C.等腰三角形都相似
D.等边三角形都相似
6.已知圆 O1、圆 O2 的半径不相等,圆 O1 的半径长为 3,若圆 O2 上的点 A 满足 AO1 = 3,
则圆 O1 与圆 O2 的位置关系是(
)
A.相交或相切
B.相切或相离
C.相交或内含
D.相切或
内含
二、填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)
7.计算: 3
a
8.计算: (
x
2
a
1)(
__________.
1)
x
____________.
______________.
9.分解因式: 2a
10.不等式 3
ab
2 0
x 的解集是____________.
6x
的根是____________.
x
11.方程
12.已知函数
( )
f x
1
2
1
,那么 ( 1)
f ___________.
x
4
13.将直线
y
2
x
向上平移5 个单位后,所得直线的表达式是______________.
14.若将分别写有“生活”、“城市”的 2 张卡片,随机放入“
让
更美好”
中的两个
内(每个
只放 1 张卡片),则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”
的概率是__________.
15.如图 1,平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O 设向量 AD a
、 AB b
,
则向量 AO
__________.(结果用 a
D
C
O
A
图 1
B
160
、b
表示)
A
D
B
图 2
A
C
D
E
C
O
1
图 3
2
B
图 4
16.如图 2,△ABC 中,点 D 在边 AB 上,满足∠ACD =∠ABC,若 AC = 2,AD = 1,则 DB
= __________.
17.一辆汽车在行驶过程中,路程 y(千米)与时间 x(小时)之间的函数关系如图 3
所示 当时 0≤x≤1,y 关于 x 的函数解析式为 y = 60 x,那么当 1≤x≤2 时,y 关于 x 的
函数解析式为_____________.
18.已知正方形 ABCD 中,点 E 在边 DC 上,DE = 2,EC = 1(如图 4 所示) 把线段 AE
绕点 A 旋转,使点 E 落在直线 BC 上的点 F 处,则 F、C 两点的距离为___________.
三、解答题(本大题共 7 题,19 ~ 22 题每题 10 分,23、24 题每题 12 分,25 题 14 分,
满分 78 分)
19.计算:
1
3
27
( 3 1)
2
(
1
2
1
)
4
3 1
20.解方程:
x
1
x
2
x
x
2 1 0
21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”,如图 5 所示,“海宝”从圆心
O 出发,先沿北偏西 67.4°方向行走 13 米至点 A 处,再沿正南方向行走 14 米至点 B 处,最
后沿正东方向行走至点 C 处,点 B、C 都在圆 O 上.(1)求弦 BC 的长;(2)求圆 O 的半径
长.
(本题参考数据:sin 67.4° =
12
13
,cos 67.4° =
5
13
,tan 67.4° =
12
5
)
北
N
A
67.4
B
O
S
南
图 5
C
22.某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料
数量的情况,一天,他们分别在 A、B、C 三个出口处,
对离开园区的游客进行调查,其中在 A 出口调查所得的
数据整理后绘成图 6.
人数(万人)
3
1
1
0
2.5
2
1.5
3
4
2
图 6
饮料数量
(瓶)
(1)在 A 出口的被调查游客中,购买 2 瓶及 2 瓶以上饮料的游客人数占 A 出口的被调
查游客人数的__________%.
(2)试问 A 出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料?
(3)已知 B、C 两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表一所示 若 C
出口的被调查人数比 B 出口的被调查人数多 2 万,且 B、C 两个出口的被调查游客在园区内
共购买了 49 万瓶饮料,试问 B 出口的被调查游客人数为多少万?
表 一
出 口
人均购买饮料数量
B
3
C
2
(瓶)
23.已知梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=AD(如图 7 所示),∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于点
E,连结 DE.
(1)在图 7 中,用尺规作∠BAD 的平分线 AE(保留作图痕迹,不写作法),并证明四
边形 ABED 是菱形;
(2)∠ABC=60°,EC=2BE,求证:ED⊥DC.
A
D
B
图 7
C
24.如图 8,已知平面直角坐标系 xOy,抛物线 y=-x2+bx+c过点 A(4,0)、B(1,3) .
(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)记该抛物线的对称轴为直线 l,设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限,点 P 关于直
线 l 的对称点为 E,点 E 关于 y 轴的对称点为 F,若四边形 OAPF 的面积为 20,求 m、n 的值.
图 8
25.如图 9,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°.半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D,与
边 AC 相交于点 E,连结 DE 并延长,与线段 BC 的延长线交于点 P.
(1)当∠B=30°时,连结 AP,若△AEP 与△BDP 相似,求 CE 的长;
(2)若 CE=2,BD=BC,求∠BPD 的正切值;
(3)若
tan
BPD
,设 CE=x,△ABC 的周长为 y,求 y 关于 x 的函数关系式.
1
3
图 9
图 10(备用)
参考答案
图 11(备用)
说明:
1. 解答只列出试题的一种或几种解法.如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评
分标准相应评分;
2. 第一、二大题若无特别说明,每题评分只有满分或零分;
3. 第三大题中各题右端所注分数,表示考生正确做对这一步应得分数;
4. 评阅试卷,要坚持每题评阅到底,不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅.如
果考生的解答在某一步出现错误,影响后继部分而未改变本题的内容和难度,视影响的
程度决定后继部分的给分,但原则上不超过后继部分应得分数的一半;
5. 评分时,给分或扣分均以 1 分为基本单位.
一.选择题:(本大题共 6 题,满分 24 分)
1. C;
二.填空题:(本大题共 12 题,满分 48 分)
2.B;
3.B;
4.D;
5.D;
6.A.
7.a ;
1
2
12.
16.3 ;
;
8. 2 1
x ;
9. (
a a b ;
)
10.
y
13. 2
x
17. 100
y
x
1
;
40
;
14.
;
1
2
18. 1或5 .
2
3
x ;
1
2
15.
a
x ;
11. 3
b
;
1
2
19.解:原式
3
27
2
3
2 3 1
3 1
4
3 1
3 1
1
1
2
4 3 4
2
1
3
2
3 3 2 3 1 2
5 2 3 2 3 2
3
20.解:
x x
2
x
2
x
2
2
x
2
2
0
1
1
1
x
x
x
1
0
1
2
x x
x
2
2
0
1
2
x
x
x
x
22
4
0
2
x
x
x
22
5
2 0
x
x
1
2
0
x
x
2
∴ 1
2
x
或
x
2
代入检验得符合要求
21.解:(1)过点 O 作 OD⊥AB,则∠AOD+∠AON=
090 ,即:sin∠AOD=cos∠AON=
5
13
即:AD=AO×
5
13
=5,OD=AO×sin 67.4° =AO×
12
13
=12
又沿正南方向行走 14 米至点 B 处,最后沿正东方向行走至点 C 处
所以 AB∥NS,AB⊥BC,所以 E 点位 BC 的中点,且 BE=DO=12
所以 BC=24
(2)连接 OB,则 OE=BD=AB-AD=14-5=9
又在 RT△BOE 中,BE=12,
BE
所以
即圆 O 的半径长为 15
BO
OE
2
2
2
9
2
12
225 15
22.解:(1)由图 6 知,购买 2 瓶及 2 瓶以上饮料的游客人数为 2.5+2+1.5=6(万人)
而总人数为:1+3+2.5+2+1.5=10(万人)
所以购买 2 瓶及 2 瓶以上饮料的游客人数占 A 出口的被调查游客人数的 6
10
(2)购买饮料总数位:3×1+2.5×2+2×3+1.5×4=3+5+6+6=20(万瓶)
100% 60%
人均购买=
购买饮料总数
总人数
20
10
万瓶
万人
2
瓶
(3)设 B 出口人数为 x 万人,则 C 出口人数为(x+2)万人
则有 3x+2(x+2)=49
解之得 x=9
所以设 B 出口游客人数为 9 万人
23.解:(1)分别以点 B、D 为圆心,以大于 AB 的长度为半径,分别作弧,且两弧交于一点
P,则连接 AP,即 AP 即为∠BAD 的平分线,且 AP 交 BC 于点 E,
∵AB=AD,∴△ABO≌△AOD ∴BO=OD
∵AD//BC, ∴∠OBE=∠ODA, ∠OAD=OEB
∴△BOE≌△DOA
∴BE=AD(平行且相等)
∴四边形 ABDE 为平行四边形,另 AB=AD,
∴四边形 ADBE 为菱形
(2)设 DE=2a,则 CE=4a,过点 D 作 DF⊥BC
∵∠ABC=60°,∴∠DEF=60°, ∴∠EDF=30°, ∴EF= 1
2
DE=a,则 DF= 3a ,
CF=CE-EF=4a-a=3a,
2
2
DF
CF
CD
∴
∴DE=2a,EC=4a,CD= 2 3a ,构成一组勾股数,
∴△EDC 为直角三角形,则 ED⊥DC
2
3
a
2
9
a
2 3
a
2
0
4b
b c
3
24.(1)解:将 A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得:
4
c
2
1
解之得:b=4,c=0
所以抛物线的表达式为:
y
将抛物线的表达式配方得:
x
所以对称轴为 x=2,顶点坐标为(2,4)
y
x
4
x
2
x
4
2
x
2
2
4
(2)点 p(m,n)关于直线 x=2 的对称点坐标为点 E(4-m,n),则点 E 关于 y 轴对称点为
点 F 坐标为(4-m,-n),
则四边形 OAPF 可以分为:三角形 OFA 与三角形 OAP,则
S
所以 n =5,因为点 P 为第四象限的点,所以 n<0,所以 n= -5
代入抛物线方程得 m=5
OA n
= 4 n =20
OA n
OFAP
1
2
1
2
OFA
OPA
S
S
OFA
OPA
S
S
+
=
25.(1)解:∵∠B=30°∠ACB=90°∴∠BAC=60°
∵AD=AE ∴∠AED=60°=∠CEP
∴∠EPC=30°
∴三角形 BDP 为等腰三角形
∵△AEP 与△BDP 相似
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°
∴AE=EP=1
∴在 RT△ECP 中,EC= 1
2
EP= 1
2
(2)过点 D 作 DQ⊥AC 于点 Q,且设 AQ=a,BD=x
∵AE=1,EC=2
∴QC=3-a
∵∠ACB=90°
∴△ADQ 与△ABC 相似
∴ AD AQ
AC
AB
即 1
a
3
x
,∴
3
1
1
a
x
∵在 RT△ADQ 中
DQ
2
AD
2
AQ
1
2
3
1
x
8
2
x
2
x
1
x
BC
2
x
∵ DQ AD
AB
2
x
1
x
x
8
x
∴
1
1
解之得 x=4,即 BC=4
过点 C 作 CF//DP
∴△ADE 与△AFC 相似,
∴ AE
AD
AC AF
∴BF=DF=2
∵△BFC 与△BDP 相似
,即 AF=AC,即 DF=EC=2,
∴
BF
BC
BD BP
∴tan∠BPD=
2
4
EC
CP
1
2
2
4
,即:BC=CP=4
1
2
(3)过 D 点作 DQ⊥AC 于点 Q,则△DQE 与△PCE 相似,设 AQ=a,则 QE=1-a
∴ QE DQ
EC CP
3 1
DQ
tan
BPD
1
3
∴
且
a
∵在 Rt△ADQ 中,据勾股定理得: 2
AD
2
AQ
即:
2
1
2
a
3 1
a
2
,解之得
a
1(
)
舍去
a
2
DQ
4
5
∵△ADQ 与△ABC 相似
∴
∴
AD DQ AQ
AC
AB
AB
BC
BC
5 5
4
x
,
4
5 5
x
4
5
1
x
3 3
4
y AB BC AC
x
∴三角形 ABC 的周长
即: 3 3
,其中 x>0
y
x
x
5 5
4
x
3 3
4
3 3
x
1
x